精品解析：湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

2025年上学期期末质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误． 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 4. 已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的表面积. 【详解】将正四面体放在正方体中如图所示， 正四面体外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为， 由于，即， 所以正方体的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 5. 已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 分析】由正弦定理边角互化可得，随后由正弦定理可得，最后由面积公式得答案. 【详解】由正弦定理边角互化，， 得，又在三角形中，有，则. 又，由正弦定理，，则三角形面积为： . 故选：B 6. 如图，已知圆锥的底面积为，其轴截面为等腰直角三角形，若其一个内接圆柱的底面积为，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据体积公式计算可得. 【详解】如图作出圆锥的轴截面， 根据题意可知, , 所以可得, 根据三角形相似可得, 所以,可求得, 所以， 故选：C 7. 现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 8. 如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，由点的位置分类探讨确定取最大值的位置，再取中点，利用数量积的运算律及定义求出最大值. 【详解】当点在半圆或半圆的弧上时，在方向上的投影的数量为非正数； 当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量在内，； 当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量不小于2， 因此当取最大值时，点在半圆的弧上，取中点，则， 而， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值是20. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B错； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：CD. 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，由条件概率公式即可求解；对于选项B，利用事件，事件相互对立及条件概率公式即可求解；对于选项C，由全概率公式和条件概率公式即可求解；对于选项D，根据选项C和条件概率即可求解. 【详解】因为是等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球， 所以由古典概型的概率公式和相互独立事件的概率公式可得： ， ，，. 对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立， 所以，故选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式和条件概率公式可得： ， 所以选项C正确； 对于选项D，由选项C知， 则，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 B. 若一组数据依次为，则这组数据的下四分位数为. C. 随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是奇数”，事件“骰子向上的点数是或”，则事件与事件是相互独立事件 D. 在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则各项系数和是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相关系数和回归方程的性质判断A，先把给定数据排序，再利用下四分位数的计算公式判断B，利用古典概型概率公式结合独立事件的概率公式判断C，利用给定条件得到，再结合整体代入法判断D即可. 【详解】对于A，若所有样本点都在直线上， 则这组样本数据的样本相关系数为，故A错误； 对于B，我们先把按顺序排列， 得到，共有个数， 而，故下四分位数为第个数，故B正确； 对于C，由题意可知，，， 而事件“骰子向上的点数是”，则， 满足，故事件与事件是相互独立事件，故C正确； 对于D，在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大， 则，可得，因此展开式各项系数和为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 13. 某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 【答案】95 【解析】 【分析】首先根据正态分布确定的值，然后根据对称性求出等级分在的概率，进而可求出人数. 【详解】根据题意可知，考试等级分服从正态分布， 则.而， 所以. 所以这次考试等级分在内的人数约为人. 故答案为：95. 14. 已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】推导出，令，可求得的值；在等式中，令，可求得的值，推导出，令，可求出的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 可得，所以，函数的图象关于点对称， 则， 令可得，故， 因为，则， 因为函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 所以，，令，可得，则. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求函数值，可利用以下结论来转化： ①函数图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率； （2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【详解】（1）取出的零件是次品的概率为； （2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为, 则,, 所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 当时，，则，， 所以数列的前项和. 17. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断； （2）按分层抽样得到A、B组的男女生人数，则A组中女生人数的可能值为1，2，3，从而求出取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关. 【小问2详解】 按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人， 100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人. 故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人. 从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后， A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3. ，，. X的分布列如下表： 1 2 3 . 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． （1）证明：平面平面． （2）求PB与平面PCD所成角的余弦值． （3）记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，最后结合所应用面面垂直判定定理证明； （2）先应用线面垂直判定定理得出平面，再结合线面角定义得出是PB与平面PCD所成角，求出余弦值即可； （3）应用线面平行判定定理得出平面进而得出平面平面， 进而得出截面为梯形，最后计算求值. 【小问1详解】 证明：因为底面为菱形，所以． 又平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 取CD的中点O，连接BO，PO． 在菱形ABCD中，由，可得． 因为平面，平面，所以． 又平面，所以平面， 则∠BPO即为PB与平面PCD所成的角． 因为，所以，，， 则，即PB与平面PCD所成角的余弦值为． 【小问3详解】 分别取AB，PC的中点F，G，连接EF，FO，OG，EG． 因为E是棱PB的中点，所以，则E，F，O，G四点共面． 又，，所以平面． 同理可得平面，则平面平面， 故α截四棱锥P-ABCD所得截面为四边形EFOG． 所以，从而，则四边形EFOG为直角梯形． ，，， 则四边形的面积， 即α截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数k的值; （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围; （3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义计算，化简求出可结果. （2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．化简，根据复合函数单调性可求出的最小值，从而求出的范围. （3）化简可得出是以为整体的二次型函数，令，根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值，即可求出的值. 【小问1详解】 是偶函数， 即对任意恒成立， ， 【小问2详解】 函数有两个零点，即方程有两个实数根． 令，则函数的图象与直线有两个交点， 由复合函数单递性知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 当且仅当即时，等号成立. 的取值范围是 【小问3详解】 ，， 令，，则，， 的最小值为0， 或或 或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 4. 已知正四面体棱长为，则其外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 5. 已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，已知圆锥的底面积为，其轴截面为等腰直角三角形，若其一个内接圆柱的底面积为，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 B. 若一组数据依次为，则这组数据的下四分位数为. C. 随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是奇数”，事件“骰子向上的点数是或”，则事件与事件是相互独立事件 D. 在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则各项系数和是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为________． 13. 某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 14. 已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求数列的前项和. 17. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． （1）证明：平面平面． （2）求PB与平面PCD所成角的余弦值． （3）记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数k值; （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围; （3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $