精品解析：湖南长沙市宁乡市第一高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末调研考试数学试卷

2026年上学期宁乡市高二期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，其虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在上为偶函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 5. 下列说法错误的是（ ） A. 如果直线，那么直线a平行于经过直线b的任何平面 B. 如果直线a不平行于平面，那么直线a与平面有公共点 C. 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 D. 如果直线a和平面满足，那么直线a垂直于平面内的任何直线 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 某地区某农产品近几年的年产量统计如表： 年份 年份代码t 年产量y（万吨） 请根据经验回归方程，预测年该地区该农产品的年产量为（ ） （对于一组数据，，…，，其经验回归方程的参考公式为：，，参考数据：，．） A. 7.2 B. 7.46 C. 7.50 D. 7.56 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在独立性检验中，零假设：两个分类变量相互独立；若算出卡方观测值越大，则越有充分的把握拒绝零假设 B. 样本相关系数，则两个相关变量的线性负相关程度很强 C. 残差图中，残差点均匀分布在x轴两侧的一条水平带状区域内，如果带状区域的宽度越窄，则说明模型的拟合精度越高 D. 一批产品的次品率为5%，不放回地随机抽取20件，是n重伯努利试验 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的最大值为 D. 把的图象先横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，最后纵坐标缩短为原来的得到的图象；且在内仅有1个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是______. 13. 函数的定义域为______. 14. 设集合，从集合U中随机抽取一个点，定义随机变量，则X的数学期望为________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 设是线段上的一点，点，的坐标分别是，． （1）当点满足时，求点P的坐标； （2）若点坐标为，且，求点的坐标． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，． （1）求c； （2）若D是的中点，求． 18. 如图，是的直径，点是圆周上不同于的动点，M是中点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若平面平面，证明：平面； （3）若，求与平面所成角的正切值． 19. 已知某工厂生产的产品中，合格品概率为，次品概率为．该工厂现有人工和两种质检方式，人工质检无误判，单件人工检测费为3元；若使用进行质检，合格品被误判为次品的概率为，次品被误判为合格品的概率为，质检无检测费． （1）任意抽取一件产品，求被判定为次品的概率； （2）若一件产品已被判定为次品，求这件产品未被误判的概率； （3）现该工厂预设两套质检方案，具体规则如下： 方案1：“人工全检”模式 所有产品逐一人工全检，经人工检测判定为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 方案2：“质检+人工复检”模式 所有产品逐一全检，经判定为合格的产品直接出厂，因误判而流入市场的次品，会被用户投诉并索赔，单件赔付50元；经判定为次品的产品，则均需逐一人工复检，复检核实为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 分别求出两种方案下单件产品的综合损失（包含上述所有可能产生的检测费、索赔金额、报废亏损）的数学期望，并据此判断该工厂应采取哪套质检方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期宁乡市高二期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，又， 故. 2. 复数，其虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 其虚部为. 3. 已知在上为偶函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】方法一：因为函数在上为偶函数， 所以对称轴为，即. 方法二：因为函数在上为偶函数， 所以对，恒有. 即对恒成立. 所以. 4. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质及对称性即可解决问题. 【详解】随机变量服从正态分布，则该正态分布曲线关于直线对称， 那么，. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 如果直线，那么直线a平行于经过直线b的任何平面 B. 如果直线a不平行于平面，那么直线a与平面有公共点 C. 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 D. 如果直线a和平面满足，那么直线a垂直于平面内的任何直线 【答案】A 【解析】 【详解】 如图在长方体中， 对于A，，但在过的面内，A选项错误； 对于B，直线与平面有三种关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交， 如果直线a不平行于平面，那么二者至少有一个交点，B选项正确； 对于C，，，但，C选项正确； 对于D，根据直线与平面垂直定义可知：如果直线与平面内任意一条直线垂直， 则直线与平面相互垂直，反之亦然，D选项正确. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 7. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 8. 某地区某农产品近几年的年产量统计如表： 年份 年份代码t 年产量y（万吨） 请根据经验回归方程，预测年该地区该农产品的年产量为（ ） （对于一组数据，，…，，其经验回归方程的参考公式为：，，参考数据：，．） A. 7.2 B. 7.46 C. 7.50 D. 7.56 【答案】D 【解析】 【分析】根据参考公式直接求出经验回归方程，代数即可得出结果. 【详解】由题得，， 且， 则，， 所以其经验回归方程为， 则时，. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A举反例即可，对B，根据不等式性质即可判断；对C，作差即可判断；对D，根据不等式性质即可判断. 【详解】A：当时，则，故A错误； B：当时，，故B正确； C：当时，，则，故C正确； D：当时，，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在独立性检验中，零假设：两个分类变量相互独立；若算出卡方观测值越大，则越有充分的把握拒绝零假设 B. 样本相关系数，则两个相关变量的线性负相关程度很强 C. 残差图中，残差点均匀分布在x轴两侧的一条水平带状区域内，如果带状区域的宽度越窄，则说明模型的拟合精度越高 D. 一批产品的次品率为5%，不放回地随机抽取20件，是n重伯努利试验 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项 A，独立性检验中，原假设 ：两个分类变量相互独立， 卡方统计量 观测值越大，说明观察值与零假设的理论期望值的偏离程度越大， 也就越有充分理由拒绝 ，A正确； 选项 B，样本相关系数 ， 越接近 1，线性相关程度越强， 本题 ， 非常接近 1，线性负相关程度极强，B正确； 选项 C，残差图判断拟合效果，残差均匀分布在 x 轴两侧水平带状区域， 说明模型满足线性回归前提；带状区域越窄，残差波动越小，预测误差越小， 模型拟合精度越高，C正确； 选项 D，n 重伯努利试验要求：每次试验独立、成功概率不变， 不放回抽样时，每次抽取后总体结构改变，次品概率发生变化， 不满足伯努利试验条件（有放回抽样才是），D错误. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的最大值为 D. 把的图象先横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，最后纵坐标缩短为原来的得到的图象；且在内仅有1个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】由周期公式可判断A，通过代入验证可判断B，求得的范围，结合正弦函数性质可判断C，通过函数图象平移，结合求解可判断D. 【详解】选项A： 由最小正周期公式得：，A正确， 选项B：将代入得： ，，故不是对称轴，B错误， 选项C：由 时，得，  由正弦函数的性质知：在的最大值为​，因此，C正确， 选项D： 将先横坐标缩短为原来的，​得， 再向右平移个单位，得， 最后纵坐标缩短为原来的得到：， 令，得，即， 令得，令得，令得， 因此在区间内没有零点，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】 有题意可知该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】由题意可得该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径， 设球的半径为，则， 所以， 所以球的体积为， 故答案为：. 13. 函数的定义域为______. 【答案】. 【解析】 【分析】由函数的解析式利用偶次根式被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式，解得x的范围，可得函数的定义域． 【详解】由函数的解析式可得2x﹣1＞0，且，即 解得，故函数的定义域为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题． 14. 设集合，从集合U中随机抽取一个点，定义随机变量，则X的数学期望为________________． 【答案】0 【解析】 【详解】由题意可得或或或共4种不同的结果， 故随机变量的值为，0，2. 所以，，， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 设是线段上的一点，点，的坐标分别是，． （1）当点满足时，求点P的坐标； （2）若点坐标为，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，利用向量的数乘的坐标表示即可解决； （2）设在上，则，又，则，，所以，再利用两向量垂直数量积为即可求解. 【小问1详解】 设，已知， 则，， 由得， 解得，所以 【小问2详解】 设在上，则，又 则，，所以 又，所以，即：，解得 所以，即. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，． （1）求c； （2）若D是的中点，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由已知求得，进而利用正弦定理求得c； （2）法1：由正弦定理可得，利用计算即可.法2：由正弦定理可得，进而利用计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，， 所以， 即：所以， 又由正弦定理可得：，解得； 【小问2详解】 法1：由正弦定理可得：，解得， 又， 所以. 法2：由正弦定理可得：，解得， 所以. 18. 如图，是的直径，点是圆周上不同于的动点，M是中点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若平面平面，证明：平面； （3）若，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）由题意可知平面，平面，所以， 在圆O中，因为是的直径，所以， 又，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由题意可知平面，平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直即可证明线线垂直； （2）利用面面垂直和线面垂直来证明线线平行，从而可证明线面平行； （3）法一：利用面面垂直证明线面垂直，从而可得线面角的平面角，从而即可求解线面角；法二：利用空间向量法来求线面角的正弦值，然后再求正切值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法1（几何法）：找中点N，连接，， 由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面， 因为，中点为N，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 即为与平面所成角的平面角， 不妨设，所以，， 所以，即与平面所成角的正切值为； 法2（坐标法）：如图：以点C为坐标原点，作轴建系， 不妨设， 则：，，，， 所以，，， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 设与平面所成角为，， 则，即， 所以. 19. 已知某工厂生产的产品中，合格品概率为，次品概率为．该工厂现有人工和两种质检方式，人工质检无误判，单件人工检测费为3元；若使用进行质检，合格品被误判为次品的概率为，次品被误判为合格品的概率为，质检无检测费． （1）任意抽取一件产品，求被判定为次品的概率； （2）若一件产品已被判定为次品，求这件产品未被误判的概率； （3）现该工厂预设两套质检方案，具体规则如下： 方案1：“人工全检”模式 所有产品逐一人工全检，经人工检测判定为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 方案2：“质检+人工复检”模式 所有产品逐一全检，经判定为合格的产品直接出厂，因误判而流入市场的次品，会被用户投诉并索赔，单件赔付50元；经判定为次品的产品，则均需逐一人工复检，复检核实为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 分别求出两种方案下单件产品的综合损失（包含上述所有可能产生的检测费、索赔金额、报废亏损）的数学期望，并据此判断该工厂应采取哪套质检方案． 【答案】（1） （2） （3）（元） ，（元），该工厂应采取方案2作为质检方案． 【解析】 【分析】（1）设相应事件，利用全概率公式求解即可； （2）根据题意结合（1）中数据，利用贝叶斯公式求解即可； （3）分别计算两种方案的期望，通过期望的大小即可作出判断和选择. 【小问1详解】 设事件A为：产品为合格品，事件为：产品为次品，设事件B为：判定为次品， 则，，合格品被误判为次品，次品被正确判定为次品， 则被判定为次品的概率为：， 所以被判定为次品的概率； 【小问2详解】 一件产品已被判定为次品，求这件产品未被误判的概率为：， 所以这件产品未被误判的概率； 【小问3详解】 方案1：“人工全检”模式，产品合格花费检测费3元，产品为次品花费检测费3元及报废亏损25元， 设方案1单件损失为X，则X的所有可能取值为：3，28，则， 所以，（元） 方案2：“质检+人工复检”模式，设方案2单件损失为Y， 当产品合格，且判断合格，此时损失0元， ， 当产品合格，且判断为次品，此时损失人工检测费3元， ， 当产品为次品，且判断为次品，此时损失人工检测费3元及报废亏损25元， ， 当产品为次品，且判断合格，此时损失流出市场的赔付50元， ， Y 0 3 28 50 P 所以，（元） ，该工厂应采取方案2作为质检方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $