专题12.4 一次函数的实际应用（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数的实际应用核心知识点，衔接一次函数概念与解析式求解基础，系统梳理分段函数定义、“设变量列解析式、求参数、定范围、解问题”的解题步骤，覆盖行程、工程、销售利润等六大实际问题类型，构建从理论到应用的学习支架。 该资料特色在于以生活情境（如行程相遇、阶梯计费）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过建模过程（如待定系数法求解析式）培养数学思维，借助函数图像分析提升数学语言表达能力。典例与变式训练辅助课堂教学，即学即练和综合题助力课后查漏补缺，有效提升解决实际问题的综合能力。

专题12.4 一次函数的实际应用 教学目标 1.结合生活实际情境（行程问题、销售利润、方案选择、水电费计费等），能够识别变量之间的一次函数关系，建立一次函数数学模型，理解一次函数在实际问题中的应用价值。 2.掌握利用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，能结合题目条件准确代入数值，求解参数k、b，规范写出完整函数关系式。 3.能根据实际问题的限制条件，准确确定自变量的取值范围，结合实际意义排除无意义取值，掌握实际问题中自变量取值的双重约束规则。 4.掌握利用一次函数求解实际最值、取值范围、方案对比、最优方案选择等问题，能结合函数增减性判断最大值、最小值，解决生活决策类问题。 5.能对比两个一次函数图象的位置与交点意义，解决双函数模型的实际应用问题，如行程相遇、费用对比、方案分界取值等问题。 6.通过建模解题过程，体会数学建模思想、数形结合思想、函数增减思想，提升从实际情境中提炼数学问题、解决实际问题的综合能力。 教学重难点 1.重点 （1）能从各类实际问题中抽象出一次函数模型，准确建立一次函数解析式； （2）熟练运用待定系数法求解实际问题的函数表达式； （3）结合实际情境正确确定自变量的取值范围； （4）利用一次函数解析式与图象，求解数值、分析变化规律、解决最值与最优方案问题。 2. 难点 （1）从文字繁杂、情境复杂的实际问题中精准提炼变量关系，剔除无效信息，成功建立一次函数模型； （2）结合实际生活限制条件确定自变量取值范围，容易忽略整数取值、非负取值等隐性约束条件； （3）理解函数图象端点、交点、分段变化对应的实际意义，实现数形精准转化； （4）利用一次函数增减性解决最值、最优方案、分段计费等综合性实际问题，突破固定算式思维。 知识点01 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 注：①必须写取值范围；②最值只在区间端点取；③看清 的正负，别搞反增减。 【即学即练】 1．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 2．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 3．工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为元件时，每天的销售量为件；而当销售价每降低元，每天的销售量就多件．设销售价为元件，每天的销售量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若某天销售时，每件工艺品的利润为元，当天共盈利元，求这天该种工艺品每件的销售价． 题型01 行程问题 【典例1】某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ （1）核心公式：路程，匀速运动中，路程与时间成一次函数关系，图像为直线； （2）图像识图规则：横轴一般为时间，纵轴为路程；倾斜直线代表匀速行驶，水平线段代表静止停留； （3）速度求解方法：直线斜率绝对值即为速度，，斜率正负代表行进、返程方向； （4）交点意义：两条行程图像交点，代表两车/两人同一时间、同一位置相遇。 【变式1】小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 题型02 工程问题 【典例1】甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 核心关系：工作总量=工作效率×工作时间，常设工作总量为单位1，效率恒定为一次函数模型。 【变式1】机器人爱好者小刚为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间与搬运货物的重量的关系记录如下表，则下面结论中，正确的是（    ） 搬运时间 1 2 3 4 5 搬运货物的重量 160 240 320 400 480 A．这台机器人搬运货物的重量是搬运时间的80倍 B．估计这台机器人搬运的货物，需要 C．估计这台机器人的搬运时间为8h时，搬运货物的重量为 D．这台机器人的搬运时间随搬运货物的重量的增加而减少 【变式2】甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当乙追上甲时，甲加工零件的时间为 _____． 【变式3】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y（吨）与生产时间x（天）之间的函数图象如图所示． (1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料______吨； (2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式； (3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数． 【变式4】（2026·吉林长春·二模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长．设铺设光缆时间为（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为（单位：米），甲、乙两队关于的函数关系分别如图所示． (1)直道两端的距离为_________米，乙队的施工速度为_________米/天； (2)求甲队若干名工人离队后关于的函数关系式； (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了_________天． 题型03 分配方案问题 【典例1】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． （1）解题建模：设分配数量为自变量，总费用、总利润、总产量为因变量，建立一次函数； （2）约束条件：根据物资总量、人数、数量非负、整数限制，列出自变量取值范围； （3）方案筛选：利用一次函数单调性，则越小值越小；则越大值越小； （4）最优方案：在整数取值范围内，取端点值求出最值，对应最佳分配方案。 【变式1】（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【变式2】（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【变式3】某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 题型04 销售利润问题 【典例1】某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 核心公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量。 【变式1】某服装店经销A，B两种T恤衫，根据资金安排，服装店分两次进货，已知第一次进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 第一次进货后，很快售完，获利2880元．第二次进货时，服装店计划再购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．由于受市场因素影响，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．设第二次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． (1)求出W与m的函数关系式，并注明自变量m的取值范围； (2)服装店第二次获利会不会超过第一次获利？请说明理由． 【变式2】人间烟火味，江西小炒鲜．为进一步提升赣菜品牌形象，推动赣菜产业高质量发展，我省发布了“江西小炒”宣传口号和标识．辣椒是“江西小炒”的重要原料，素有“一根辣椒点燃江西小炒”的称号．某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示． 品种 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） A 400 480 B 300 350 设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)如果该批发商最多投入的成本为29000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润． 【变式3】截至2025年5月18日，《哪吒之魔童闹海》以158.54亿元票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，“哪吒”用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城想借影片的热度提升收益，计划推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知购买1个玩偶和2个保温杯共需160元，购买2个玩偶和1个保温杯共需140元． (1)求玩偶和保温杯的单价； (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共3000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低，最低费用为多少元？ 【变式4】一体育器材经销商计划购进某品牌的5号、6号、7号篮球共个．设购进5号篮球个，6号篮球个．三个型号的篮球的进价和预售价如下表： 篮球型号 5号 6号 7号 进价（单位：元/个） 预售价（单位：元/个） (1)用含，的式子表示购进7号篮球的个数； (2)经销商恰好用完购球款元，且每型号篮球至少要购进8个，求出与之间的函数关系式： (3)在（2）的条件下，假设所购进篮球全部售出． ①求出预估利润（元）与（个）的函数关系式；（注：预估利润预售总额-购球款） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三个型号的篮球各多少个． 题型05 阶梯计价问题 【典例1】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准∶ 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 3 第二档 4 第三档 5 (1)当时，写出水费y（单位∶元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是940元，求该户去年一年的用水量． 建模步骤：找准分段节点，按区间分别列出每段的一次函数解析式，标注对应自变量范围。 【变式1】某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 【变式2】某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪元加上外卖送单补贴构成，外卖送单补贴的具体方案如下表（送一次外卖称为一单）： 外卖送单数量 每月不超过单 超过单但不超过单的部分 超过单的部分 补贴/（元/单） 设某月该公司的一位外卖送餐员送餐单，所得工资为元． (1)分别求出当和时，与之间的函数关系式． (2)若该外卖送餐员这个月送餐单，所得工资为元，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准见表： 一户居民一个月用电量/千瓦时 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时的部分 0.6 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分 0.65 超过300千瓦时的部分 0.9 (1)根据题意，填写表格． 某居民一个月用电量（千瓦时） 100 150 300 400 电费价格（元） 90 (2)设该市一户居民某月用电千瓦时，当月的电费为元，写出与之间的函数关系式． ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____ (3)一户居民某月的电费为174.5元，求该户居民这个月的用电量． 题型06 其他问题 【典例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间的关系式为，于是他对不同温度下该金属导体的电阻进行了记录，如下表： 0 5 10 15 20 …… 5 6.5 8 9.5 11 …… (1)的值为_______________； (2)的值是多少？它的实际意义是什么？ (3)当温度为时，求该金属导体的电阻． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）项目化学习 【项目主题】探究桶装水打开后水中菌落变化情况． 【项目背景】桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究某桶装水打开后水中菌落变化情况”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数/天 0 1 2 3 菌落总数 8 20 32 44 【模型建立】根据此项目实施的相关材料，发现菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间满足一次函数关系． 【问题解决】 (1)求出菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间的函数关系式． (2)桶装水打开后第几天菌落总数为？ 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【变式3】项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： (1)通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） (2)求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 【变式4】项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）是否为时间t（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 … 问题探究和问题解决 任务1 请在如图的平面直角坐标系内描出表格中每对数据所对应的点． 任务2 请根据表中的数据和所描的点，判断和（为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议 1．（2026·山西长治·三模）根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）“行走是吾乡”2025年河南省自行车公开赛进商圈系列赛走进新乡，将新乡的骑行氛围再度点燃．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，x节链条总长度为，则y与x的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 5．（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 7．（2026·浙江温州·二模）对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示： 温度 0 压强 (1)求关于的函数表达式． (2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 9．（25-26八年级下·河南安阳·期中）一辆汽车的油箱中有汽油，假设这辆汽车中途不再加油，在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．当这辆汽车行驶了时，油箱中剩余汽油．设油箱中剩余的油量为（单位：L），已行驶的里程为（单位：）． (1)写出关于的函数解析式； (2)在这个变化过程中，自变量的取值范围是什么？ (3)若汽车行驶了，则油箱中还剩余多少升汽油？ (4)若油箱中还剩余汽油，则汽车已经行驶了多少千米？ 10．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． (1)求与之间的函数关系式； (2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，某兴趣小组在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图． 兴趣小组的成员发现纸杯的个数与叠放在一起的纸杯的总高度满足如下数量关系，如表． （个） 1 2 3 4 5 … 8 8.5 9 9.5 10 … (1)直接写出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，照这样叠放，个相同纸杯叠放在一起的总高度（用含的式子表示）． (2)求100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某学校计划采购一批某款平板学习机，学习机标价统一为元，现从甲、乙两家销售商了解到不同优惠方案，采购多台均可享受折扣． 素材一 甲销售商优惠规则：第一台按原价元收费，剩余每台优惠； 乙销售商优惠规则：所有平板每台统一优惠． 素材二 该学校计划采购平板学习机台（为正整数）． 素材三 根据预算限制，采购平板数量不超过台． 请完成下列任务： 任务一 (1)分别写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； 任务二 (2)求出采购多少台时，两家销售商花费相同，并分析采购数量不同时，选择哪家销售商更划算； 任务三 (3)若学校计划采购台平板，请判断去乙销售商采购是否更便宜，并说明理由． 3．（25-26八年级下·江西南昌·期末）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 4 90 第2次实验 5 100 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； (3)当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 4．（2026·河北沧州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． (1)图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； (2)当 时，求 关于 的函数解析式； (3)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 5．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某市物流公司启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城外卖急送．运营一段时间后，物流公司整理了如下相关资料： 资料1 【配送时间】 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，每单外卖取货与送货固定消耗10分钟． 无人机：平均时速为，每单外卖起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长） 资料2 【配送账单】 该市一家咖啡店某天共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送．已知传统骑手每单配送费6元，无人机每单配送费10元，平均每单的配送距离为，总配送费为380元． 资料3 【采购计划】 为了扩大规模，物流公司计划投入50万元全部用于采购“旋翼A型”和“旋翼B型”这两种新型无人机，且两种型号都购入． 旋翼A型：单价4万元，最大载重量15千克； 旋翼B型：单价6万元，最大载重量25千克． 根据上述资料，解决下列问题： (1)现有一单外卖需要从A地送往B地，两地之间距离为 ，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________小时（用含的代数式表示）； (2)当天该咖啡店使用“传统骑手”“无人机”各配送了多少单？所有订单相比全部使用“传统骑手”共节省了多少小时？ (3)该物流公司在采购新型无人机时，共有哪几种满足条件的采购方案？哪种采购方案能使新购入无人机的总载重量最大？ 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 7．随着智能家居的普及，智能扫地机器人已经成为许多家庭的必备清洁工具，某科技公司研发了甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，在某次测试中，两台机器人同时开始工作，它们的清扫速度始终保持不变，其中甲机器人工作一段时间后，因电量不足充电了后又继续进行工作，两机器人的清扫面积与乙机器人的工作时间的关系如图所示． (1)当时，求甲机器人的清扫面积y关于乙机器人的工作时间x的函数解析式． (2)乙机器人工作多长时间时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同？ 8．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）暑期将至，游泳馆面向学生推出暑假卡套餐．下表是暑假卡套餐的收费标准： 方案 暑假卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 购买暑假卡套餐 a m n 若不购买暑假卡，单次收费为40元． 设某学生暑期游泳（次），购买暑假卡套餐所需费用为（元），不买暑假卡所需费用为（元），其函数图象如图所示，两图象相交于点． (1)填空：____________，____________，____________； (2)求点的坐标，并说明它的实际意义； (3)若学生小华计划暑期游泳18次，选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 一次函数的实际应用 教学目标 1.结合生活实际情境（行程问题、销售利润、方案选择、水电费计费等），能够识别变量之间的一次函数关系，建立一次函数数学模型，理解一次函数在实际问题中的应用价值。 2.掌握利用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，能结合题目条件准确代入数值，求解参数k、b，规范写出完整函数关系式。 3.能根据实际问题的限制条件，准确确定自变量的取值范围，结合实际意义排除无意义取值，掌握实际问题中自变量取值的双重约束规则。 4.掌握利用一次函数求解实际最值、取值范围、方案对比、最优方案选择等问题，能结合函数增减性判断最大值、最小值，解决生活决策类问题。 5.能对比两个一次函数图象的位置与交点意义，解决双函数模型的实际应用问题，如行程相遇、费用对比、方案分界取值等问题。 6.通过建模解题过程，体会数学建模思想、数形结合思想、函数增减思想，提升从实际情境中提炼数学问题、解决实际问题的综合能力。 教学重难点 1.重点 （1）能从各类实际问题中抽象出一次函数模型，准确建立一次函数解析式； （2）熟练运用待定系数法求解实际问题的函数表达式； （3）结合实际情境正确确定自变量的取值范围； （4）利用一次函数解析式与图象，求解数值、分析变化规律、解决最值与最优方案问题。 2. 难点 （1）从文字繁杂、情境复杂的实际问题中精准提炼变量关系，剔除无效信息，成功建立一次函数模型； （2）结合实际生活限制条件确定自变量取值范围，容易忽略整数取值、非负取值等隐性约束条件； （3）理解函数图象端点、交点、分段变化对应的实际意义，实现数形精准转化； （4）利用一次函数增减性解决最值、最优方案、分段计费等综合性实际问题，突破固定算式思维。 知识点01 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 注：①必须写取值范围；②最值只在区间端点取；③看清 的正负，别搞反增减。 【即学即练】 1．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值． 根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可． 【详解】解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则函数关系式为：， 当时，． 故选：B． 2．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值即可． 【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为， 由题意，得：，解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴这辆汽车加满油最多能行驶千米， 故答案为：． 3．工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为元件时，每天的销售量为件；而当销售价每降低元，每天的销售量就多件．设销售价为元件，每天的销售量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若某天销售时，每件工艺品的利润为元，当天共盈利元，求这天该种工艺品每件的销售价． 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)这天该种工艺品每件的销售价为元 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据每件工艺品的利润为元，当天共盈利元，得出每天的销售量为，将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）当，即时，， 解得：， 这天该种工艺品每件的销售价为元． 题型01 行程问题 【典例1】某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟 【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键． （1）设线段的解析式为：，将代入即可求解；设线段的解析式为：，由题意求出，将点代入即可求解； （2）设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，由图可知：，据此即可求解； （3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间，即可求解； 【详解】（1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； （1）核心公式：路程，匀速运动中，路程与时间成一次函数关系，图像为直线； （2）图像识图规则：横轴一般为时间，纵轴为路程；倾斜直线代表匀速行驶，水平线段代表静止停留； （3）速度求解方法：直线斜率绝对值即为速度，，斜率正负代表行进、返程方向； （4）交点意义：两条行程图像交点，代表两车/两人同一时间、同一位置相遇。 【变式1】小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用．由题意可知，时，小亮处于后半段路程，据此列出函数表达式即可． 【详解】解：由题意可知，时，小亮处于后半段路程， 即， 小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是， 故选：C． 【变式2】有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30；40 (2) (3) 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． （2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 题型02 工程问题 【典例1】甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)10天 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 核心关系：工作总量=工作效率×工作时间，常设工作总量为单位1，效率恒定为一次函数模型。 【变式1】机器人爱好者小刚为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间与搬运货物的重量的关系记录如下表，则下面结论中，正确的是（    ） 搬运时间 1 2 3 4 5 搬运货物的重量 160 240 320 400 480 A．这台机器人搬运货物的重量是搬运时间的80倍 B．估计这台机器人搬运的货物，需要 C．估计这台机器人的搬运时间为8h时，搬运货物的重量为 D．这台机器人的搬运时间随搬运货物的重量的增加而减少 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求出函数关系式，解题的关键在于确定搬运时间t和搬运货物重量 y 之间的关系．观察表格数据，确定搬运时间（小时）与搬运货物重量（千克）之间的函数关系，再逐一验证选项． 【详解】解：表格中，搬运时间每增加1小时，搬运货物重量依次增加（）．由此可推断与为一次函数关系． 设函数为，代入数据： 当时，，得； 当时，，得． 联立解得，，故函数为． A：若，当时，，错误． B：当时，代入，解得小时，而非6小时，错误． C：当时，kg，正确． D：表格中与y同增，说明搬运时间随重量增加而增加，而非减少，错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 【变式2】甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当乙追上甲时，甲加工零件的时间为 _____． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的应用． 先求出当时甲的函数解析式，再求出时x的值，由函数图像可知乙追上甲时两人分别加工100个零件，据此作答即可． 【详解】解：当时， ∵甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件， ∴甲的函数解析式为（）， ∴当时，， 解得， ∵甲、乙两人同时完成任务，由图可知，乙追上甲时两人分别加工100个零件， ∴当乙追上甲时，甲加工零件的时间为4小时， 故答案为：4． 【变式3】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y（吨）与生产时间x（天）之间的函数图象如图所示． (1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料______吨； (2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式； (3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数． 【答案】(1)270 (2) (3)2天 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键． （1）由图象求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入解析式求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由图象得，乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料270吨； （2）设乙组调离后，y与x之间的函数关系式为， 根据题意得，， 解得； ∴乙组调离后，求y与x之间的函数关系式为； （3）当时，， 解得， ∴（天）； ∴当消耗原材料350吨时，乙组已调离的天数为2天． 【变式4】（2026·吉林长春·二模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长．设铺设光缆时间为（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为（单位：米），甲、乙两队关于的函数关系分别如图所示． (1)直道两端的距离为_________米，乙队的施工速度为_________米/天； (2)求甲队若干名工人离队后关于的函数关系式； (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了_________天． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入，，用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，再求得乙队y关于x的函数关系式，根据题意列出方程，，解方程，进而即可求解 【详解】（1）解：由图象得, 直道两端的距离为米，乙队的施工速度为（米/天）； （2）解：设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， 甲队若干名工人离队后关于的函数关系式， （3）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； ， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 题型03 分配方案问题 【典例1】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】见解析 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． （1）解题建模：设分配数量为自变量，总费用、总利润、总产量为因变量，建立一次函数； （2）约束条件：根据物资总量、人数、数量非负、整数限制，列出自变量取值范围； （3）方案筛选：利用一次函数单调性，则越小值越小；则越大值越小； （4）最优方案：在整数取值范围内，取端点值求出最值，对应最佳分配方案。 【变式1】（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元 (2) (3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． （2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． （3）解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 【变式2】（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元 (2)购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元 【分析】（1）购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元，根据题目的数量关系列式方程组求解即可； （2）设购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒，由此列不等式得到，设购买两种礼盒总费用为，根据数量关系，结合一次函数图像的性质求解即可． 【详解】（1）解：购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元， ∴， 解得，， ∴购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元； （2）解：设购买了云南小粒咖啡礼盒（是大于0的整数）盒，则购买野生菌干货礼盒盒， ∴， 解得，， ∵某游客计划购买这两种产品共40盒， ∴， 设购买两种礼盒总费用为， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，总费用最低，最低总费用为元，则， ∴购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元． 【变式3】某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【详解】（1）解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． （2）解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 题型04 销售利润问题 【典例1】某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元 (2) (3)购进A图书40本，B图书160本，利润最大，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书m本，图书本，利润为W元．根据题意得出W关于的关系式； （3）根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设图书标价x元/本，图书标价y元/本． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元/本，图书标价25元/本； （2）解：依题意，设购进图书本，图书本，利润为元． 则 ， ∵A图书不少于40本．不多于60本， ∴； （3）解：依题意，； 随的增大而减小， ， 当时，W有最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大，为元． 核心公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量。 【变式1】某服装店经销A，B两种T恤衫，根据资金安排，服装店分两次进货，已知第一次进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 第一次进货后，很快售完，获利2880元．第二次进货时，服装店计划再购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．由于受市场因素影响，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．设第二次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． (1)求出W与m的函数关系式，并注明自变量m的取值范围； (2)服装店第二次获利会不会超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1) (2)服装店第二次获利不会超过第一次获利，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）第二次购进B种T恤衫件，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，根据获利种T恤衫的利润种T恤衫的利润写出W与m的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性求出W的最大值并与2880元比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：第二次购进B种T恤衫件， 根据题意，得， 解得：， ， ∴W与m的函数关系式及自变量m的取值范围是： ． （2）解：服装店第二次获利不会超过第一次获利．理由如下： ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时W值最大，， ∵， ∴服装店第二次获利不会超过第一次获利． 【变式2】人间烟火味，江西小炒鲜．为进一步提升赣菜品牌形象，推动赣菜产业高质量发展，我省发布了“江西小炒”宣传口号和标识．辣椒是“江西小炒”的重要原料，素有“一根辣椒点燃江西小炒”的称号．某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示． 品种 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） A 400 480 B 300 350 设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)如果该批发商最多投入的成本为29000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5500元 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据总利润等于两种辣椒的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据批发商最多投入的成本为29000元，得，解得，再由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得 ∴与之间的函数解析式为； （2）解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为 答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5500元． 【变式3】截至2025年5月18日，《哪吒之魔童闹海》以158.54亿元票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，“哪吒”用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城想借影片的热度提升收益，计划推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知购买1个玩偶和2个保温杯共需160元，购买2个玩偶和1个保温杯共需140元． (1)求玩偶和保温杯的单价； (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共3000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)玩偶的单价为40元，保温杯的单价为60元； (2)购买玩偶1000个，保温杯2000个时总费用最低，最低费用为160000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出方程组，一次函数解析式解题的关键； （1）设玩偶每个x元，保温杯每个y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，根据题意，得，然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍”，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设玩偶的单价为元，保温杯的单价为元， 根据题意得： 解得 答：玩偶的单价为40元，保温杯的单价为60元； （2）设购买玩偶个，则购买保温杯个，总费用为元， 由题意得：， 即， ． ，随的增大而减小， 当时，取最小值，此时． 答：购买玩偶1000个，保温杯2000个时总费用最低，最低费用为160000元． 【变式4】一体育器材经销商计划购进某品牌的5号、6号、7号篮球共个．设购进5号篮球个，6号篮球个．三个型号的篮球的进价和预售价如下表： 篮球型号 5号 6号 7号 进价（单位：元/个） 预售价（单位：元/个） (1)用含，的式子表示购进7号篮球的个数； (2)经销商恰好用完购球款元，且每型号篮球至少要购进8个，求出与之间的函数关系式： (3)在（2）的条件下，假设所购进篮球全部售出． ①求出预估利润（元）与（个）的函数关系式；（注：预估利润预售总额-购球款） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三个型号的篮球各多少个． 【答案】(1) (2) (3)①；②最大利润为元，此时购进5号篮球34个，6号篮球个，7号篮球8个 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据即可求解； （3）①根据即可求解；②由题意得购进7号篮球的个数为：．根据题意列不等式组得结合即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：购进7号篮球的个数为：； （2）解：由题意，得， 整理，得； （3）解：①由题意，得， 整理得； ②购进7号篮球的个数为：． 根据题意列不等式组，得 解得． ∴的取值范围为，且为整数． ∵是的一次函数，， ∴随的增大而增大． ∴当取最大值时，有最大值，最大值为元． 此时购进5号篮球个，6号篮球个，7号篮球8个． 题型05 阶梯计价问题 【典例1】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准∶ 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 3 第二档 4 第三档 5 (1)当时，写出水费y（单位∶元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是940元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是780元 (3)该户去年用水量为 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握一次函数中自变量，函数值的计算是关键． （1）根据表格信息运用第二档的计费方式列式计算即可； （2）根据信息，该用户处于第二档的计费，把代入（1）的式子计算即可； （3）根据题意得到该用户处于第二档的计费，把代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解：由题可得，； （2）解：∵属于第二档， ∴将代入得，， ∴该户这一年的水费是780元； （3）解：因为， 所以该户去年用水量x满足， 把代入（1）中函数关系式可得：， 解得， 答：该户去年用水量为． 建模步骤：找准分段节点，按区间分别列出每段的一次函数解析式，标注对应自变量范围。 【变式1】某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 【答案】(1)A类套餐每月应缴费用，B类套餐每月应缴费用； (2)47元 (3) (4)使用B套餐更划算 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据套餐收费标准写出解析式即可； （2）将代入，求得的值即可； （3）将代入，求得的值即可； （4）分别将代入和求解比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A类套餐每月应缴费用， B类套餐每月应缴费用； （2）解：当时，（元）； 答：他应缴费47元． （3）解：当时，， 解得：． 答：该用户使用B套餐本月可通话； （4）解：当时，（元），（元）， ∵ ∴使用B套餐更划算． 【变式2】某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪元加上外卖送单补贴构成，外卖送单补贴的具体方案如下表（送一次外卖称为一单）： 外卖送单数量 每月不超过单 超过单但不超过单的部分 超过单的部分 补贴/（元/单） 设某月该公司的一位外卖送餐员送餐单，所得工资为元． (1)分别求出当和时，与之间的函数关系式． (2)若该外卖送餐员这个月送餐单，所得工资为元，求的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) 的值为. 【分析】本题考查了分段函数的应用，（1）根据不同的送单数量范围列出工资与送单数量的函数关系式；（2）通过给定的工资和送单数量求解参数的值. 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 故答案为：当时，；当时，． （2）解：若， 当时， ，不合题意，舍去； 若， 当时， ， 解得， 符合题意，所以的值为； 故答案为：的值为． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准见表： 一户居民一个月用电量/千瓦时 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时的部分 0.6 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分 0.65 超过300千瓦时的部分 0.9 (1)根据题意，填写表格． 某居民一个月用电量（千瓦时） 100 150 300 400 电费价格（元） 90 (2)设该市一户居民某月用电千瓦时，当月的电费为元，写出与之间的函数关系式． ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____ (3)一户居民某月的电费为174.5元，求该户居民这个月的用电量． 【答案】(1)60，187.5，277.5； (2)，，； (3)该户居民这个月份用电量为280千瓦时． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费方案列式计算即可； （2）根据所给的收费方案直接列函数解析式即可； （3）可证明该户居民八月份用电量超过150千瓦时，但不超过300千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，电费价格为元； 当时，电费价格为元； 当时，电费价格为元； 故答案为：60，187.5，277.5； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，； （3）解：∵，， 且， ∴该户居民这个月份用电量超过150千瓦时，但不超过300千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民这个月份用电量为280千瓦时． 题型06 其他问题 【典例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间的关系式为，于是他对不同温度下该金属导体的电阻进行了记录，如下表： 0 5 10 15 20 …… 5 6.5 8 9.5 11 …… (1)的值为_______________； (2)的值是多少？它的实际意义是什么？ (3)当温度为时，求该金属导体的电阻． 【答案】(1)5 (2)的值是，它的实际意义是温度每升高，该金属导体增加的电阻． (3)当温度为时，该金属导体的电阻为 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，观察表格数据，当时，则，则，得出，即可作答． （2）理解题意，将代入中，得，解得，故的值是0.3，它的实际意义是温度每升高，该金属导体增加的电阻． （3）由（2）可知，理解题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察表格数据，当时，则， ∵某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间的关系式为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， 则， 依题意，将代入中，得， 解得， ∴的值是0.3，它的实际意义是温度每升高，该金属导体增加的电阻． （3）解：由（2）可知该种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间的关系式为， 当时，， 答：当温度为时，该金属导体的电阻为． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）项目化学习 【项目主题】探究桶装水打开后水中菌落变化情况． 【项目背景】桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究某桶装水打开后水中菌落变化情况”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数/天 0 1 2 3 菌落总数 8 20 32 44 【模型建立】根据此项目实施的相关材料，发现菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间满足一次函数关系． 【问题解决】 (1)求出菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间的函数关系式． (2)桶装水打开后第几天菌落总数为？ 【答案】(1) (2)桶装水打开后第9天菌落总数为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数值的计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设菌落总数与试验天数之间的函数关系式为，利用待定系数法解方程组即可． （2）根据函数的解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：设菌落总数与试验天数之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 故菌落总数与试验天数之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得， 故桶装水打开后第9天菌落总数为． 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 【变式3】项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： (1)通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） (2)求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及一次函数定义、待定系数法确定一次函数表达式、已知函数值求自变量等知识，读懂题意，准确求出函数表达式是解决问题的关键． （1）通过数据分析，当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数； （2）设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为，由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； （3）结合（2）中所得表达式，由题意得到，代入表达式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数， 故答案为：一次； （2）解：设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为， 把、分别代入得： ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， 解得， ∴自变量的取值范围为； 即； （3）解：在中， 当时，得， 解得， 答：该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间为． 【变式4】项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）是否为时间t（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 … 问题探究和问题解决 任务1 请在如图的平面直角坐标系内描出表格中每对数据所对应的点． 任务2 请根据表中的数据和所描的点，判断和（为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议 【答案】任务1：见解析； 任务2：（为常数）能正确反映总水量与时间的函数关系，； 任务3：①当量筒中的水刚好有毫升时，所需时间为分钟； ②照此漏水速度，此水龙头小时会浪费毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换（答案不唯一）． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 任务1：根据表格数据描点即可； 任务2：根据上表中的数据和所描的点，（为常数）能正确反映总水量与时间的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可； 任务3：①把代入解析式即可求解； ②把代入解析式求解即可得到答案； ③答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务1：如图，描点如下： 任务2：由数据和画图可知（为常数）才能正确反映总水量与时间的函数关系， ∵点和都在此函数图像上， ∴，解得：， ∴； 任务3：①当时，则， 解得：， ∴当量筒中的水刚好有毫升时，所需时间为分钟； ②当时，， 当时，， ∵（毫升）， ∴照此漏水速度，此水龙头小时会浪费毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 1．（2026·山西长治·三模）根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目已知y与x满足一次函数关系，先设出一次函数的一般形式，再代入表格中的两组数据求解系数，验证后即可得到函数关系式． 【详解】解：设函数关系式为 （），从表格中选取两组点 和 代入解析式，得：， 解得， ∴函数关系式为，验证表格中其余点，均满足该关系式． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）“行走是吾乡”2025年河南省自行车公开赛进商圈系列赛走进新乡，将新乡的骑行氛围再度点燃．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，x节链条总长度为，则y与x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数关系式，掌握题目中数量关系是正确解答的关键，根据链条的连接规律进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选： 3．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 【答案】(1) (2)行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 【详解】（1）解：设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）解：令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 7．（2026·浙江温州·二模）对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示： 温度 0 压强 (1)求关于的函数表达式． (2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角坐标系内描点，连线后发现关于的函数表达式符合一次函数形式，设，代入点，求系数即可得到关于的函数表达式； （2）由（1）得，当时，，故该容器安全时的温度范围为． 【详解】（1）解：如图，可设，代入点，可得， ，解得，， ； （2）解：由（1）得，当时，，解得，， 该容器安全时的温度范围为． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 【答案】(1)； (2)2600元 【分析】（1）根据总成本固定成本人工成本，即可得到答案； （2）把代入函数解析式即可求解 【详解】（1）解：由题意得：y与x之间的一次函数解析式为； （2）解：当时， 答：生产石墨精粉15吨时当日的生产总成本2600元． 9．（25-26八年级下·河南安阳·期中）一辆汽车的油箱中有汽油，假设这辆汽车中途不再加油，在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．当这辆汽车行驶了时，油箱中剩余汽油．设油箱中剩余的油量为（单位：L），已行驶的里程为（单位：）． (1)写出关于的函数解析式； (2)在这个变化过程中，自变量的取值范围是什么？ (3)若汽车行驶了，则油箱中还剩余多少升汽油？ (4)若油箱中还剩余汽油，则汽车已经行驶了多少千米？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意可知，当时，；当时，，故函数图象经过点和，可用待定系数法求解析式，也可用每千米耗油量求解析式； （2）自变量表示行驶里程，最小值为（刚出发时），最大值为油箱内的油全部用完时所行驶的里程，令即可求得； （3）将代入函数解析式，求出对应的值即可； （4）将代入函数解析式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：设该一次函数解析式为， 图象经过点和， 代入得：， 解得：，， 函数解析式为：； （2）解：令，则， 解得：， 的取值范围是：； （3）解：当时， ， 行驶后剩余油量为； （4）解：当时， ， ， ， 剩余时行驶了． 10．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． (1)求与之间的函数关系式； (2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，再运用待定系数法求解与之间的函数关系式，即可作答． （2）理解题意，直接将代入中，求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设与之间的函数关系式为， 将、代入中， 得 解得 与之间的函数关系式为． （2）解：由（1）得 由题意知：， 将代入中，得， 此时单层部分的长度为． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，某兴趣小组在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图． 兴趣小组的成员发现纸杯的个数与叠放在一起的纸杯的总高度满足如下数量关系，如表． （个） 1 2 3 4 5 … 8 8.5 9 9.5 10 … (1)直接写出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，照这样叠放，个相同纸杯叠放在一起的总高度（用含的式子表示）． (2)求100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先根据表格中数据找出规律：每增加1个纸杯高度增加，然后得出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，个相同纸杯叠放在一起的总高度； （2）把代入函数解析式，求出h的值即可． 【详解】（1）解：根据表格中数据可知：每增加1个纸杯高度增加， ∴6个相同纸杯叠放在一起的总高度为； 个相同纸杯叠放在一起的总高度； （2）解：100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度为： ． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某学校计划采购一批某款平板学习机，学习机标价统一为元，现从甲、乙两家销售商了解到不同优惠方案，采购多台均可享受折扣． 素材一 甲销售商优惠规则：第一台按原价元收费，剩余每台优惠； 乙销售商优惠规则：所有平板每台统一优惠． 素材二 该学校计划采购平板学习机台（为正整数）． 素材三 根据预算限制，采购平板数量不超过台． 请完成下列任务： 任务一 (1)分别写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； 任务二 (2)求出采购多少台时，两家销售商花费相同，并分析采购数量不同时，选择哪家销售商更划算； 任务三 (3)若学校计划采购台平板，请判断去乙销售商采购是否更便宜，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，两家销售商花费一样；当时，选乙销售商更划算；当时，选甲销售商更划算． (3)当时，甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜， 理由如下： 当时，，所以选甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜 【分析】（1）根据甲、乙的优惠方式写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； （2）分别计算出当时、当时、当时，的取值范围，根据采购数量确定选择哪家销售商更划算； （3）因为当时，，所以当时，选甲销售商更划算，去销售商店采购不便宜． 【详解】（1）， ， ， ； （2）解：①当时， 可得：， 解得：； ②当时， 可得：， 解得：， 又， ； ③当时， 可得：， 解得：， ； 答：当时，两家销售商花费一样； 当时，选乙销售商更划算； 当时，选甲销售商更划算； （3）解：当时，， 当时，选甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜． 3．（25-26八年级下·江西南昌·期末）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 4 90 第2次实验 5 100 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； (3)当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】(1) (2)液面以下探针长度为时，液体的体积是 (3) 【分析】（1）根据（）与（）满足一次函数关系，使用待定系数法求解即可； （2）将代入函数关系式求解即可； （3）先得到每增加，体积增加，再求解高度即可． 【详解】（1）解：由题意，设， ∵当，;当，， ∴，解得． ∴函数表达式为； （2）解：当时，， ∴液面以下探针长度为时，液体的体积是； （3）解：当探针刚接触液面时有，此时， 设该装置底面积为， ∴， ∵， ∴每增加，体积增加， ∴． ∴． 答：此时液面高度为． 4．（2026·河北沧州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． (1)图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； (2)当 时，求 关于 的函数解析式； (3)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 【答案】(1)②，④，10，5 (2) (3) 【分析】（1）根据对应的状态读数即可； （2）先设直线解析式，再将两点代入解析式求出即可； （3）将代入函数解析式，求出对应的值，再根据求值即可． 【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力 一直在减小 点 对应状态为②，点 对应状态为④ 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ， （2）解：设 ， 将，的坐标分别代入，得，解得， ∴当 时， 关于 的函数解析式为； （3）解：当 时， ， （N）． 即此时圆柱体所受浮力为 ． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某市物流公司启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城外卖急送．运营一段时间后，物流公司整理了如下相关资料： 资料1 【配送时间】 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，每单外卖取货与送货固定消耗10分钟． 无人机：平均时速为，每单外卖起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长） 资料2 【配送账单】 该市一家咖啡店某天共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送．已知传统骑手每单配送费6元，无人机每单配送费10元，平均每单的配送距离为，总配送费为380元． 资料3 【采购计划】 为了扩大规模，物流公司计划投入50万元全部用于采购“旋翼A型”和“旋翼B型”这两种新型无人机，且两种型号都购入． 旋翼A型：单价4万元，最大载重量15千克； 旋翼B型：单价6万元，最大载重量25千克． 根据上述资料，解决下列问题： (1)现有一单外卖需要从A地送往B地，两地之间距离为 ，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________小时（用含的代数式表示）； (2)当天该咖啡店使用“传统骑手”“无人机”各配送了多少单？所有订单相比全部使用“传统骑手”共节省了多少小时？ (3)该物流公司在采购新型无人机时，共有哪几种满足条件的采购方案？哪种采购方案能使新购入无人机的总载重量最大？ 【答案】(1) (2)传统骑手配送了30单，无人机配送了20单，共节省了小时 (3)共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案1：采购旋翼A型11台，旋翼B型1台；方案2：采购旋翼A型8台，旋翼B型3台；方案3：采购旋翼A型5台，旋翼B型5台；方案4：采购旋翼A型2台，旋翼B型7台．采购旋翼A型2台、旋翼B型7台的方案能使总载重量最大． 【分析】（1）根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长，统一单位后分别计算两种方式的总时长，作差得到节省时间的代数式； （2）根据总单数和总配送费列出二元一次方程组，求解得到配送单数，再结合[1]的结论计算总节省时间； （3）根据总采购资金列出二元一次方程，求正整数解得到所有采购方案，通过计算比较得到总载重量最大的方案． 【详解】（1）解：10分钟小时，5分钟小时， 传统骑手配送总时长为小时．无人机配送总时长为小时， 节省的时长为：小时； （2）解：设当天该咖啡店使用传统骑手配送单，无人机配送单， 根据题意得，解得， 已知平均每单配送距离为， 由（1）知每单无人机比传统骑手节省小时， 总节省时间为小时， 答：当天该咖啡店使用传统骑手配送30单，无人机配送20单，所有订单相比全部使用传统骑手共节省了小时； （3）解：设采购旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台，均为正整数， 根据题意得， 变形得， ， ， 解得， 是正整数， 为正偶数， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴为正奇数， 的可取值为， 对应的值分别为． 因此共有4种采购方案： 方案1：采购旋翼A型11台，旋翼B型1台； 方案2：采购旋翼A型8台，旋翼B型3台； 方案3：采购旋翼A型5台，旋翼B型5台； 方案4：采购旋翼A型2台，旋翼B型7台． 设总载重量为，则， 代入得， ∵， ∴随的增大而增大， 因此当取最大值时，取得最大值． 即采购旋翼A型2台，旋翼B型7台时，总载重量最大． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【答案】(1) (2) (3)将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出音阶为），号杯装的水（发出的音阶为），号杯装的水（发出的音为），用筷子依次敲击1号、2号、3号、4号玻璃杯，即可奏出图中的旋律． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时，h的值，再根据水位每升高时，则所使用的水量增加求解即可； （3）求出发出三个音符（，，）的水位高度，进而计算需要的水量即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得，， 解得， ； （2）解：在中，当时，则， 解得， 由题意可得：， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； （3）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 288．5（ml）， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出音阶为），号杯装的水（发出的音阶为），号杯装的水（发出的音为），用筷子依次敲击1号、2号、3号、4号玻璃杯，即可奏出图中的旋律． 7．随着智能家居的普及，智能扫地机器人已经成为许多家庭的必备清洁工具，某科技公司研发了甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，在某次测试中，两台机器人同时开始工作，它们的清扫速度始终保持不变，其中甲机器人工作一段时间后，因电量不足充电了后又继续进行工作，两机器人的清扫面积与乙机器人的工作时间的关系如图所示． (1)当时，求甲机器人的清扫面积y关于乙机器人的工作时间x的函数解析式． (2)乙机器人工作多长时间时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）求出甲型号智能扫地机器人的清扫速度，设出函数关系式，利用待定系数法进行求解即可； （2）分甲充电时，以及重新工作时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，甲型号智能扫地机器人的清扫速度为， 设的函数表达式为， 把代入，得，解得， ∴； （2）解：由图可知乙型号智能扫地机器人的清扫速度为， 可知乙机器人的函数解析式为， 当甲充电时，， 解得； 当甲重新开始工作时，，解得； 故当乙机器人工作或时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同． 8．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）暑期将至，游泳馆面向学生推出暑假卡套餐．下表是暑假卡套餐的收费标准： 方案 暑假卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 购买暑假卡套餐 a m n 若不购买暑假卡，单次收费为40元． 设某学生暑期游泳（次），购买暑假卡套餐所需费用为（元），不买暑假卡所需费用为（元），其函数图象如图所示，两图象相交于点． (1)填空：____________，____________，____________； (2)求点的坐标，并说明它的实际意义； (3)若学生小华计划暑期游泳18次，选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】(1)600；20；30 (2)，实际意义：当暑假游泳15次时，两种方案所需的费用均为600元 (3)选择购买暑假卡套餐费用更少．理由如下： 当暑期游泳18次时，即时，，， ∵，即， ∴选择购买暑假卡套餐费用更少． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）首先得到，然后令，求出，即可得到点A的坐标，然后写出实际意义即可； （3）当时，分别计算和，然后比较判断即可． 【详解】（1）解：由图象可得，暑假卡费用为600元，套餐内游泳次数为20次， ∴，， 套餐外单次收费为（元）， ∴； （2）解：由题意得，， 令，则， 解得：， ， 实际意义略； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $