专题05 圆（解决问题讲义）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过“考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习”的框架构建圆的知识体系，以核心思路、方法技巧、计算公式和易错点为脉络呈现知识，涵盖圆的周长、面积、组合图形等8大考点，用结构化框架清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于情境化例题设计与分层练习结合，如双圆滚动问题培养几何直观，方中圆装裱情境渗透模型意识，分层练习从基础到拓展适配不同学生，助力学生自主复习，为教师提供精准教学支持，提升运算能力与空间观念。

（新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题05：圆 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：围成圆形一周的长度是周长；周长和直径、半径固定比值为圆周率π，已知半径或直径直接套公式计算。 2．方法技巧 （1）基础计算型：给半径用C=2πr，给直径用C=πd； （2）滚动类：总路程÷圆周长=滚动圈数；圈数×周长=总路程； （3）边界长度型：围栏、围铁丝直接求周长。 3．计算公式：C=πd；C=2πr 【易错点】 （1）区分“直径”与“半径”：避免将半径当作直径代入公式。 （2）单位统一是关键。 （3）π的取值按题目要求：题目未说明时，默认取3.14。 （4）滚动问题看清问题求路程还是圈数。 考点02：半圆的周长 1．核心思路：半圆周长≠圆周长÷2，一半圆弧长度+一条直径才是封闭半圆的总边长。 2．方法技巧 （1）明确半圆周长的构成：圆周长的一半+直径（封闭图形需包含直径）。 （2）提取半径/直径，统一单位。 （3）先算圆周长的一半（πr或πd÷2），再加直径（d=2r），求和即为半圆周长。 【易错点】 （1）不遗漏“直径”：避免将半圆周长误算为“圆周长的一半”。 （2）单位统一：若半径是厘米，直径也为厘米，结果单位保持一致，避免混合单位计算。 （3）结合场景验证：如“半圆拱门的周长”，需确认是否包含直径，避免因场景理解错误漏算。 考点03：含圆的组合图形的周长 1．核心思路：组合图形周长=所有外侧曲线边长+所有外侧直线边长，内部重合线段不计入周长。 2．方法技巧 （1）描出图形外围边线，区分曲线、直线； （2）曲线部分拼接转化为整圆、半圆周长； （3）直线段逐条数清，相加求和。 3．计算公式：组合周长=圆弧总长+外露直边长度和 【易错点】 （1）内部重合、贴合的线段不算周长，不要重复加； （2）多个小圆弧可拼接成完整圆形简化计算； （3）不要混淆周长与面积，只统计外围边线。 考点04：圆的面积 1．核心思路：把圆分割拼成近似长方形推导面积公式；已知半径可直接求面积；给直径先换算半径再计算。 2．方法技巧 （1）基础计算型：直接给出半径/直径/周长，求圆的面积。 （2）占地面积型：求圆形物体的底面面积。 （3）覆盖面积型：求圆规画圆的面积、喷水器喷水的覆盖面积。 3．计算公式 （1）面积公式：S=πr 2（S为面积，r为半径） （2）已知直径：S=π(d÷2) 2 （3）已知周长：S=π[C÷(2π)] 2 【易错点】 （1）先算半径再平方：避免直接用直径平方计算. （2）区分“周长”与“面积”：周长单位是长度单位（厘米、米），面积单位是平方单位（平方厘米、平方米），避免单位混淆。 （3）周长推导半径时，需先算r，再算面积，避免直接用周长代入面积公式。 考点05：圆环的面积 1．核心思路：圆环面积=大圆整体面积−内部空心小圆面积。 2．方法技巧 （1）确定外圆半径和内圆半径： ①若给出直径，r外=d外÷2，r内=d内÷2； ②若给出周长，r外=C外÷（2π），r内=d内÷（2π）。 （2）分别计算外圆面积（S外=πr外²）和内圆面积（S内=πr内²）。 （3）计算圆环面积=外圆面积−内圆面积。 【易错点】 （1）区分“外圆”与“内圆”：外圆半径大于内圆半径。 （2）看清条件给的是直径还是半径； （3）环宽≠内外半径之差以外的数值，注意转换。 考点06：求最大面积 1．核心思路： （1）正方形内最大圆：直径=正方形边长； （2）长方形内最大圆：直径=长方形短边长度。 2．方法技巧 （1）固定周长型：用周长求出最大圆的半径（r=C÷(2π)），再算面积。 （2）长方形内最大圆：最大圆的直径=长方形的宽（较短边）。 （3）正方形内最大圆：最大圆的直径=正方形的边长。 【易错点】 （1）长方形内最大圆的直径取“宽”：避免取长方形的长。 （2）固定周长时不混淆“圆”与“其他图形”：题目要求围圆形，需按圆的周长公式求半径，避免按长方形/正方形周长公式计算，导致半径错误。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 1．核心思路： （1）方中圆：圆直径=正方形边长； （2）圆中方：正方形对角线=圆直径，正方形面积=对角线²÷2。 2．方法技巧 （1）方中圆 ①圆的直径=正方形的边长（d=a，a为正方形边长），r=a÷2。 ②已知正方形边长，求圆面积：S圆=π（a÷2）²。 （2）圆中方 ①正方形的对角线=圆的直径。 ②已知圆的直径，求正方形面积：S正=（2r）²÷2= 2r²，S圆=πr²=π×（S正÷2）。 【易错点】 （1）圆中方避免用“边长×边长”求正方形面积：圆内接正方形的边长≠圆的直径。 （2）看清阴影是正方形减圆，还是圆减正方形。 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 1．核心思路：通过平移、旋转、割补，将零散圆弧、小块阴影拼接成标准圆形、半圆、长方形，简化计算。 2．方法技巧 （1）周长转化：分散小圆弧拼接成完整圆周长； （2）面积转化：切割阴影平移拼接为规则图形，直接套基础公式； （3）重叠、凹凸图形优先割补转化，避免分步硬算。 【易错点】 （1）转化周长时，不要丢失、重复直线段； （2）面积割补只改变位置，总面积不变； （3）区分周长转化、面积转化两种不同思路。 考点01：圆的周长 【典型例题】六年级爱动脑的小慧经常自己制作各式各样的小玩具，在学习了圆的周长后，他制作了一个双圆滚动玩具（如图所示），A圆的半径为4厘米，B圆的半径为2厘米。请问：如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆回到原处时，B圆自身滚动了多少圈？ 【答案】3圈 【分析】要求圆B滚过的圈数，应该先知道圆B的圆心经过的距离。不难发现，圆B经过的路线正好是一个以圆A的圆心为 圆心，以A、B两个圆半径之和为半径的圆周。将圆B的圆心经过的距离除以圆 B的周长，便得到圆B自身转动的圈数。 【详解】[2×3.14×（2＋4）]÷[2×3.14×2] ＝[2×3.14×6]÷[2×3.14×2] ＝37.68÷12.56 ＝3（圈） 答：当B圆回到原处时，B圆自身滚动了3圈。 【练习1】望远镜是一种利用透镜或反射镜以及其他光学器件观测遥远物体的光学仪器。某品牌望远镜的通光口的直径为24分米。这个品牌望远镜通光口的周长是多少米？ 【答案】7.536米 【分析】圆的周长的计算公式为：，代入公式，计算即可。 【详解】24分米＝2.4米 3.14×2.4＝7.536（米） 答：这个品牌望远镜通光口的周长是7.536米。 【练习2】下图是双人花样滑冰中观赏性很高的一个动作，男运动员拉着女运动员做圆周运动。女运动员的冰鞋滑过两周是多少米？（运动过程中男运动员的位置不变） 【答案】18.84米 【分析】先明确圆的半径是1.5米，再根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14）计算出一周的长度，再乘2得到两周的长度，据此解答。 【详解】2×3.14×1.5×2 ＝6.28×1.5×2 ＝9.42×2 ＝18.84（米） 答：女运动员的冰鞋滑过两周是18.84米。 考点02：半圆的周长 【典型例题】延安窑洞是陕西省的地方传统民居形式之一，具有十分独特的地方民俗文化和民族风情。下图是一孔窑洞的一扇窗户的示意图。修建窑洞时，为这扇半圆形窗户做一个木质框架，框架至少要多少米？（接头处、内部支架忽略不计） 【答案】7.71米 【分析】要解决这个问题，首先需要明确木质框架的长度是由半圆的弧长和直径组成的。所以先回忆圆的周长公式，圆的周长C＝πd（d是直径），那么半圆的弧长就是圆周长的一半，即πd。然后再加上直径的长度，就能得到框架的总长度。 【详解】×3.14×3＝4.71（米） 4.71＋3＝7.71（米） 答：框架至少要7.71米。 【练习1】刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【答案】61.68米 【分析】求至少准备篱笆的长度，就是求这个半圆形鱼塘的周长；即用圆的周长一半加上直径的长度，根据半圆的周长公式：周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×24÷2＋24 ＝75.36÷2＋24 ＝37.68＋24 ＝61.68（米） 答：他至少要准备61.68米篱笆。 【练习2】陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 【答案】16.56米 【分析】篱笆的长度等于圆周长的一半加上一条半径的长度，据此解答即可。 【详解】3.14×8÷2＋8÷2 ＝25.12÷2＋4 ＝12.56＋4 ＝16.56（米） 答：陈伯伯至少需要准备16.56米的篱笆。 考点03：含圆的组合图形的周长 【典型例题】幸福村正在推进供水设施改造工程。如图，工人师傅用一根铁丝将6根直径是2分米的水管紧紧捆住（接头处忽略不计），至少需要多少分米的铁丝？ 【答案】18.28分米 【分析】由图可知，所需铁丝的长度由直线（红线）和曲线（绿线）两部分组成，直线部分的长度中，上下线段的长度之和等于2条直径的长度之和，左右两条线段的长度之和等于4条直径的长度之和，曲线部分的长度合在一起是一个整圆，圆的直径是2分米，根据“”求出曲线部分的长度，最后求出这两部分的长度之和就是所需铁丝的长度，据此解答。 【详解】3.14×2＋2×2＋2×4 ＝6.28＋4＋8 ＝10.28＋8 ＝18.28（分米） 答：至少需要18.28分米的铁丝。 【练习1】周大叔想把4根横截面直径都是2分米的毛竹用铁丝从外缘紧紧地捆绑在一起（如图），这是做竹排的其中一道手续。捆一圈（铁丝的粗细与接头处长短忽略不计）至少需要多长的铁丝？铁丝围成的图形面积是多少平方分米？ 【答案】18.28分米；15.14平方分米 【分析】如图：，图形最左边和最右边各有一个直径为2分米的半圆，可以组成一个圆；图形上面、下面的铁丝长度各相当于3条直径，所以铁丝的总长度＝圆的周长＋6条直径的长度，根据圆的周长＝πd，代入数据，即可解答。 铁丝围成的图形面积＝圆的面积＋长方形的面积，其中圆的半径是（2÷2）分米，长方形的长是（2×3）分米，宽是2分米；根据圆的面积＝πr2，长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×2＋2×3×2 ＝6.28＋6×2 ＝6.28＋12 ＝18.28（分米） 3.14×（2÷2）2＋（2×3）×2 ＝3.14×12＋6×2 ＝3.14＋12 ＝15.14（平方分米） 答：捆一圈至少需要18.28分米的铁丝，铁丝围成的图形面积是15.14平方分米。 【练习2】如下图，幸福小学操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？ 【答案】1268米 【分析】分析题目，跑道的周长等于一个直径是50米的圆的周长加上2条80米的线段的长度，据此结合圆的周长＝πd求出跑道的周长，最后乘跑的圈数即可解答。 【详解】（3.14×50＋80×2）×4 ＝（157＋160）×4 ＝317×4 ＝1268（米） 答：一共跑了1268米。 考点04：圆的面积 【典型例题】水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，试求3秒后波纹的面积。如果每秒产生一个新的波纹，并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【答案】28.26 平方米；21.98 平方米 【分析】波纹以每秒1米的速度扩散，3秒后波纹的半径是1×3＝3米，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出3秒后波纹的面积。 每秒产生一个新波纹，4秒后，第一个波纹（产生于初始时刻）扩散了4秒，半径4米；第二个波纹（产生于1秒后）扩散了3秒，半径3米；面积差是第一个波纹面积减去第二个波纹面积，也就是一个圆环的面积；根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】波纹扩散速度是每秒1米，3秒后波纹的半径：1×3＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 4秒后扩散时间为4秒，半径为：1×4＝4（米）； 第二个波纹4秒后扩散时间为3秒，半径为1×3＝3（米）。 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：3秒后波纹的面积28.26平方米，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大21.98平方米。 【练习1】一个圆形水池的直径是20米，施工队要给它的底部铺上瓷砖，如果每平方米造价80元，铺好这个水池底部一共需要多少钱？ 【答案】25120元 【分析】根据题意，先根据圆的面积公式：S＝π（d÷2）2，算出圆形水池的面积，再用面积乘以每平方米造价算出答案即可。 【详解】20÷2＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314×80＝25120（元） 答：铺好这个水池底部一共需要25120元。 【练习2】奇奇家新买了一款智能扫地机器人，这款机器人能够轻松地清洁地面，成为家里的小帮手。妈妈为了给这款机器人制作一个防尘罩，决定先用硬纸板按照机器人的形状进行裁剪。妈妈注意到机器人的顶部是一个圆形，这个圆的半径大约是18厘米。请你帮妈妈算一算，制作防尘罩时，需要覆盖这个圆形顶部的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长：113.04厘米；面积：1017.36平方厘米 【分析】已知圆的半径是18厘米，根据圆的周长公式C＝2πr可求出这个圆形顶部的周长；再根据圆的面积公式S＝πr2可求出这个圆形顶部的面积。据此解答。 【详解】2×3.14×18 ＝6.28×18 ＝113.04（厘米） 3.14×182 ＝3.14×324 ＝1017.36（平方厘米） 答：这个圆形顶部的周长是113.04厘米；圆形顶部的面积是1017.36平方厘米。 考点05：圆环的面积 【典型例题】福州森林公园里有一种供游人休息的凳子，形状如图，这种凳子凳面的面积是多少平方米？ 【答案】9.42平方米 【分析】观察图可知，这个凳子凳面是个圆环形，外圆的半径是直径4米的一半，内圆的半径是1米，根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2－3.14×12 ＝3.14×22－3.14×1 ＝3.14×4－3.14 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方米） 答：这种凳子凳面的面积是9.42平方米。 【练习1】公园内有一个半径为4米的圆形水池，现在要沿着水池的外边缘用地砖铺一条1米宽的小路，如果每平方米地砖40元，那么买地砖至少要多少钱？ 【答案】1130.4元 【分析】根据圆环的面积公式：S＝（－），用圆形水池的半径加上小路的宽求出外圆的半径，代入数据即可求出小路的面积，再根据单价×数量＝总价，用小路的面积乘40即可求出地砖的总价。 【详解】（米） 3.14×（－） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 40×28.26＝1130.4（元） 答：买地砖至少要1130.4元。 【练习2】育才小学有一个圆形文艺汇演台，舞台周长为25.12米。为举办大型文艺汇演，现将舞台半径加宽2米，则修缮后比原来舞台的面积增加了多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】本题要求计算圆形舞台半径增加后舞台增加的面积，也就是圆环的面积（半径增加后舞台的面积减去原来舞台的面积）。 根据圆的周长＝2πr，由给定周长25.12米，求出原来的半径；再用原来的半径加上2米，求出加宽后的半径，根据圆环的面积＝π（R2－r2），代入R和r的数值，求出圆环的面积，即修缮后舞台增加的面积。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 4＋2＝6（米） 3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 答：修缮后比原来舞台的面积增加了62.8平方米。 考点06：求最大面积 【典型例题】李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】图见详解；方案一；理由见详解 【分析】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【详解】如图： 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 【练习1】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【分析】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 【练习2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【分析】如图：，观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】长方形草地的面积：10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 【答案】（1）314平方厘米 （2）一样大 【分析】（1）图2中圆的直径＝正方形的边长÷2＝20÷2＝10厘米。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算出一个圆的面积，再乘4即可。 （2）在图1中圆的直径＝正方形的边长＝20厘米，正方形的面积＝边长×边长。分别代入数据计算求出圆的面积和正方形的面积。框内空白面积＝正方形的面积－画面所占面积。分别计算出图1和图2的框内空白面积，再比较即可。 【详解】（1）20÷2÷2＝5（厘米） 3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（平方厘米） 答：图2的四联画中，画面所占面积有314平方厘米。 （2）一联画空白面积： 20×20－3.14×（20÷2）2 ＝20×20－3.14×102 ＝20×20－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 四联画空白面积： 20×20－314 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 86＝86 答：两种装裱方式相比，框内空白面积一样大。 【练习1】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 【答案】1.14平方米 【分析】根据“圆的面积公式：”，即可求出这张圆桌的面积，正方形被分成了2个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形，根据三角形的面积公式求出一个三角形的面积，再乘上2求出正方形的面积，然后用圆的面积减去圆内最大正方形的面积，即可求出折叠部分的面积。 【详解】半径：2÷1＝1（米） 圆的面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 圆内最大正方形的面积： 2×1÷2×2 ＝2÷2×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 折叠部分的面积： 3.14－2＝1.14（平方米） 答：可折叠部分的面积是1.14平方米。 【练习2】下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 【答案】164.16平方厘米 【分析】外面的圆与内部的正方形之间的面积＝圆的面积－正方形的面积＝圆的面积－三角形的面积×2，据此解答。 【详解】 ＝164.16（平方厘米） 答：外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16平方厘米。 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【答案】（1）见详解；（2）100平方厘米 【分析】（1）如图： 将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【详解】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一） （2）我这样算：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【练习1】校园艺术周就要到了，笑笑想给作品边框做装饰，下图是她设计的精美图案（阴影部分），你能想办法算出做这幅精美图案需要多大面积的彩纸吗？（单位：厘米） 【答案】200平方厘米 【分析】分析给出的图形，中间的虚线把图形分为上下两个完全相同的长方形，上面长方形中阴影图形的面积就等于下面长方形中两个空白的圆的面积之和，据此可知阴影部分的面积就等于长为20厘米宽为10厘米的长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽计算即可。 【详解】20×10＝200（平方厘米） 答：做这幅精美图案需要200平方厘米的彩纸。 【练习2】下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【答案】2.5平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分右边的半圆的半径是0.5厘米，图形左边的圆的直径是1厘米，根据半径等于直径除以2，（厘米），可知右边的半圆与左边圆的一半是相等的，通过平移的方法，把右边的半圆平移到阴影部分的左边，则阴影部分的面积等于一个长是厘米，宽是1厘米的长方形的面积，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.5平方厘米。 夯实基础 1．停车场入口都会安装起降杆。如图，一辆小汽车进入停车场，起降杆就完成一次升起运动，起降杆最远端（A点）运动了（     ）m。 A．6.28 B．4 C．12.56 【答案】A 【分析】起降杆最远端A点的运动轨迹是一段圆弧，该圆弧的半径r＝4m，由于起降杆从水平位置升起至竖直位置，A点运动的圆心角为90°，即四分之一圆的周长，根据圆周长＝2πr计算出A点运动距离。 【详解】3.14×4×2÷4＝6.28（m） 起降杆最远端A点运动了6.28m。 故答案为：A 2．大小两齿轮，大齿轮的直径是小齿轮的2倍，大齿轮转8圈，小齿轮转（     ）圈。 A．4 B．16 C．10 【答案】B 【分析】因为大、小齿轮转动所行驶的路程相等，所以大齿轮转动的圈数与大齿轮的周长的乘积等于小齿轮转动的圈数与小齿轮的周长的乘积，假设小齿轮的直径是d，则大齿轮的直径是2d，小齿轮转动x圈，根据圆的周长公式：C＝，分别表示出大齿轮和小齿轮的周长，再代入到数量关系中，即可求出小齿轮轮动的圈数。 【详解】解：设小齿轮的直径是d，则大齿轮的直径是2d，小齿轮转x圈， 即小齿轮转16圈。 故答案为：B 3．在环形跑道上，如果跑一圈，第二道与第一道的中间线的距离是0.8米，则第二道的起跑线应比第一道靠前（     ）米。 A．2.512 B．5.024 C．6.28 【答案】B 【分析】先确定第二道与第一道的半径差，再根据圆的周长公式计算两道的周长差，即为起跑线应提前的距离。计算第二道与第一道的周长差，该步骤需要用到圆的周长公式：圆的周长c＝2πr（其中C表示周长，π通常取3.14，r表示半径）。由于第二道与第一道的中间线距离是0.8米，即第二道的半径比第一道的半径多0.8米，因为两道的周长差等于第二道周长减去第一道周长，即c外－c内＝2πr外－2πr内＝2π（r外－r内），即2π乘以半径差 2×3.14×0.8＝5.024（米），根据计算结果，第二道起跑线应比第一道靠前5.024米。 【详解】因为第二道与第一道的中间线距离是0.8米，即第二道半径比第一道多0.8米。 根据圆的周长公式，两道周长差为： 2 ×3.14×0.8 ＝6.28×0.8 ＝5.024（米） 所以第二道的起跑线应比第一道靠前5.024米。 故答案为：B 4．市政府要在门口建造一个半圆环形的花坛，花坛的内圆环的直径为8m，外圆环的直径为12m，那么这个半圆环形花坛的面积是（     ）。（π取3） A．12 B．60 C．30 【答案】C 【分析】直径除以2可得到半径。观察图形可知，这个半圆环形花坛的面积为圆环面积的一半，根据圆环的面积公式：，代入数据，即可解答。 【详解】8÷2＝4（m） 12÷2＝6（m） 3×（62－42）÷2 ＝3×（36－16）÷2 ＝3×20÷2 ＝60÷2 ＝30（） 这个半圆环形花坛的面积是30。 故答案为：C 5．乐乐家的圆形餐桌（如图），桌面面积大约是110平方分米，妈妈要为这个餐桌配一块正方形桌布，把桌面全覆盖上，商店有以下三种规格的桌布，她应该选择边长至少是（     ）的桌布。 A．18厘米 B．6分米 C．12分米 【答案】C 【分析】根据题意，选择的桌布面积至少要比桌面面积大。根据正方形的面积＝边长×边长，算出各规格的桌布面积，再结合实际情况，选择恰当的桌布。 【详解】A．18×18＝324（平方厘米），324平方厘米＝3.24平方分米。比110平方分米小，不能把桌面全覆盖上。该选项不符合题意。 B．6×6＝36（平方分米），比110平方分米小，不能把桌面全覆盖上。该选项不符合题意。 C．12×12＝144（平方分米），比110平方分米大，能把桌面全覆盖上且不浪费。该选项符合题意。 故答案为：C 6．从一张边长是4cm的正方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm。 【答案】12.56 【分析】从一张边长是4cm的正方形纸片上剪下一个最大的圆，则这个圆的直径为正方形的边长4cm，再根据圆的周长＝即可求出这个圆的周长。 【详解】3.14×4＝12.56（cm） 即这个圆的周长为12.56cm。 7．一个吊钟的时针针尖到中心的距离为6厘米。它一昼夜（24小时）扫过的面积是（ ）平方厘米。针尖经过的长度为（ ）厘米（π取3.14）。 【答案】 226.08 75.36 【分析】一昼夜时针转动两圈，时针针尖到中心的距离是圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，把半径6厘米代入求出转动一圈扫过的面积，再乘2即可。时针针尖走过的路程是这个圆的边缘长度，根据圆的周长公式为：C＝2πr，把半径6厘米求出转动一圈针尖经过的长度，再乘2即可。 【详解】3.14×62×2 ＝3.14×36×2 ＝113.04×2 ＝226.08（平方厘米） 所以它一昼夜（24小时）扫过的面积是226.08平方厘米。 2×3.14×6×2 ＝6.28×6×2 ＝37.68×2 ＝75.36（厘米） 所以针尖经过的长度为75.36厘米。 8．在一张长为20厘米、宽为13厘米的长方形卡纸上剪半径为2厘米的圆，最多能剪（ ）个这样的圆。 【答案】15 【分析】先算出圆的直径为（厘米），再分别算出长和宽方向能剪的圆的个数，相乘得到结果。 【详解】半径为2厘米，直径：（厘米） 长20厘米方向：（个） 宽13厘米方向： （个） 所以最多能剪15个这样的圆。 9．长沙县某公园的环湖绿道近似一个圆形。小明骑自行车绕湖一周。车轮转了约2000圈。如果车轮直径是0.7米，这条绿道周长约为（ ）米。（π取3.14）。 【答案】4396 【分析】已知车轮直径是0.7米，根据圆的周长公式：C＝πd，代入直径数值，求出车轮转1圈前进的距离，再用这个单圈周长乘小明骑车绕绿道一周的总圈数2000，即可求出绿道的周长。 【详解】3.14×0.7×2000 ＝2.198×2000 ＝4396（米） 所以这条绿道周长约为4396米。 10．一个圆形草坪的直径是12米，这个草坪的面积是（ ）平方米，围着草坪走了一圈，走了（ ）米。 【答案】 113.04 37.68 【分析】先根据圆的直径求出半径，再分别利用圆的面积＝公式和圆周长＝2πr计算草坪的面积与行走一圈的长度。 【详解】3.14× ＝3.14× ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 3.14×12＝37.68（米） 答：一个圆形草坪的直径是12米，这个草坪的面积是113.04平方米，围着草坪走了一圈，走了37.68米。 11．一个圆形花坛的直径为20米，这个圆形花坛的占地面积是（ ）平方米，在花坛的周围围上一圈篱笆，篱笆长（ ）米，花坛的周围修建一条宽为2米的环形小路，小路的面积是（ ）平方米。 【答案】 314 62.8 138.16 【分析】根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，即可求出花坛的面积；圆的周长＝圆周率×直径；小路的形状是个圆环，小圆半径＝花坛直径÷2，大圆半径＝小圆半径＋小路的宽，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），即可求出小路的面积。 【详解】20÷2＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 3.14×20＝62.8（米） 10＋2＝12（米） 3.14×（122－102） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 所以一个圆形花坛的直径为20米，这个圆形花坛的占地面积是314平方米，在花坛的周围围上一圈篱笆，篱笆长62.8米，花坛的周围修建一条宽为2米的环形小路，小路的面积是 138.16平方米。 12．公园里有一块周长是125.6m的圆形草地，现准备在草坪中间安装一台自动旋转喷灌装置，选射程为（ ）m的喷灌装置比较合适，能喷灌的面积是（ ）m2。 【答案】 20 1256 【分析】喷灌装置喷射面为圆形，射程为圆的半径；根据半径r＝圆的周长÷3.14÷2计算出半径，再选择合适的射程； 再根据圆的面积公式：面积＝π×半径×半径，代入数据，求出草坪的面积。 【详解】125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（m） 3.14×20² ＝3.14×400 ＝1256（m2） 即选射程为20m的喷灌装置比较合适，能喷灌的面积是1256m2。 13．儿童乐园要修建一个直径为20米的圆形音乐喷泉池。如果在音乐喷泉池的外沿围上一圈防护栏，那至少需要（ ）米的防护栏，这个音乐喷泉池的占地面积是（ ）平方米。 【答案】 62.8 314 【分析】防护栏的长度相当于圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×20＝62.8（米） 3.14× ＝3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方米） 如果在音乐喷泉池的外沿围上一圈防护栏，那至少需要62.8米的防护栏，这个音乐喷泉池的占地面积是314平方米。 14．如图所示，李伯伯利用一面墙和篱笆围成一个直径是8米的半圆形鸡舍。 （1）围这个鸡舍需要（ ）米的篱笆。 （2）如果要扩建这个鸡舍，把它的直径增加2米，扩建后鸡舍的面积是（ ）平方米。 【答案】（1）12.56 （2）39.25 【分析】（1）根据题意和观察图形可知，靠墙的一面不围篱笆，所以篱笆的长度为直径是8米的半圆的弧长，即圆周长的一半，根据圆的周长＝πd（π取3.14，d表示直径），将直径8米代入公式，求出圆的周长再除以2即可； （2）鸡舍的面积为半圆的面积，先求出扩建后的直径，再用直径除以2求出半径，再根据圆的面积＝πr2（π取3.14，r表示半径），将半径的数值代入公式，求出圆的面积再除以2即可得到半圆形鸡舍的面积。 【详解】（1）3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 因此，围这个鸡舍需要12.56米的篱笆。 （2）8＋2＝10（米） 10÷2＝5（米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） 因此，如果要扩建这个鸡舍，把它的直径增加2米，扩建后鸡舍的面积是39.25平方米。 15．有两根一样长的扭扭棒，一根正好围成了一个边长是15.7cm的正方形，另一根正好围成了一个圆，这个圆的半径是（ ）cm。 【答案】10 【分析】由题可知，正方形的周长等于圆的周长，先根据“正方形周长＝边长×4”求出正方形的周长（圆的周长），再根据圆周长公式，求出半径。 【详解】15.7×4＝62.8（cm） 62.8÷（2×3.14） ＝62.8÷6.28 ＝10（cm） 因此，有两根一样长的扭扭棒，一根正好围成了一个边长是15.7cm的正方形，另一根正好围成了一个圆，这个圆的半径是10cm。 16．小区物业用铁皮做了一个禁止攀爬的标志牌，如图所示，标志牌的直径是30厘米，这个标志牌的周长是（ ）厘米，做这样一个标志牌需要铁皮（ ）平方厘米。 【答案】 94.2 706.5 【分析】由题意可知，这个标志牌是圆形，圆的直径是30厘米，根据“”求出这个标志牌的周长；求做这样一个标志牌需要铁皮的面积就是求圆的面积，利用“”求出圆的面积，据此解答。 【详解】3.14×30＝94.2（厘米） 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 所以，这个标志牌的周长是94.2厘米，做这样一个标志牌需要铁皮706.5平方厘米。 17．如下图，A、B两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从①号位置开始沿直线滚到②号位置，正好滚了5圈，A、B两块挡板之间的距离是（ ）cm。（π取值3.14） 【答案】100.2 【分析】已知圆的半径是3cm，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，即滚1圈的距离，再乘5即可求出滚5圈的距离；圆从①到②，除了滚动的距离，还需加上圆的2个半径（圆与挡板接触时，圆心到挡板的距离为半径）。据此解答。 【详解】2×3.14×3×5 ＝6.28×3×5 ＝18.84×5 ＝94.2（cm） 94.2＋3＋3 ＝97.2＋3 ＝100.2（cm） 所以A、B两块挡板之间的距离是100.2cm。 培优拔高 18．淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长为10米，宽为5米的长方形花坛走，笑笑沿直径为9米的圆形花坛走。他们的速度相同，谁先走完一周？ 【答案】笑笑 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝πd，分别计算出淘气和笑笑走一周的路程。在速度相同的情况下，路程越短，所用时间越少。通过比较两者的路程大小，即可判断谁先走完一周。 【详解】 （米） （米） 答：笑笑先走完一周。 19．一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 【答案】942米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”代入数值计算出半径为1.5米的前轮的周长；再用前轮的周长乘5计算出一分钟行驶的路程；最后用一分钟行驶的路程乘20即可。 【详解】3.14×2×1.5×5×20 ＝6.28×1.5×5×20 ＝9.42×5×20 ＝47.1×20 ＝942（米） 答：这条新修道路大约长942米。 20．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 （1）最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ （2）剩下的纸板还有多少平方分米？ 【答案】（1）14个 （2）64.16平方分米 【分析】首先需统一长度单位，将米换算成分米，以便与圆形直径单位一致； （1）计算圆形标志的数量时，不能直接用长方形面积除以圆的面积，因为圆形之间会有空隙，需要分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，取整数部分相乘； （2）计算剩余面积时，用长方形纸板的总面积减去所有圆形标志的面积之和即可求解。 【详解】（1）3米＝30分米 0.8米＝8分米 30÷4＝7（个）……2（分米） 8÷4＝2（个） 7×2＝14（个） 答：最多能从长方形纸板中裁剪出14个圆形标志。 （2）30×8＝240（平方分米） 4÷2＝2（分米） ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） 答：剩下的纸板还有64.16平方分米。 21．赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【答案】3分钟 【分析】利用“”算出车轮转一周走过的距离，然后乘100得1分钟前进的距离，最后用桥长除以每分钟前进的距离可算得需要的时间。 【详解】70cm＝0.7m （分钟） 答：需要3分钟。 22．科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 【答案】不分输赢 【分析】两辆车的速度相同，因此谁跑的距离短谁就会赢。我们需要分别计算A车和B车所跑的路程，并比较它们的大小。由图可知，A车跑的是两个小半圆，每个小半圆的直径为4米，因此需要计算两个小半圆的总长度B车跑的是一个大半圆，大半圆的直径为两个小半圆直径之和（即8米），因此需要计算大半圆的长度。最后比较两车的路程，判断谁更短。 【详解】A车走的路程： B车走的路程： 4π＝4π 答：两辆赛车的速度和路程相同，所以到达终点的时间相同，不分输赢。 23．平平用彩带包装4个圆柱形礼品（如图所示），扎2圈至少用彩带多少厘米？（打结部分为12厘米） 【答案】154.8厘米 【分析】根据题意，一圈彩带的长度等于半径5厘米的整圆周长（）加上8条半径（或4条直径），据此算出一圈彩带的长度×2再加上打结部分，即可解题。 【详解】一圈彩带长度：3.14×2×5＋5×8 ＝6.28×5＋40 ＝31.4＋40 ＝71.4（厘米） 71.4×2＋12 ＝142.8＋12 ＝154.8（厘米） 答：扎2圈至少用彩带154.8厘米。 24．如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 【答案】25.68平方米 【分析】观察可知，草坪的面积等于半圆面积减三角形面积，已知三角形是直角等腰三角形，两条直角边都等于半圆的半径，根据的逆运算，用三角形面积乘2得到r2，再根据圆的面积公式，圆的面积除以2可得到半圆的面积，代入数据计算即可得解。 【详解】r2＝（平方米） （平方米） 答：草坪的面积是25.68平方米。 25．2024年5月，北京市出台了古树名木保护标准，对古树周围围栏建造标准提出了要求：“围栏与树干（外侧）的距离不小于3米”。同学们要为公园内的一棵古树设计圆形围栏。先测量了这棵古树树干一周的长是1.884米。 （1）这棵古树树干的直径是多少米？【π值取3.14】 （2）如图，在正方形内，以对角线（图中虚线）的交点为圆心，用1厘米表示1米，画出了这棵古树树干的圆形横截面。如果设计的围栏与树干（外侧）的距离都正好是3米。请你画出围栏所在的位置，并在图中标出围栏与树干（外侧）的距离。 （3）按照如图的设计建造围栏，如果要修整围栏内的地面，围栏内地面面积约是多少平方米？【π值取3】 【答案】（1）0.6米 （2）见详解 （3）32.4平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，把数据代入公式解答。 （2）先求出这棵树的围栏（外圆）的半径，0.6÷2＋3＝0.3＋3＝3.3米，已知图上1厘米表示1米，3.3米画在图上是3.3厘米，根据圆的画法，以对角线（图中虚线）的交点为圆心，以3.3厘米为半径画出这围栏的横截面，并标出有关数据。 （3）圆环的外圆半径是3.3米，内圆半径是0.3米，根据环形面积公式：S＝π（－），把数据代入公式解答。 【详解】（1）1.884÷3.14＝0.6（米） 答：这棵古树树干的直径是0.6米。 （2）如图： （3）3×（－） ＝3×（10.89－0.09） ＝3×10.8 ＝32.4（平方米） 答：围栏内地面面积约是32.4平方米。 思维拓展 25．如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（     ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【答案】（1）点C （2）52.56厘米 【分析】（1）由图可知，这个圆的半径为2厘米，点P再次与正方形重合是圆滚动一周的距离，根据圆的周长＝即可求出滚动一周的距离，进而确定重合的点。 （2） 圆心的轨迹由4条线段和4个圆弧组成，4个圆弧组成一整个圆，这个组成的圆的半径为2厘米，线段的长度为正方形的边长10厘米，由此确定这个圆的圆心的轨迹长度。 【详解】（1）3.14×2×2＝12.56（厘米） 12.56厘米＞10厘米 由图可知则重合的点在另一条边上，点D位于边长中点，不符合题意，所以点P再次与正方形重合的点是点C。 （2）3.14×2×2＋10×4 ＝12.56＋40 ＝52.56（cm） 答：圆心运动轨迹的长度是52.56cm。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题05：圆 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：围成圆形一周的长度是周长；周长和直径、半径固定比值为圆周率π，已知半径或直径直接套公式计算。 2．方法技巧 （1）基础计算型：给半径用C=2πr，给直径用C=πd； （2）滚动类：总路程÷圆周长=滚动圈数；圈数×周长=总路程； （3）边界长度型：围栏、围铁丝直接求周长。 3．计算公式：C=πd；C=2πr 【易错点】 （1）区分“直径”与“半径”：避免将半径当作直径代入公式。 （2）单位统一是关键。 （3）π的取值按题目要求：题目未说明时，默认取3.14。 （4）滚动问题看清问题求路程还是圈数。 考点02：半圆的周长 1．核心思路：半圆周长≠圆周长÷2，一半圆弧长度+一条直径才是封闭半圆的总边长。 2．方法技巧 （1）明确半圆周长的构成：圆周长的一半+直径（封闭图形需包含直径）。 （2）提取半径/直径，统一单位。 （3）先算圆周长的一半（πr或πd÷2），再加直径（d=2r），求和即为半圆周长。 【易错点】 （1）不遗漏“直径”：避免将半圆周长误算为“圆周长的一半”。 （2）单位统一：若半径是厘米，直径也为厘米，结果单位保持一致，避免混合单位计算。 （3）结合场景验证：如“半圆拱门的周长”，需确认是否包含直径，避免因场景理解错误漏算。 考点03：含圆的组合图形的周长 1．核心思路：组合图形周长=所有外侧曲线边长+所有外侧直线边长，内部重合线段不计入周长。 2．方法技巧 （1）描出图形外围边线，区分曲线、直线； （2）曲线部分拼接转化为整圆、半圆周长； （3）直线段逐条数清，相加求和。 3．计算公式：组合周长=圆弧总长+外露直边长度和 【易错点】 （1）内部重合、贴合的线段不算周长，不要重复加； （2）多个小圆弧可拼接成完整圆形简化计算； （3）不要混淆周长与面积，只统计外围边线。 考点04：圆的面积 1．核心思路：把圆分割拼成近似长方形推导面积公式；已知半径可直接求面积；给直径先换算半径再计算。 2．方法技巧 （1）基础计算型：直接给出半径/直径/周长，求圆的面积。 （2）占地面积型：求圆形物体的底面面积。 （3）覆盖面积型：求圆规画圆的面积、喷水器喷水的覆盖面积。 3．计算公式 （1）面积公式：S=πr 2（S为面积，r为半径） （2）已知直径：S=π(d÷2) 2 （3）已知周长：S=π[C÷(2π)] 2 【易错点】 （1）先算半径再平方：避免直接用直径平方计算. （2）区分“周长”与“面积”：周长单位是长度单位（厘米、米），面积单位是平方单位（平方厘米、平方米），避免单位混淆。 （3）周长推导半径时，需先算r，再算面积，避免直接用周长代入面积公式。 考点05：圆环的面积 1．核心思路：圆环面积=大圆整体面积−内部空心小圆面积。 2．方法技巧 （1）确定外圆半径和内圆半径： ①若给出直径，r外=d外÷2，r内=d内÷2； ②若给出周长，r外=C外÷（2π），r内=d内÷（2π）。 （2）分别计算外圆面积（S外=πr外²）和内圆面积（S内=πr内²）。 （3）计算圆环面积=外圆面积−内圆面积。 【易错点】 （1）区分“外圆”与“内圆”：外圆半径大于内圆半径。 （2）看清条件给的是直径还是半径； （3）环宽≠内外半径之差以外的数值，注意转换。 考点06：求最大面积 1．核心思路： （1）正方形内最大圆：直径=正方形边长； （2）长方形内最大圆：直径=长方形短边长度。 2．方法技巧 （1）固定周长型：用周长求出最大圆的半径（r=C÷(2π)），再算面积。 （2）长方形内最大圆：最大圆的直径=长方形的宽（较短边）。 （3）正方形内最大圆：最大圆的直径=正方形的边长。 【易错点】 （1）长方形内最大圆的直径取“宽”：避免取长方形的长。 （2）固定周长时不混淆“圆”与“其他图形”：题目要求围圆形，需按圆的周长公式求半径，避免按长方形/正方形周长公式计算，导致半径错误。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 1．核心思路： （1）方中圆：圆直径=正方形边长； （2）圆中方：正方形对角线=圆直径，正方形面积=对角线²÷2。 2．方法技巧 （1）方中圆 ①圆的直径=正方形的边长（d=a，a为正方形边长），r=a÷2。 ②已知正方形边长，求圆面积：S圆=π（a÷2）²。 （2）圆中方 ①正方形的对角线=圆的直径。 ②已知圆的直径，求正方形面积：S正=（2r）²÷2= 2r²，S圆=πr²=π×（S正÷2）。 【易错点】 （1）圆中方避免用“边长×边长”求正方形面积：圆内接正方形的边长≠圆的直径。 （2）看清阴影是正方形减圆，还是圆减正方形。 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 1．核心思路：通过平移、旋转、割补，将零散圆弧、小块阴影拼接成标准圆形、半圆、长方形，简化计算。 2．方法技巧 （1）周长转化：分散小圆弧拼接成完整圆周长； （2）面积转化：切割阴影平移拼接为规则图形，直接套基础公式； （3）重叠、凹凸图形优先割补转化，避免分步硬算。 【易错点】 （1）转化周长时，不要丢失、重复直线段； （2）面积割补只改变位置，总面积不变； （3）区分周长转化、面积转化两种不同思路。 考点01：圆的周长 【典型例题】六年级爱动脑的小慧经常自己制作各式各样的小玩具，在学习了圆的周长后，他制作了一个双圆滚动玩具（如图所示），A圆的半径为4厘米，B圆的半径为2厘米。请问：如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆回到原处时，B圆自身滚动了多少圈？ 【练习1】望远镜是一种利用透镜或反射镜以及其他光学器件观测遥远物体的光学仪器。某品牌望远镜的通光口的直径为24分米。这个品牌望远镜通光口的周长是多少米？ 【练习2】下图是双人花样滑冰中观赏性很高的一个动作，男运动员拉着女运动员做圆周运动。女运动员的冰鞋滑过两周是多少米？（运动过程中男运动员的位置不变） 考点02：半圆的周长 【典型例题】延安窑洞是陕西省的地方传统民居形式之一，具有十分独特的地方民俗文化和民族风情。下图是一孔窑洞的一扇窗户的示意图。修建窑洞时，为这扇半圆形窗户做一个木质框架，框架至少要多少米？（接头处、内部支架忽略不计） 【练习1】刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【练习2】陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 【典型例题】幸福村正在推进供水设施改造工程。如图，工人师傅用一根铁丝将6根直径是2分米的水管紧紧捆住（接头处忽略不计），至少需要多少分米的铁丝？ 【练习1】周大叔想把4根横截面直径都是2分米的毛竹用铁丝从外缘紧紧地捆绑在一起（如图），这是做竹排的其中一道手续。捆一圈（铁丝的粗细与接头处长短忽略不计）至少需要多长的铁丝？铁丝围成的图形面积是多少平方分米？ 【练习2】如下图，幸福小学操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？ 考点04：圆的面积 【典型例题】水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，试求3秒后波纹的面积。如果每秒产生一个新的波纹，并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【练习1】一个圆形水池的直径是20米，施工队要给它的底部铺上瓷砖，如果每平方米造价80元，铺好这个水池底部一共需要多少钱？ 【练习2】奇奇家新买了一款智能扫地机器人，这款机器人能够轻松地清洁地面，成为家里的小帮手。妈妈为了给这款机器人制作一个防尘罩，决定先用硬纸板按照机器人的形状进行裁剪。妈妈注意到机器人的顶部是一个圆形，这个圆的半径大约是18厘米。请你帮妈妈算一算，制作防尘罩时，需要覆盖这个圆形顶部的周长和面积分别是多少？ 考点05：圆环的面积 【典型例题】福州森林公园里有一种供游人休息的凳子，形状如图，这种凳子凳面的面积是多少平方米？ 【练习1】公园内有一个半径为4米的圆形水池，现在要沿着水池的外边缘用地砖铺一条1米宽的小路，如果每平方米地砖40元，那么买地砖至少要多少钱？ 【练习2】育才小学有一个圆形文艺汇演台，舞台周长为25.12米。为举办大型文艺汇演，现将舞台半径加宽2米，则修缮后比原来舞台的面积增加了多少平方米？ 考点06：求最大面积 【典型例题】李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【练习1】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【练习2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 【练习1】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 【练习2】下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 考点08：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【练习1】校园艺术周就要到了，笑笑想给作品边框做装饰，下图是她设计的精美图案（阴影部分），你能想办法算出做这幅精美图案需要多大面积的彩纸吗？（单位：厘米） 【练习2】下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 夯实基础 1．停车场入口都会安装起降杆。如图，一辆小汽车进入停车场，起降杆就完成一次升起运动，起降杆最远端（A点）运动了（     ）m。 A．6.28 B．4 C．12.56 2．大小两齿轮，大齿轮的直径是小齿轮的2倍，大齿轮转8圈，小齿轮转（     ）圈。 A．4 B．16 C．10 3．在环形跑道上，如果跑一圈，第二道与第一道的中间线的距离是0.8米，则第二道的起跑线应比第一道靠前（     ）米。 A．2.512 B．5.024 C．6.28 4．市政府要在门口建造一个半圆环形的花坛，花坛的内圆环的直径为8m，外圆环的直径为12m，那么这个半圆环形花坛的面积是（     ）。（π取3） A．12 B．60 C．30 5．乐乐家的圆形餐桌（如图），桌面面积大约是110平方分米，妈妈要为这个餐桌配一块正方形桌布，把桌面全覆盖上，商店有以下三种规格的桌布，她应该选择边长至少是（     ）的桌布。 A．18厘米 B．6分米 C．12分米 6．从一张边长是4cm的正方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm。 7．一个吊钟的时针针尖到中心的距离为6厘米。它一昼夜（24小时）扫过的面积是（ ）平方厘米。针尖经过的长度为（ ）厘米（π取3.14）。 8．在一张长为20厘米、宽为13厘米的长方形卡纸上剪半径为2厘米的圆，最多能剪（ ）个这样的圆。 9．长沙县某公园的环湖绿道近似一个圆形。小明骑自行车绕湖一周。车轮转了约2000圈。如果车轮直径是0.7米，这条绿道周长约为（ ）米。（π取3.14）。 10．一个圆形草坪的直径是12米，这个草坪的面积是（ ）平方米，围着草坪走了一圈，走了（ ）米。 11．一个圆形花坛的直径为20米，这个圆形花坛的占地面积是（ ）平方米，在花坛的周围围上一圈篱笆，篱笆长（ ）米，花坛的周围修建一条宽为2米的环形小路，小路的面积是（ ）平方米。 12．公园里有一块周长是125.6m的圆形草地，现准备在草坪中间安装一台自动旋转喷灌装置，选射程为（ ）m的喷灌装置比较合适，能喷灌的面积是（ ）m2。 13．儿童乐园要修建一个直径为20米的圆形音乐喷泉池。如果在音乐喷泉池的外沿围上一圈防护栏，那至少需要（ ）米的防护栏，这个音乐喷泉池的占地面积是（ ）平方米。 14．如图所示，李伯伯利用一面墙和篱笆围成一个直径是8米的半圆形鸡舍。 （1）围这个鸡舍需要（ ）米的篱笆。 （2）如果要扩建这个鸡舍，把它的直径增加2米，扩建后鸡舍的面积是（ ）平方米。 15．有两根一样长的扭扭棒，一根正好围成了一个边长是15.7cm的正方形，另一根正好围成了一个圆，这个圆的半径是（ ）cm。 16．小区物业用铁皮做了一个禁止攀爬的标志牌，如图所示，标志牌的直径是30厘米，这个标志牌的周长是（ ）厘米，做这样一个标志牌需要铁皮（ ）平方厘米。 17．如下图，A、B两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从①号位置开始沿直线滚到②号位置，正好滚了5圈，A、B两块挡板之间的距离是（ ）cm。（π取值3.14） 培优拔高 18．淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长为10米，宽为5米的长方形花坛走，笑笑沿直径为9米的圆形花坛走。他们的速度相同，谁先走完一周？ 19．一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 20．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 （1）最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ （2）剩下的纸板还有多少平方分米？ 21．赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 22．科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 23．平平用彩带包装4个圆柱形礼品（如图所示），扎2圈至少用彩带多少厘米？（打结部分为12厘米） 24．如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 25．2024年5月，北京市出台了古树名木保护标准，对古树周围围栏建造标准提出了要求：“围栏与树干（外侧）的距离不小于3米”。同学们要为公园内的一棵古树设计圆形围栏。先测量了这棵古树树干一周的长是1.884米。 （1）这棵古树树干的直径是多少米？【π值取3.14】 （2）如图，在正方形内，以对角线（图中虚线）的交点为圆心，用1厘米表示1米，画出了这棵古树树干的圆形横截面。如果设计的围栏与树干（外侧）的距离都正好是3米。请你画出围栏所在的位置，并在图中标出围栏与树干（外侧）的距离。 （3）按照如图的设计建造围栏，如果要修整围栏内的地面，围栏内地面面积约是多少平方米？【π值取3】 思维拓展 25．如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（     ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $