第四单元 圆（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学《圆》单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，梳理圆的定义、特征、周长与面积公式等核心内容，整合化曲为直、极限转化等数学思想，用对比表格呈现半径与直径关系、周长与面积区别等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题“长方形内画最大圆”培养几何直观，真题“圆环面积计算”渗透转化思想，易错指引归纳半圆周长遗漏直径等高频错误。基础题巩固概念，拔高题提升推理意识，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

第四单元 圆（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《圆》是人教版六年级上册几何板块核心重点单元，是小学阶段唯一系统学习的曲线平面图形知识。本单元完全区别于之前学习的长方形、正方形、三角形等直线图形，标志着学生从直线几何学习正式进入曲线几何学习阶段。圆的周长与面积公式是小学几何压轴公式体系，是后续圆柱、圆锥、扇形统计图、初中圆的性质与几何证明的核心基础，对培养曲线图形认知、几何建模、公式推导、空间想象能力具有至关重要的作用。 2. 核心学习内容 掌握圆的定义、基本特征与各部分名称；熟练区分圆心、半径、直径的概念、作用与关联规律；掌握圆规画圆的原理与规范；理解圆的对称性与对称轴特征；理解圆周率的由来、意义与取值规范；掌握圆的周长公式推导与完整应用逻辑；掌握圆的面积公式推导转化思想与应用规则；认识扇形、圆心角、弧的基础概念；掌握圆环的结构特征与面积计算原理；梳理圆、半圆、圆环、扇形的各类公式区别与单元高频易错点。 3. 核心数学思想 化曲为直思想：将曲线圆的周长、面积转化为直线图形计算，破解曲线几何计算难题；极限思想：通过无限分割、拼接推导圆的面积公式；转化思想：将未知曲线图形转化为已知长方形、直线图形求解；对称思想：利用圆的轴对称、中心对称特征分析图形性质；建模思想：建立圆、半圆、圆环、扇形标准化公式模型。 二、圆的认识与各部分核心概念 1. 圆的定义 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。圆是封闭、光滑、无棱角、所有点到中心距离相等的完美曲线图形，与直线多边形有本质区别。 2. 圆心概念与作用 圆中心的定点叫做圆心，通常用字母O表示。圆心是圆的中心基准点，核心作用是决定圆的位置，圆心在哪里，圆就画在哪里，圆心只定位、不改变圆的大小。 3. 半径概念与作用 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。半径是圆的基础尺寸，核心作用是决定圆的大小，半径越长圆越大，半径越短圆越小。同一个圆内有无数条半径，所有半径长度完全相等。 4. 直径概念与作用 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。直径是圆内最长的线段。同一个圆内有无数条直径，所有直径长度完全相等。直径是圆的重要尺寸参照，直接关联周长与面积计算。 5. 半径与直径固定关系 在同一个圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，半径是直径的一半。固定数量关系：d=2r、r=d÷2。该关系必须满足同圆、等圆前提，大小不同的圆半径直径无此倍数关系。 三、圆规画圆原理与规范 圆规画圆的本质是固定圆心、固定半径画轨迹。圆规针尖固定的点为圆心，两脚张开的距离为圆的半径。画圆时针尖不可移动、两脚距离不可改变，旋转一周形成标准圆形。画圆规律：针尖定位置、开度定大小，完全对应圆心、半径的核心作用。 四、圆的对称性知识点 1. 对称属性 圆是轴对称图形，同时也是中心对称图形。圆的对称属性是所有平面图形中最完美的。 2. 对称轴特征 圆有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。所有对称轴均穿过圆心、平分圆形，将圆完全分成两个重合的半圆。 3. 半圆对称区别 整圆有无数条对称轴，半圆只有一条对称轴，为垂直于半圆直径的中垂线，是高频概念辨析考点。 五、圆周率π核心知识点 1. 圆周率定义 圆的周长与它直径的比值叫做圆周率，用希腊字母π表示。圆周率是固定不变的常数，不随圆的大小改变而改变，所有圆的圆周率完全相等。 2. 圆周率数值特征 π是无限不循环小数，无法写尽全部小数位数。日常计算中统一取近似值π≈3.14，精确计算、保留位数题目严格按照要求取值。 3. 概念易错点 3.14只是π的近似值，不等于π；π是固定常数，大圆、小圆的π完全一致，不存在大圆π更大的情况。 六、圆的周长完整知识点 1. 周长定义 围成圆的封闭曲线的总长度，叫做圆的周长，表征圆一周的长度大小。 2. 周长公式与推导逻辑 通过化曲为直的测量方法，推导得出圆的周长与直径、半径的固定关系。已知直径求周长：C=πd；已知半径求周长：C=2πr。两个公式本质一致，可根据已知条件灵活选用。 3. 半圆周长核心概念（重难点） 半圆的周长不等于圆周长的一半。半圆周长=圆周长的一半+一条直径长度，包含曲线弧长和直径直线边长，是完整封闭图形的周长，为单元高频易错重难点。 七、圆的面积完整知识点 1. 面积定义 圆形所占平面的大小，叫做圆的面积，表征平面区域大小，区别于周长的长度概念。 2. 面积公式推导原理 将圆平均分成若干个极小的扇形，分割份数越多，拼接图形越接近长方形。拼接后的长方形长近似等于圆周长的一半，宽近似等于圆的半径。依托长方形面积公式推导出圆的面积公式，全程体现极限转化、化曲为直思想。 3. 圆的面积固定公式 圆的面积公式：S=πr²，公式核心为半径的平方乘圆周率，计算面积必须优先找到半径，半径是求面积的唯一核心量。 4. 圆周长与面积区别 周长是长度，单位为长度单位；面积是区域大小，单位为面积单位；二者概念、意义、单位、公式完全不同，不可混淆、不可比较大小。 八、圆环知识点 1. 圆环定义与结构 两个圆心重合、半径不相等的大圆与小圆之间的环形区域，叫做圆环。圆环必须满足同心圆结构，圆心相同、半径不同，非同心圆无法形成标准圆环。外侧大圆半径为外圆半径R，内侧小圆半径为内圆半径r。 2. 圆环面积原理 圆环面积=外圆面积−内圆面积，固定公式：S环=πR²−πr²=π(R²−r²)。核心逻辑为大面积减小面积，是组合图形面积的基础模型。 九、扇形与圆心角基础知识点 1. 弧的概念 圆上两点之间的曲线部分叫做弧，是圆的局部曲线段。 2. 圆心角概念 顶点在圆心，两条边与圆相交的角叫做圆心角，圆心角的大小决定扇形的大小。 3. 扇形定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，扇形的大小与圆心角大小、圆的半径大小直接相关。 4. 扇形对称性 扇形是轴对称图形，只有一条对称轴，经过圆心且平分圆心角的直线为其对称轴。 十、圆的变化规律知识点 在圆的变化规律中，半径、直径、周长变化倍数完全相同；面积变化倍数是半径（直径、周长）变化倍数的平方。半径扩大几倍，直径、周长同步扩大相同倍数，面积扩大倍数的平方倍，是圆的规律核心考点。 易错指引 1. 基础概念易错 忽略“同圆、等圆”前提，乱用直径半径2倍关系；误认为圆有无数条对称轴，半圆也有无数条；混淆圆心、半径的作用，记错位置与大小的决定因素；误将3.14等同于π。 2. 周长易错 半圆周长只算弧长，遗漏直径长度；周长公式半径、直径混用；周长与面积单位混淆、概念混淆、错误比较大小；变化规律中记错周长变化倍数。 3. 面积易错 面积计算忘记平方半径，直接用半径乘π；圆环面积误用半径差的平方，混淆(R²−r²)与(R−r)²；记错圆面积推导的长、宽对应关系；半径扩大倍数后，面积倍数记为同等倍数而非平方倍数。 4. 图形辨析易错 非同心圆误认为圆环；局部圆形图形随意判定为扇形；混淆弧、线段、半径、直径概念；分不清整圆、半圆、扇形的对称差异。 5. 公式应用易错 已知直径求面积不先求半径，直接代入公式计算；周长、面积公式混用；圆环公式变形不熟练，逆向求解出错；忽略单位换算、单位不统一导致结果错误。 例题讲解 【例题】圆有( )条半径，( )条直径，圆的周长与它直径的比是( )。 【例题】一根铁丝正好可以围成一个边长6.28厘米的正方形，如果把它围成一个圆，这个圆的直径是( )。 【例题】摩天轮的半径是10米，坐着它转动一周，大约在空中转过多少米？ 【例题】在一个长6.28cm、宽4cm的长方形内画一个最大的圆，圆的面积比长方形的面积少百分之几？ 真题拔高 二、填空题 5．圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 6．用一块硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周的距离是9.6dm，这个圆的周长是( )dm。 7．根据下面的信息填合适的单位名称，并计算。 水是生命之源，人一天大约要喝水2000( )。小明每天用一个圆柱形的杯子喝水，杯子的半径是3( )，高是2( )，这个杯子的占地面积是( )，能装( )水，他一天大约要喝( )杯（保留整数）水才能满足身体所需。 8．一个车轮的外直径是65厘米，车轮转动一周，大约前进( )米。 9．如果把高为5厘米，底面半径为2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 10．2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是( )mm。 11．有两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆周长是小圆周长的倍。小圆的面积是( )平方厘米。 12．在一个长为5分米、宽为4分米的长方形铁皮上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米，剩余铁皮的面积是( )平方分米。 三、选择题 13．下列说法中，正确的是（    ）。 A．扇形有无数条对称轴 B．两条线段和一条弧围成的图形叫作扇形 C．在一个圆中剪去一个扇形后，剩下的部分一定是扇形 14．如图，将一个半径为6厘米的半圆平均分成8份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，在这个转化过程中，下列说法正确的是（    ）。 A．面积和周长都没变 B．面积变了，周长不变 C．面积不变，周长变了 15．用三根同样长的铁丝分别围成圆、正方形和长方形，其中面积最大的图形是（    ）。 A．圆 B．正方形 C．不确定 16．在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）。 A．25厘米 B．12.5厘米 C．50厘米 17．（    ）决定了扇形的大小。 A．圆心的位置 B．半径的长短 C．半径的长短和圆心角的大小 四、判断题 18．大圆与小圆半径的比是a∶b，周长的比也是a∶b。( ) 19．同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半．    ( ) 20．在周长一定时，所围的四边形中，正方形的面积最大。( ) 21．从圆心到圆上的任意一条线段都是直径。( ) 22．在同一个圆上，连接圆上任意两点的线段中，直径最长。( ) 五、作图题 23．把下面的圆分成两个扇形，其中一个扇形的圆心角的度数是另一个扇形的5倍。 六、解答题 24．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 25．黄老师至少要准备一块多大的布料？ 26．若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 27．我国著名的数学专著《九章算术》中记载着多种图形面积的计算方法，其中求圆面积的方法是这样描述的：“周径相乘，四而一”，意思是用圆的周长乘直径，再除以4，就得到了圆的面积。 （1）请用《九章算术》中提出的求圆面积的方法求直径是4厘米的圆的面积。 （2）你能用我们所学的有关圆的知识解释采用这种计算方法的道理吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《圆》是人教版六年级上册几何板块核心重点单元，是小学阶段唯一系统学习的曲线平面图形知识。本单元完全区别于之前学习的长方形、正方形、三角形等直线图形，标志着学生从直线几何学习正式进入曲线几何学习阶段。圆的周长与面积公式是小学几何压轴公式体系，是后续圆柱、圆锥、扇形统计图、初中圆的性质与几何证明的核心基础，对培养曲线图形认知、几何建模、公式推导、空间想象能力具有至关重要的作用。 2. 核心学习内容 掌握圆的定义、基本特征与各部分名称；熟练区分圆心、半径、直径的概念、作用与关联规律；掌握圆规画圆的原理与规范；理解圆的对称性与对称轴特征；理解圆周率的由来、意义与取值规范；掌握圆的周长公式推导与完整应用逻辑；掌握圆的面积公式推导转化思想与应用规则；认识扇形、圆心角、弧的基础概念；掌握圆环的结构特征与面积计算原理；梳理圆、半圆、圆环、扇形的各类公式区别与单元高频易错点。 3. 核心数学思想 化曲为直思想：将曲线圆的周长、面积转化为直线图形计算，破解曲线几何计算难题；极限思想：通过无限分割、拼接推导圆的面积公式；转化思想：将未知曲线图形转化为已知长方形、直线图形求解；对称思想：利用圆的轴对称、中心对称特征分析图形性质；建模思想：建立圆、半圆、圆环、扇形标准化公式模型。 二、圆的认识与各部分核心概念 1. 圆的定义 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。圆是封闭、光滑、无棱角、所有点到中心距离相等的完美曲线图形，与直线多边形有本质区别。 2. 圆心概念与作用 圆中心的定点叫做圆心，通常用字母O表示。圆心是圆的中心基准点，核心作用是决定圆的位置，圆心在哪里，圆就画在哪里，圆心只定位、不改变圆的大小。 3. 半径概念与作用 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。半径是圆的基础尺寸，核心作用是决定圆的大小，半径越长圆越大，半径越短圆越小。同一个圆内有无数条半径，所有半径长度完全相等。 4. 直径概念与作用 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。直径是圆内最长的线段。同一个圆内有无数条直径，所有直径长度完全相等。直径是圆的重要尺寸参照，直接关联周长与面积计算。 5. 半径与直径固定关系 在同一个圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，半径是直径的一半。固定数量关系：d=2r、r=d÷2。该关系必须满足同圆、等圆前提，大小不同的圆半径直径无此倍数关系。 三、圆规画圆原理与规范 圆规画圆的本质是固定圆心、固定半径画轨迹。圆规针尖固定的点为圆心，两脚张开的距离为圆的半径。画圆时针尖不可移动、两脚距离不可改变，旋转一周形成标准圆形。画圆规律：针尖定位置、开度定大小，完全对应圆心、半径的核心作用。 四、圆的对称性知识点 1. 对称属性 圆是轴对称图形，同时也是中心对称图形。圆的对称属性是所有平面图形中最完美的。 2. 对称轴特征 圆有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。所有对称轴均穿过圆心、平分圆形，将圆完全分成两个重合的半圆。 3. 半圆对称区别 整圆有无数条对称轴，半圆只有一条对称轴，为垂直于半圆直径的中垂线，是高频概念辨析考点。 五、圆周率π核心知识点 1. 圆周率定义 圆的周长与它直径的比值叫做圆周率，用希腊字母π表示。圆周率是固定不变的常数，不随圆的大小改变而改变，所有圆的圆周率完全相等。 2. 圆周率数值特征 π是无限不循环小数，无法写尽全部小数位数。日常计算中统一取近似值π≈3.14，精确计算、保留位数题目严格按照要求取值。 3. 概念易错点 3.14只是π的近似值，不等于π；π是固定常数，大圆、小圆的π完全一致，不存在大圆π更大的情况。 六、圆的周长完整知识点 1. 周长定义 围成圆的封闭曲线的总长度，叫做圆的周长，表征圆一周的长度大小。 2. 周长公式与推导逻辑 通过化曲为直的测量方法，推导得出圆的周长与直径、半径的固定关系。已知直径求周长：C=πd；已知半径求周长：C=2πr。两个公式本质一致，可根据已知条件灵活选用。 3. 半圆周长核心概念（重难点） 半圆的周长不等于圆周长的一半。半圆周长=圆周长的一半+一条直径长度，包含曲线弧长和直径直线边长，是完整封闭图形的周长，为单元高频易错重难点。 七、圆的面积完整知识点 1. 面积定义 圆形所占平面的大小，叫做圆的面积，表征平面区域大小，区别于周长的长度概念。 2. 面积公式推导原理 将圆平均分成若干个极小的扇形，分割份数越多，拼接图形越接近长方形。拼接后的长方形长近似等于圆周长的一半，宽近似等于圆的半径。依托长方形面积公式推导出圆的面积公式，全程体现极限转化、化曲为直思想。 3. 圆的面积固定公式 圆的面积公式：S=πr²，公式核心为半径的平方乘圆周率，计算面积必须优先找到半径，半径是求面积的唯一核心量。 4. 圆周长与面积区别 周长是长度，单位为长度单位；面积是区域大小，单位为面积单位；二者概念、意义、单位、公式完全不同，不可混淆、不可比较大小。 八、圆环知识点 1. 圆环定义与结构 两个圆心重合、半径不相等的大圆与小圆之间的环形区域，叫做圆环。圆环必须满足同心圆结构，圆心相同、半径不同，非同心圆无法形成标准圆环。外侧大圆半径为外圆半径R，内侧小圆半径为内圆半径r。 2. 圆环面积原理 圆环面积=外圆面积−内圆面积，固定公式：S环=πR²−πr²=π(R²−r²)。核心逻辑为大面积减小面积，是组合图形面积的基础模型。 九、扇形与圆心角基础知识点 1. 弧的概念 圆上两点之间的曲线部分叫做弧，是圆的局部曲线段。 2. 圆心角概念 顶点在圆心，两条边与圆相交的角叫做圆心角，圆心角的大小决定扇形的大小。 3. 扇形定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，扇形的大小与圆心角大小、圆的半径大小直接相关。 4. 扇形对称性 扇形是轴对称图形，只有一条对称轴，经过圆心且平分圆心角的直线为其对称轴。 十、圆的变化规律知识点 在圆的变化规律中，半径、直径、周长变化倍数完全相同；面积变化倍数是半径（直径、周长）变化倍数的平方。半径扩大几倍，直径、周长同步扩大相同倍数，面积扩大倍数的平方倍，是圆的规律核心考点。 易错指引 1. 基础概念易错 忽略“同圆、等圆”前提，乱用直径半径2倍关系；误认为圆有无数条对称轴，半圆也有无数条；混淆圆心、半径的作用，记错位置与大小的决定因素；误将3.14等同于π。 2. 周长易错 半圆周长只算弧长，遗漏直径长度；周长公式半径、直径混用；周长与面积单位混淆、概念混淆、错误比较大小；变化规律中记错周长变化倍数。 3. 面积易错 面积计算忘记平方半径，直接用半径乘π；圆环面积误用半径差的平方，混淆(R²−r²)与(R−r)²；记错圆面积推导的长、宽对应关系；半径扩大倍数后，面积倍数记为同等倍数而非平方倍数。 4. 图形辨析易错 非同心圆误认为圆环；局部圆形图形随意判定为扇形；混淆弧、线段、半径、直径概念；分不清整圆、半圆、扇形的对称差异。 5. 公式应用易错 已知直径求面积不先求半径，直接代入公式计算；周长、面积公式混用；圆环公式变形不熟练，逆向求解出错；忽略单位换算、单位不统一导致结果错误。 例题讲解 【例题】圆有( )条半径，( )条直径，圆的周长与它直径的比是( )。 【答案】 无数 无数 π∶1 【分析】在一个圆中，从圆心到圆上任意一点的线段都叫做圆的半径，由于圆上有无数个点，所以圆有无数条半径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，同样因为可以通过圆心画出无数条线段，所以圆有无数条直径。 圆的周长公式为C＝πd（C表示周长，d表示直径），π是圆周率等于3.14，当计算圆的周长与直径的比时，就是C∶d，把C＝πd代入，得到πd∶d.，因为比的前项和后项同时除d，比值不变，所以πd∶d＝π∶1，这意味着圆的周长始终是其直径的π倍，它们的比值固定为π∶1。 【详解】综上分析所述，圆有无数条半径，无数条直径，圆的周长与它直径的比是π∶1。 【例题】一根铁丝正好可以围成一个边长6.28厘米的正方形，如果把它围成一个圆，这个圆的直径是( )。 【答案】8厘米/8cm 【分析】铁丝长度相当于正方形和圆的周长，根据正方形周长＝边长×4，求出铁丝长度，再根据圆的直径＝周长÷圆周率，列式计算即可。 【详解】6.28×4÷3.14 ＝25.12÷3.14 ＝8（厘米） 这个圆的直径是8厘米。 【例题】摩天轮的半径是10米，坐着它转动一周，大约在空中转过多少米？ 【答案】62.8米 【分析】坐摩天轮转动一周转过的长度就是摩天轮的周长，根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 【详解】 （米） 答：坐着它转动一周，大约在空中转过62.8米。 【例题】在一个长6.28cm、宽4cm的长方形内画一个最大的圆，圆的面积比长方形的面积少百分之几？ 【答案】 50% 【分析】先分别求出长方形的面积，用长方形的面积公式为： 长×宽；长方形内最大圆的面积，在长方形内画最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，因为长方形的宽4厘米小于长6.28厘米，所以圆的直径d ＝ 4厘米，半径r ＝ d÷2，再利用圆的面积公式：，最后求出圆的面积比长方形的面积少的部分，再用少的部分除以长方形的面积，得到少的百分比。 【详解】（平方厘米） （厘米） 答：圆的面积比长方形的面积少50%。 真题拔高 二、填空题 5．圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 【答案】 31.4 12 【分析】根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，由此根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，解决问题。 【详解】长：3.14×10＝31.4（cm） 宽：12cm 圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是31.4cm，宽是12cm。 6．用一块硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周的距离是9.6dm，这个圆的周长是( )dm。 【答案】9.6 【分析】用一块硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周的距离就是这个圆的周长，据此解答。 【详解】由分析可知，这个圆的周长等于这块硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周的距离。 所以这个圆的周长是9.6dm。 7．根据下面的信息填合适的单位名称，并计算。 水是生命之源，人一天大约要喝水2000( )。小明每天用一个圆柱形的杯子喝水，杯子的半径是3( )，高是2( )，这个杯子的占地面积是( )，能装( )水，他一天大约要喝( )杯（保留整数）水才能满足身体所需。 【答案】 毫升/mL 厘米/cm 分米/dm 28.26平方厘米/28.26cm2 565.2毫升/565.2mL 4 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，1立方厘米＝1毫升，1厘米大约是一个指头的宽度，1分米大约是1扎的长度，据此根据容积单位和长度单位的认识，填上合适的单位。 根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出占地面积，根据圆柱体积＝底面积×高，求出杯子容积，每天要喝的水的体积÷杯子容积＝一天喝的杯数，据此列式计算，根据四舍五入法保留近似数。 【详解】3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 2分米＝20厘米 28.26×20＝565.2（立方厘米）＝565.2（毫升） 2000÷565.2≈4（杯） 水是生命之源，人一天大约要喝水2000毫升。小明每天用一个圆柱形的杯子喝水，杯子的半径是3厘米，高是2分米，这个杯子的占地面积是28.26平方厘米，能装565.2毫升水，他一天大约要喝4杯（保留整数）水才能满足身体所需。 8．一个车轮的外直径是65厘米，车轮转动一周，大约前进( )米。 【答案】2 【分析】因为车轮转动一周前进的距离就是车轮的周长，题中给出的数据是直径65厘米，问的是前进多少米，所以先将65厘米转化成0.65米，依据圆的周长＝3.14×直径，也就是车轮转动一周前进的距离，据此解答。 【详解】车轮的外直径是65厘米，因为1米＝100厘米，所以65厘米＝0.65米。 车轮的周长为：3.14×0.65≈2（米） 所以车轮转动一周，大约前进2米。 9．如果把高为5厘米，底面半径为2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 6.28 20 【分析】看图，近似长方体的长是圆柱底面周长的一半，近似长方体的宽是圆柱的底面半径，高和圆柱的高相等。表面积增加了两个面，是近似长方体的左面和右面，根据“宽×高×2”求出表面积增加了多少即可。 【详解】2×3.14×2÷2＝6.28（厘米） 2×5×2＝20（平方厘米） 所以，长方体的长是6.28厘米，表面积增加了20平方厘米。 10．2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是( )mm。 【答案】22.25 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，即可解答。 【详解】69.865÷3.14＝22.25（mm） 2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是22.25mm。 11．有两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆周长是小圆周长的倍。小圆的面积是( )平方厘米。 【答案】891 【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，两个圆周长比＝半径比，半径比前后项分别平方以后的比是面积比，据此确定大圆和小圆的面积比，将比的前后项看成份数，面积差÷份数差，求出一份数，一份数×小圆面积对应份数＝小圆的面积，据此列式计算。 【详解】大圆和小圆的半径比：∶1＝∶1＝10∶9 大圆和小圆的面积比：102∶92＝100∶81 209÷（100－81）×81 ＝209÷19×81 ＝891（平方厘米） 小圆的面积是891平方厘米。 【点睛】明确两个圆的周长比就是半径比，面积比是半径的平方比是解决本题的关键。 12．在一个长为5分米、宽为4分米的长方形铁皮上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米，剩余铁皮的面积是( )平方分米。 【答案】 12.56 7.44 【分析】在长方形中剪下一个最大的圆，则最大的圆直径和长方形的宽相等；根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出圆的面积；然后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据求出长方形铁皮的面积，再减去圆的面积，即可求出剩余的面积。 【详解】3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 20－12.56＝7.44（平方分米） 这个圆的面积是12.56平方分米，剩余铁皮的面积是7.44平方分米。 三、选择题 13．下列说法中，正确的是（    ）。 A．扇形有无数条对称轴 B．两条线段和一条弧围成的图形叫作扇形 C．在一个圆中剪去一个扇形后，剩下的部分一定是扇形 【答案】C 【分析】（1）扇形的定义：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 。 （2）对称性：扇形是轴对称图形，只有 1 条对称轴，对称轴为通过圆心和弧中点的直线，沿此直线对折，扇形两边能完全重合 。 （3）与圆的关系：扇形是圆的一部分，扇形的大小与圆心角、半径有关。在半径相同情况下，圆心角越大，扇形面积越大；圆心角相同，半径越长，扇形面积越大 。 【详解】 A.扇形只有一条对称轴，并非无数条，所以该选项错误。 B.扇形的定义是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，必须是半径，不是任意两条线段，所以该选项错误。 C.在一个圆中剪去一个扇形后，剩下的部分依然是由两条半径和一段弧围成的，符合扇形的定义，所以剩下的部分一定是扇形，该选项正确。 故答案为：C 14．如图，将一个半径为6厘米的半圆平均分成8份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，在这个转化过程中，下列说法正确的是（    ）。 A．面积和周长都没变 B．面积变了，周长不变 C．面积不变，周长变了 【答案】A 【分析】将一个半圆平均分成8份，剪开拼成一个近似长方形，两者的面积相等；将半圆的半径记作r，半圆的周长是×2πr＋2r＝πr＋2r；长方形的宽等于半圆的半径r，长方形的长等于与半圆半径相同的圆的周长一半的一半，是2πr÷2÷2＝πr，所以长方形周长是（πr＋r）×2＝πr＋2r；所以半圆周长与剪拼成的近似长方形的周长相等，因此在转化过程中周长和面积都没有变，据此解答。 【详解】将一个半圆平均分成8份，剪开拼成一个近似长方形，因此两者面积相等； 半圆周长：×2πr＋2r＝πr＋2r 长方形的长：2πr÷2÷2＝πr 长方形周长：（πr＋r）×2＝πr＋2r 所以半圆的周长与拼成的长方形的周长相等。 如图，将一个半径为6厘米的半圆平均分成8份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，在这个转化过程中，下列说法正确的是面积和周长都没变。 故答案为：A 15．用三根同样长的铁丝分别围成圆、正方形和长方形，其中面积最大的图形是（    ）。 A．圆 B．正方形 C．不确定 【答案】A 【分析】根据题意可知，三根铁丝的长度是围成图形的周长，为计算方便，先假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米， 则圆的面积为： （平方米）； 正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米）； 长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为5米、宽为3米， 则面积为：5×3＝15（平方米），当长方形的长和宽最接近时面积也小于16平方米； 所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。 故答案为：A 16．在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）。 A．25厘米 B．12.5厘米 C．50厘米 【答案】B 【分析】正方形内最大圆的直径与正方形的边长相等，所以用正方形的周长除以4求出边长，也就是圆的直径，再除以2即可求出圆的半径。 【详解】100÷4÷2 ＝50÷2 ＝12.5（厘米） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了圆和正方形的关系，明确正方形内最大的圆直径等于正方形边长是解答本题的关键。 17．（    ）决定了扇形的大小。 A．圆心的位置 B．半径的长短 C．半径的长短和圆心角的大小 【答案】C 【分析】由题意可得，弧和经过弧两端的半径所围成的图形叫做扇形。扇形的大小由半径和圆心角的大小决定的。 【详解】半径的长短和圆心角的大小都直接影响扇形的大小。 故答案为：C。 【点睛】此题考查了图形的认识，关键是明确：半径的长短和圆心角的大小都直接影响扇形的大小。 四、判断题 18．大圆与小圆半径的比是a∶b，周长的比也是a∶b。( ) 【答案】√ 【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，两个圆的半径比等于这两个圆的周长比，据此分析。 【详解】大圆与小圆半径的比是a∶b，周长的比也是a∶b，说法正确。 故答案为：√ 19．同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半．    ( ) 【答案】正确   【详解】根据直径和半径的定义：通过圆心且两个端点都在圆上的线段叫直径，连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半，故答案为正确 20．在周长一定时，所围的四边形中，正方形的面积最大。( ) 【答案】√ 【分析】因为两数和一定的情况下，两数差越小积越大。周长一定可推知，相邻两边的和一定，这种情况下正方形相邻两边的差为0，所以乘积最大，也就是面积最大。 【详解】在周长一定时，所围的四边形中，正方形的面积最大。 所以判断正确。 【点睛】本题考查了四边形的面积，明确常见四边形的面积公式是解题的关键。 21．从圆心到圆上的任意一条线段都是直径。( ) 【答案】× 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示；据此解答。 【详解】由分析可知，从圆心到圆上的任意一条线段都是半径。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查半径、直径的认识，明确半径、直径的定义是解题的关键。 22．在同一个圆上，连接圆上任意两点的线段中，直径最长。( ) 【答案】√ 【详解】根据圆的特征，在同一个圆上，连接圆上任意两点的线段中，直径最长，说法正确。 故答案为：√ 五、作图题 23．把下面的圆分成两个扇形，其中一个扇形的圆心角的度数是另一个扇形的5倍。 【答案】见详解 【分析】扇形的圆心角的度数是小扇形的5倍；所以大扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，小扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，周角是360度，由此根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可。 【详解】由大扇形的圆心角的度数是小扇形的5倍；可知大扇形占整个圆的，大扇形的圆心角为：×360°＝300°；小扇形占整个圆的，小扇形的圆心角是×360°＝60°。 如图：    【点睛】此题考查圆心角的意义以及分数的意义：知道周角的度数为360°，大扇形的圆心角的度数是小扇形的5倍是解题关键。 六、解答题 24．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【分析】根据题意，在一个装有水的圆柱体容器里浸没一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，水面会下降，那么水面下降部分的体积等于这个圆锥体铅锤的体积。 已知圆锥体铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个铅锤的体积，也是水面下降部分的体积； 已知圆柱体容器的底面直径为40厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出容器的底面积； 再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆锥的体积（水面下降的体积）： ×3.14×（20÷2）2×9 ＝×3.14×102×9 ＝×3.14×100×9 ＝942（立方厘米） 圆柱体容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 942÷1256＝0.75（厘米） 答：容器中水面高度下降了0.75厘米。 25．黄老师至少要准备一块多大的布料？ 【答案】 367.38dm2 【分析】首先根据空调的高求出底面直径，再得到底面半径；接着计算圆柱的侧面积（底面周长×高）和1个底面积（圆的面积），两者之和即为防尘罩所需布料的面积。 【详解】求底面直径：（dm），半径：（dm） 侧面积： （dm2） 底面积：（dm2） 总面积：（dm2） 答：黄老师至少要准备一块367.38dm2的布料。 26．若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 【答案】10597.5克 【分析】根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，先求出草地面积，草地面积×每平方米草地每天能释放氧气质量＝这块草地一天释放的氧气质量，据此列式解答。 【详解】3.14×（94.2÷3.14÷2）2×15 ＝3.14×152×15 ＝3.14×225×15 ＝10597.5（克） 答：一天能释放氧气10597.5克。 27．我国著名的数学专著《九章算术》中记载着多种图形面积的计算方法，其中求圆面积的方法是这样描述的：“周径相乘，四而一”，意思是用圆的周长乘直径，再除以4，就得到了圆的面积。 （1）请用《九章算术》中提出的求圆面积的方法求直径是4厘米的圆的面积。 （2）你能用我们所学的有关圆的知识解释采用这种计算方法的道理吗？ 【答案】（1）12.56平方厘米 （2）题中计算方法可以变形成圆的面积计算公式。 【分析】（1）利用圆的周长公式求出圆的周长，再用圆的周长乘直径，接着除以4，就得到了圆的面积。 （2）圆的面积，用圆的周长，直径，可知题中计算方法是，这种计算方法可以变形成圆的面积计算公式。 【详解】（1）4×3.14×4÷4 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） 答：圆的面积是12.56平方厘米。 （2）题中计算方法： 题中计算圆的面积方法可变形成圆的面积计算公式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $