专题13.1 三角形中的边角关系（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦三角形中的边角关系核心知识点，系统梳理三角形的定义、基本元素及表示方法，按边和角的分类标准，三角形三边关系定理，内角和定理，以及高、角平分线、中线的定义与性质，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料设计“即学即练”即时巩固，题型分类覆盖三角形识别、数个数、分类等12类，含解题技巧如“较短两边之和大于最长边”快速判断。通过几何图形观察培养几何直观，角度推理发展推理意识，规范几何语言提升数学表达，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺强化应用。

专题13.1 三角形中的边角关系 教学目标 1.理解三角形的定义，掌握三角形的边、角、顶点等基本概念，能准确识别三角形，掌握三角形的规范表示方法，熟悉三角形按边、按角的两种分类标准，能正确区分各类三角形。 2.掌握三角形三边关系定理，理解“三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”的本质，能利用定理判断三条线段能否组成三角形，求解三角形边长的取值范围。 3.掌握三角形内角和定理，理解三角形内角和为180°的几何结论，能熟练运用定理进行三角形内角度数计算、角度推理与简单几何说理。 4.认识三角形的角平分线、中线、高线三种重要线段，理解三种线段的定义与基本特征，掌握任意三角形三类线段的画法，了解线段交点的基本性质。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形的基本概念与分类，熟练区分不同类型三角形； （2）熟练掌握三角形三边关系定理，能判定线段能否构成三角形、求解边长取值范围； （3）掌握三角形内角和定理性质，能精准进行角度计算与简单推理； （4）理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三类线段的基本画法与基础性质。 2. 难点 （1）理解“任意两边之和大于第三边”中“任意”的含义，规避只判断一组边长的解题误区，灵活运用三边关系解决含参数、分类讨论类题型； （2）综合运用三角形内角和性质进行多步角度推理，梳理角度之间的逻辑关系； （3）准确绘制钝角三角形、直角三角形的高线，区分不同三角形中三类特殊线段的位置差异； （4）在复杂图形中挖掘三角形边角隐含条件，结合几何性质完成综合说理与证明，规范几何推理语言。 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形。 2.三角形中的基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的 叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角。 3三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“ ”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 【即学即练】 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 知识点02 三角形的分类 1.三角形的分类： ①按角分类：三角形 ②按边分类： 2.与等腰三角形的有关概念： ①有两边相等的三角形叫作 ；（其中相等的边叫作 ，另一边叫作 ，两腰的夹角叫作 ，腰和底边的夹角叫作 ） ②三边都相等的三角形叫作 ；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 【即学即练】 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系：三角形中任意两边的和 第三边，任意两边的差 第三边。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 2. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得米，米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（    ） A．15米 B．14米 C．13米 D．12米 知识点04 三角形内角和定理 1.三角形内角和定理： 。 【即学即练】 1．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，求证：．      知识点05 三角形的高、角平分线、中线 1.三角形的高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高。 2.三角形高线的交点：三角形三条高线的交点叫做三角形的 。 3.垂心的位置：① 锐角三角形的三条高都在三角形 ，三条高的交点也在三角形的 ； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点是三角形的 ； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的 ，两个垂足落在边的延长线上，三条高所在直线的交点也在三角形的 。 4.三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 5.三角形的角平分线的交点：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的 。 6.三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线。 7.三角形的中线的交点：三角形三条中线的交点叫做三角形的 ，三角形的重心在三角形 。 【即学即练】 1．如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 3．如图，在中，，，，，，求和的长． 题型01 三角形的识别及有关概念 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 题型02 数三角形的个数 【典例1】如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 （1）有序枚举法：从小到大分类数，先数单个小三角形，再数两个组合、三个组合的大三角形，不重不漏； （2）固定顶点法：固定一个公共顶点，数对边线段的数量，线段数即为三角形个数，适合规整图形； （3）去重原则：数完及时标记，禁止重复计数、漏数，复杂图形分层统计； （4）排除法：剔除三点共线、无法构成三角形的虚假图形。 【变式1】如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，共有_______个三角形． 【变式3】从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 题型03 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【变式3】一个三角形三个内角的比是，那么这个三角形是____三角形． 题型04 等腰三角形的概念 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）等腰三角形的两边长是2和5，周长为（   ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【变式1】下列各组数可以作为等腰三角形的三边长的是（） A．1，1，3 B．2，3，4 C．8，8，5 D．5，5，10 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为，，则的长为_______． 题型05 判断能否构成三角形 【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 快速秒杀技巧：只需验证较短两边之和＞最长边，满足即可构成三角形，无需全部验证。 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列长度的4组细木棒中，能摆成一个三角形的是（     ） A．1，2，3 B．6，3，5 C．4，4，9 D．2，6，10 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型06 确定第三边的取值范围 【典例1】同学们用小木条拼三角形，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（    ） A． B． C． D． 万能取值公式：已知三角形两边长为，第三边取值范围：。 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如果三角形的三条边的长度分别为a，4，6，那么整数a的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知三角形的三边长分别为2、x、3，则x的取值范围是_______． 题型07 三角形三边关系的应用 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图所示，某人字梯的两侧支架和长度均为（连接处厚度忽略不计）．根据人字梯的结构特点与安全性，当其在地面上放置时，两支架底端、之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，将一张长方形纸片沿剪去一个角，得到五边形纸片，则裁剪前后图形周长的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果三角形的三条边长中存在一边是另一边的两倍关系，则称这样的三角形为“倍边三角形”．若一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长，则第三边长的值为_______． 【变式3】已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 题型08 三角形内角和定理 【典例1】如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，则的度数为_____ ． 【变式3】如图且，则的度数是______． 【变式4】如图，将沿方向平移，得到． (1)若，，求； (2)若，，则________． 题型09 三角形的高 【典例1】如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【变式1】如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【变式4】如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 题型10 三角形的角平分线 【典例1】如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【变式2】如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 【变式3】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 题型11 三角形的中线 【典例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【典例2】如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【变式1】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】如图，是的中线，的面积为，则的面积是_______． 【变式3】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 题型12 与三角形有关线段的正误判断 【典例1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 （1）区分三类线段：高垂直对边、角平分线平分内角、中线平分对边，功能完全不同； （2）统一属性：高、角平分线、中线均为线段、均在三角形内部（钝角高除外）； （3）特殊三角形重合：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高三线合一； （4）逐项排查：判断正误题逐一核对定义、位置、性质、特殊情况。 【变式1】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法错误的是（   ）． A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③ ；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西长治·期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 9．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 5．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 7．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 8．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 9．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 10．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 三角形中的边角关系 教学目标 1.理解三角形的定义，掌握三角形的边、角、顶点等基本概念，能准确识别三角形，掌握三角形的规范表示方法，熟悉三角形按边、按角的两种分类标准，能正确区分各类三角形。 2.掌握三角形三边关系定理，理解“三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”的本质，能利用定理判断三条线段能否组成三角形，求解三角形边长的取值范围。 3.掌握三角形内角和定理，理解三角形内角和为180°的几何结论，能熟练运用定理进行三角形内角度数计算、角度推理与简单几何说理。 4.认识三角形的角平分线、中线、高线三种重要线段，理解三种线段的定义与基本特征，掌握任意三角形三类线段的画法，了解线段交点的基本性质。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形的基本概念与分类，熟练区分不同类型三角形； （2）熟练掌握三角形三边关系定理，能判定线段能否构成三角形、求解边长取值范围； （3）掌握三角形内角和定理性质，能精准进行角度计算与简单推理； （4）理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三类线段的基本画法与基础性质。 2. 难点 （1）理解“任意两边之和大于第三边”中“任意”的含义，规避只判断一组边长的解题误区，灵活运用三边关系解决含参数、分类讨论类题型； （2）综合运用三角形内角和性质进行多步角度推理，梳理角度之间的逻辑关系； （3）准确绘制钝角三角形、直角三角形的高线，区分不同三角形中三类特殊线段的位置差异； （4）在复杂图形中挖掘三角形边角隐含条件，结合几何性质完成综合说理与证明，规范几何推理语言。 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.三角形中的基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角。 3三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 【即学即练】 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 知识点02 三角形的分类 1.三角形的分类： ①按角分类：三角形 ②按边分类： 2.与等腰三角形的有关概念： ①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；（其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角） ②三边都相等的三角形叫作等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 【即学即练】 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 知识点03 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， 解得， 只有选项满足的取值范围， 第三边长可以是， 故选：． 2. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得米，米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（    ） A．15米 B．14米 C．13米 D．12米 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系可得，从而可得答案． 【详解】解：∵米，米， ， ， 故选：A． 知识点04 三角形内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 【即学即练】 1．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，求证：．      【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，先由三角形内角和定理证明，由平行线的性质得，等量代换可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 知识点05 三角形的高、角平分线、中线 1.三角形的高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高。 2.三角形高线的交点：三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。 3.垂心的位置：① 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，三条高所在直线的交点也在三角形的外部。 4.三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 5.三角形的角平分线的交点：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 6.三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线。 7.三角形的中线的交点：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部。 【即学即练】 1．如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形的高等，弄清楚各角之间的数量关系是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形内角和得出，即可得出答案． 【详解】解：在中，． ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 3．如图，在中，，，，，，求和的长． 【答案】； 【分析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 题型01 三角形的识别及有关概念 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式2】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 题型02 数三角形的个数 【典例1】如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． （1）有序枚举法：从小到大分类数，先数单个小三角形，再数两个组合、三个组合的大三角形，不重不漏； （2）固定顶点法：固定一个公共顶点，数对边线段的数量，线段数即为三角形个数，适合规整图形； （3）去重原则：数完及时标记，禁止重复计数、漏数，复杂图形分层统计； （4）排除法：剔除三点共线、无法构成三角形的虚假图形。 【变式1】如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 【变式2】如图，共有_______个三角形． 【答案】8/八 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形从而数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：，共8个． 故答案为：8． 【变式3】从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 题型03 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】根据三个内角的比例设未知数，利用三角形内角和为180°求出最大角的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴设， ， ∵三角形内角和为 ∴ 解得 ∴ ∴是直角三角形． 【变式1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式3】一个三角形三个内角的比是，那么这个三角形是____三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的度数之和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该三角形的最大的内角的度数为， ∴该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 题型04 等腰三角形的概念 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论求解． 等腰三角形有一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）等腰三角形的两边长是2和5，周长为（   ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长； 综上所述：等腰三角形的周长为12． 故选：B． 【变式1】下列各组数可以作为等腰三角形的三边长的是（） A．1，1，3 B．2，3，4 C．8，8，5 D．5，5，10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的定义（有两边相等）和三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），据此逐项判断即可． 【详解】解：A．1，1，3，，不满足三角形不等式； B．2，3，4，没有两边相等，不是等腰三角形； C．8，8，5，两边相等，且，满足三角形的三边关系，符合题意； D．5，5，10，，等于第三边，不满足三角形不等式． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为________． 【答案】 2 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，两条腰相等，利用周长公式求出底边长，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4， ∴两腰之和为：， ∴底边长为：， ∵， ∴此时能够构成三角形， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为，，则的长为_______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形中，，周长为， ∴， 情况一：当、为腰时，则， ∴， 此时三边长为，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）； 当、为腰时，则， ∴， 此时三边长为，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）； 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故， 此时三边长为，满足三角形三边关系定理， ∴的长为或或， 故答案为：或或． 题型05 判断能否构成三角形 【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 快速秒杀技巧：只需验证较短两边之和＞最长边，满足即可构成三角形，无需全部验证。 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列长度的4组细木棒中，能摆成一个三角形的是（     ） A．1，2，3 B．6，3，5 C．4，4，9 D．2，6，10 【答案】B 【详解】解：A、，不满足三边关系，不能摆成三角形； B、，满足三边关系，能摆成三角形； C、，不满足三边关系，不能摆成三角形； D、，不满足三边关系，不能摆成三角形． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据为奇数确定符合条件的的个数即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，，根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数为，，共个， 即这样的三角形有个． 题型06 确定第三边的取值范围 【典例1】同学们用小木条拼三角形，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系． 设第三根小木条长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边求出的取值范围，再结合选项选出符合条件的长度即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， ∵选项中只有C在这个范围内， ∴第三根小木条可取， 故选：C． 万能取值公式：已知三角形两边长为，第三边取值范围：。 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再结合选项选出符合条件的数值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和6，第三边长为， ∴根据三角形三边关系，得， 即， ∵选项中只有4满足， ∴的值可能是4， 故选：D 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如果三角形的三条边的长度分别为a，4，6，那么整数a的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，解决本题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出a的取值范围，再判断整数a的可能值即可． 【详解】解：∵三角形的三边长为a，4，6， ∴由三角形三边关系得：且， 即且， ∴， ∴整数a可能为3，4，5，6，7，8，9， ∴a不可能为2． 故选：A． 【变式3】已知三角形的三边长分别为2、x、3，则x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系定理列不等式求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、x、3， 则，即， 故答案为：． 题型07 三角形三边关系的应用 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图所示，某人字梯的两侧支架和长度均为（连接处厚度忽略不计）．根据人字梯的结构特点与安全性，当其在地面上放置时，两支架底端、之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系得到的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即； 故两支架底端、之间的距离不可能是； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，将一张长方形纸片沿剪去一个角，得到五边形纸片，则裁剪前后图形周长的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【变式2】如果三角形的三条边长中存在一边是另一边的两倍关系，则称这样的三角形为“倍边三角形”．若一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长，则第三边长的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先理解“倍边三角形”，再进行分类讨论，然后结合三角形的三边关系进行作答． 【详解】解：∵一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长， ∴当第三边为时，则， ∴第三边长的值为； ∴当第三边为时，则，不符合三角形的三边关系， 综上：第三边长的值为， 故答案为：12 【变式3】已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的化简，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据三角形三边关系定理确定代数式的正负，然后根据绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a、b、c是的三条边长， ∴， ∴， ， ， ． 题型08 三角形内角和定理 【典例1】如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，再利用对顶角相等，可得的度数，最后根据三角形内角和得出的大小． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 【答案】 【分析】先通过三角形内角和定理求出，再求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出. 【详解】由三角形内角和为可知， ， 由两直线平行，内错角相等得 . 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、对顶角相等以及三角板的角度特征，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 先根据三角板的角度确定三角形的两个内角，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】如图且，则的度数是______． 【答案】/38度 【分析】根据对顶角相等可知，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ． 【变式4】如图，将沿方向平移，得到． (1)若，，求； (2)若，，则________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可； （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以， 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即， 又因为， 所以， 所以． 题型09 三角形的高 【典例1】如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 【典例2】如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式1】如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 【变式2】如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 【变式4】如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 题型10 三角形的角平分线 【典例1】如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 【变式1】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 【变式2】如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理，角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 【变式3】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型11 三角形的中线 【典例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【典例2】如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【答案】平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积公式，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴，， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴平方厘米 ∴四边形的面积为平方厘米． 【变式1】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 【变式2】如图，是的中线，的面积为，则的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等部分．根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴的面积是． 故答案为：． 【变式3】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 题型12 与三角形有关线段的正误判断 【典例1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． （1）区分三类线段：高垂直对边、角平分线平分内角、中线平分对边，功能完全不同； （2）统一属性：高、角平分线、中线均为线段、均在三角形内部（钝角高除外）； （3）特殊三角形重合：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高三线合一； （4）逐项排查：判断正误题逐一核对定义、位置、性质、特殊情况。 【变式1】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式2】如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 【变式3】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线的性质，准确计算是解题的关键． 根据三角形角平分线、中线和高的知识点进行判断即可． 【详解】对于A，是中线，，故A说法正确，不符合题意； 对于B，是高，，即，故B说法正确，不符合题意； 对于C，是中线，不一定能够得到，故C说法错误，符合题意； 对于D，是高，，， 是中线，，即，故D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4】如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③ ；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确；   故正确； 故错误； 故选：C 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 【答案】C 【分析】较短两条线段的长度和大于最长线段的长度，即可构成三角形，否则不能构成三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴A不符合题意. 选项B中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴B不符合题意. 选项C中，，满足三角形三边关系，能构成三角形，∴C符合题意. 选项D中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴D不符合题意． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 3．（25-26七年级下·山西长治·期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 【答案】 3（答案不唯一，3，4，5都正确） 【分析】根据三角形三边关系求出x的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， 化简得， 为整数， 可取的值为3，4，5（答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 【答案】直角 【分析】根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：第三个内角的度数为 ， 因此该三角形是直角三角形． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 9．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【详解】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用的条件，根据平行线的性质，确定与的数量关系结合已知的等腰直角三角板角度，求出的度数，进而得到的度数根据含角的直角三角板的内角特征，求出的度数利用平角为的性质，结合、的度数，计算的度数． 【详解】解：在等腰直角三角板中，，， ∴。 在三角板中，，， ∴ ． ，直线截两条平行线， ∴． 四点共线， ∴． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 4．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 【答案】或/5或8 【分析】分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当的边为等腰三角形的腰时，底边的长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 当的边为等腰三角形的底边时，腰长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 综上可知，它的腰长是或． 5．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 【答案】2 【分析】连接，根据E是边上的点且，求出，再结合D是的中点，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵E是边上的点且， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：   理由如下：    又       (2) 【分析】（1）依据同位角相等，即可得到，由平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （2）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解： ， 在中， ， ， ，   ， ， ， ，    答：的度数为． 8．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $