专题03 分数除法（解决问题讲义）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过考点梳理系统构建分数除法解决问题的知识体系，以框架图呈现5个核心考点的核心思路、方法技巧及计算公式，突出单位“1”判断、等量关系梳理等重难点，清晰展现不同问题类型的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与情境化方法指导，典例结合沙漠植树、C919客机等现实情境培养数学眼光，工程问题模型构建与倒推法训练发展运算能力和推理意识，分层练习（夯实基础、培优拔高、思维拓展）满足不同学生需求，易错点提醒助力精准突破，支持教师分层教学与学生自主复习。

（新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题03：分数除法 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：单位“1”未知，已知它对应的一部分量和对应分率，求整体总量。单位“1”未知，用除法；依据等量关系：单位“1”×分率=对应部分量，逆推得：部分量÷对应分率=单位“1”总量。 2．方法技巧 （1）找单位“1”：“的”前面的量，题目所求量； （2）梳理等量关系式：单位“1”×几分之几=已知数量； （3）两种解法： ①算术法：已知量÷对应分率； ②方程法：设单位“1”为x，列“x×分率=已知量”求解； （3）线段图：整条线段为未知单位 1，标出已知分率与对应具体数量。 3．计算公式：单位“1”的量=对应部分量÷对应分率 【易错点】区分分数乘法、除法：单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法。 考点02：已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：“比”后面的量是单位 1（未知），已知比它多/少几分之几的实际数量，求标准量。先求出已知数量对应的总分率；已知量÷总分率=单位“1”。 （1）多几分之几对应分率：1+分率； （2）少几分之几对应分率：1−分率。 2．方法技巧 （1）单位“1”是“比”后的量，为题目所求，未知用除法； （2）写出等量关系：单位“1”×（1±分率=已知比较量； （3）算术法：已知量 ÷（1±分率）； （4）方程法：设单位“1”为x，x（1±分率）=已知数； （5）线段图先画单位“1”，标出多/少的分率，右侧标注已知总量。 3．计算公式： （1）比单位“1”多：单位“1” =已知量÷（1+多的分率） （2）比单位“1”少：单位“1” =已知量÷（1−少的分率） 【易错点】 （1）括号不能丢，不能直接用已知量±分率； （2）看清“多”“少”，加号减号不要写反。 考点03：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．核心思路：整体总量（单位“1”）未知，给出其中一部分的分率，以及剩下部分的具体数量，求全部总量。先求剩余数量对应的分率：1−运走/已占分率；剩余具体数量÷剩余分率=整体总量。 2．方法技巧 （1）单位“1”为总量，未知用除法； （2）找到不带单位的分率，算出另一部分对应分率； （3）等量关系：总量×（1−已知分率）=剩余数量； （4）算术、方程两种方法均可。 3．计算公式：总量=剩余部分量÷（1−已知部分分率） 【易错点】 （1）一定要用剩下的具体数量匹配剩下的分率； （2）不能用给出的分率直接去除剩余量，必须先算1−分率； （3）区分：若给出运走的具体吨数，就用运走量÷对应分率。 考点04：两人合作的工程问题 1．核心思路：修路、挖水渠、完成稿件、水池注水等工作总量未知的合作题型；把总工程看作单位“1”。工作总量设为单位“1”，单独完成时间倒数=工作效率；合作效率=甲效率+乙效率；合作时间=总工作量÷合作效率。 2．方法技巧 （1）总量不给出具体数值，统一看作“1”； （2）单独工作效率=1÷单独完成天数； （3）先求和得到合作效率，再用总工程量“1”除以效率和求时间。 3．计算公式： （1）单人效率：工作效率=1÷单独用时 （2）合作效率：效率和=甲效率+乙效率 （3）合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点05：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 1．核心思路 （1）倒推法（还原问题）：从最后剩余数量反向计算，除以对应剩余分率，逐步还原最初总量； （2）转化法：统一单位“1”，把多层不同标准的分率转化为以总量为单位“1”的分率，再列式计算。 2．方法技巧 （1）倒推法：从末尾已知数量出发，每一步逆运算：剩的量 ÷ 该步剩余分率，层层往前求原数。 （2）转化统一单位“1”：多个不同单位“1”时，以总数量为标准，把所有分率转化为占总量的几分之几，再匹配对应具体量。 3．计算公式： （1）倒推通用：上一层总量=当前剩余量÷（1−本次消耗分率） （2）转化法：统一分率后，总量=对应量÷转化后的总分率 【易错点】 （1）每一层分率对应单位“1”不同，不能直接加减分率； （2）倒推时注意符号，原来是减分率，倒推仍用1−分率做除数； （3）画图分层线段，区分每一步的标准量，避免对应错误。 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题1】习爷爷提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，是种植沙枣棵数的。这个区域种植沙枣树多少棵？ 【典型例题2】光明小学课后服务开设了多个社团，其中武术社团的人数是京剧社团的，京剧社团的人数是花鼓社团的。已知参加武术社团的有60人，参加花鼓社团的有多少人？ 【练习1】一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的时，正好是102千米。如果这辆汽车行完了全程的，应该行了多少千米？ 【练习2】一天，某特产店的苹果礼盒销量是葡萄礼盒的，苹果礼盒的销量是酥梨礼盒的。已知葡萄礼盒卖出30箱，酥梨礼盒卖出多少箱？ 考点02：已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数 【典型例题1】朱鹮是一种珍贵的鸟类，被列为国家一级保护动物，被誉为“东方宝石”和“吉祥之鸟”。一只雌性朱鹮的体重约为千克，比一只雄性朱鹮轻，这只雄性朱鹮的体重为多少千克？ 【典型例题2】C919大型客机具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机全机长度39米，比翼展约长。在使用材料上，C919采用了较大比例的先进金属材料和复合材料。2023年5月28日，C919大型客机圆满完成首次商业试飞，2024年2月18日，C919大型客机圆满完成首次海外试飞。育才小学组织高年级的360名学生观看了这次直播，见证这令人激动的历史一刻。 （1）C919大型客机的翼展长约多少米？ （2）这次观看直播的学生中，女生人数是男生人数的。这次观看直播的男、女生各有多少人？ 【练习1】如今“线上直播带货”已成为一种重要的销售方式。王大伯这星期开始增加了线上直播销售莲蓬的方式，线上直播销售量比线下销售量多，这星期王大伯线上直播销售量是546千克，王大伯这星期一共销售莲蓬多少千克？ 【练习2】“十一”期间，商场举行促销活动，每件商品降价。妈妈在商场买了一件衣服花了720元，这件衣服原价多少元？ 【典型例题1】学校举行跑步比赛，李明跑全长的时，离中点还有3千米。比赛全程长多少千米？ 【典型例题2】一条公路，第一天修了120米，第二天修了全长的，还剩下30米没有修，这条公路全长多少米？ 【练习1】王老师在万泉湖研学中安排手工编织任务，计划完成一批研学纪念绳，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，再做10条就完成计划任务了。王老师计划完成多少条研学纪念绳？ 【练习2】一个果园新摘了一些柚子，上午运走全部的，下午运走210千克，这时已运走的柚子质量占全部柚子的，果园新摘柚子多少千克？ 考点04：两人合作的工程问题 【典型例题1】一批快递，甲快递员单独配送6小时送完，乙快递员单独配送8小时送完，如果甲乙两个快递员同时配送，多少小时可以将这批快递送完？ 【典型例题2】某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 【练习1】植树队要种320棵树。甲队单独种，种完需要8天；乙队单独种，种完需要10天。现在两队合种，5天能种完吗？ 【练习2】洛浦公园需要铺一段步行通道，甲队单独铺需要12天完成，乙队单独铺8天可以完成这项工作的。两队合作，多少天可以完成？ 考点05：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典型例题1】水果店采购一批西瓜。上午卖出这批西瓜的，下午卖出上午剩下的，这时还剩下24千克西瓜。水果店采购了多少千克西瓜？ 【典型例题2】小红和小刚都是集邮爱好者，他们共有240枚邮票。如果小红拿出给小刚，这时两人的邮票数量就同样多。原来小红有（     ）枚邮票。（先将线段图补充完整，再解答） 【练习1】李红读一本故事书，已读了，再读32页，刚好比全书的一半多2页。这本书共有多少页？ 【练习2】景区生态池，第一天补充总水量的，第二天补充剩下的，还剩15立方米。这个生态池的容量是多少立方米？ 夯实基础 1．超市今天运来一些水果，卖了72筐，还剩下，今天共运来（     ）筐水果。 A．162 B．90 C．84 2．妈妈的体重是60千克，正好是爸爸体重的，爸爸体重是多少千克？下面线段图（     ）描述正确。 A． B． C． 3．实验小学开设了丰富多彩的社团活动。其中篮球和足球是本校的特色社团。学校篮球社团有90人，______，足球社团有多少人？下列选项中，信息和算式相符的一项是（     ）。 A．篮球社团的人数比足球社团多； B．比足球社团人数少； C．是足球社团人数的； 4．李爷爷饲养了600只鸡，饲养的鸡的只数比鸭的只数多，饲养鸭多少只？列式正确的是（     ）。 A． B． C． 5．若五年级人数的与六年级人数的都是120人，则两个年级的人数相比较，（     ）。 A．五年级多 B．六年级多 C．一样多 6．某航空公司预订了一批中国商飞C919，已经交付了15架，还剩下总数的没有交付，交付的占总数的（ ），这批订单一共有（ ）架。 7．小明的体重是35千克，小明的体重比爸爸的体重轻，轻的部分是（ ）的。小明爸爸的体重是（ ）千克。 8．甲、乙两人计划合作加工一批零件，8天可以完成，中途甲因事停工3天，因此两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，那么需要（ ）天才能完成。 9．一批吨的货物，如果每天运走吨，那么（ ）天能运完；如果每天运走这批货物的，那么（ ）天能运完。 10．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，两人合作（ ）天完成全工程的。 11．一桶油用去4千克后还剩，这桶油一共有（ ）千克。一桶油用去4千克后还剩千克，这桶油一共有（ ）千克。 12．周末，明明和妈妈一起逛人民公园，他们俩小时走了，平均每小时走（ ），平均走需要（ ）小时。 13．经调查，六（1）班有的同学长大后想当老师，想当科学家的同学有12名，是想当老师的人数的。这个班有（ ）名同学想当老师，全班共有（ ）名同学。 14．两条同样长度的彩带被等分成不同份数（如图）。第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长（     ）厘米。 15．小飞装了一桶碎冰，如果化成水，体积会减少，如果这些水再完全结成冰，它的体积会增加（ ）。（填分数） 16．六年级同学分三个组植树。甲组人数占总人数的，如果从丙组调4人到甲组，三个组的人数恰好相等。六年级共有同学（ ）人。 培优拔高 17．阳台山线是鲲鹏径第四段徒步路线。某处补给站海拔高度是348米，正好是大阳台山观景台海拔的，大阳台山观景台海拔多少米？ 18．实验小学美术组的人数是科技组的，科技组的人数比体育组少，美术组有40人。 （1）科技组有多少人？ （2）体育组有多少人？ 19．为落实教育部“双减”政策，全面提升学校的素质教育，思源小学本学期开展了16个社团活动。其中黄梅挑花社团有72人，黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的，是足球社团的。足球社团有多少人？ 20．秋高气爽，松鼠妈妈带着松鼠兄妹去捡松果。松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的。松鼠哥哥捡了多少个松果？ 21．某超市第一天卖出面粉140千克，比第二天的多20千克，第二天卖出面粉多少千克？ 22．为落实教育部“双减”政策，全面提升学校的素质教育，思源小学本学期开展了16个社团活动。其中黄梅挑花社团有72人，黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的，是足球社团的。足球社团有多少人？ 23．晓东读一本课外读物，已经读了65页，还剩下没有读，这本课外读物一共有多少页？ 24．甲、乙两地间的公路长440千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 思维拓展 25．《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米八斗，问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用所余米的纳税；过内关时，再用所余米的纳税，最后还剩下8斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 26．为缅怀革命英烈，六（1）班同学准备制作80朵纸花敬献烈士纪念碑。男生单独制作这些纸花需要6小时，女生单独制作需要5小时。如果女生先单独制作2小时后，剩下的男女生一起合作完成，还需要多长时间？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题03：分数除法 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：单位“1”未知，已知它对应的一部分量和对应分率，求整体总量。单位“1”未知，用除法；依据等量关系：单位“1”×分率=对应部分量，逆推得：部分量÷对应分率=单位“1”总量。 2．方法技巧 （1）找单位“1”：“的”前面的量，题目所求量； （2）梳理等量关系式：单位“1”×几分之几=已知数量； （3）两种解法： ①算术法：已知量÷对应分率； ②方程法：设单位“1”为x，列“x×分率=已知量”求解； （3）线段图：整条线段为未知单位 1，标出已知分率与对应具体数量。 3．计算公式：单位“1”的量=对应部分量÷对应分率 【易错点】区分分数乘法、除法：单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法。 考点02：已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数 1．核心思路：“比”后面的量是单位 1（未知），已知比它多/少几分之几的实际数量，求标准量。先求出已知数量对应的总分率；已知量÷总分率=单位“1”。 （1）多几分之几对应分率：1+分率； （2）少几分之几对应分率：1−分率。 2．方法技巧 （1）单位“1”是“比”后的量，为题目所求，未知用除法； （2）写出等量关系：单位“1”×（1±分率=已知比较量； （3）算术法：已知量 ÷（1±分率）； （4）方程法：设单位“1”为x，x（1±分率）=已知数； （5）线段图先画单位“1”，标出多/少的分率，右侧标注已知总量。 3．计算公式： （1）比单位“1”多：单位“1” =已知量÷（1+多的分率） （2）比单位“1”少：单位“1” =已知量÷（1−少的分率） 【易错点】 （1）括号不能丢，不能直接用已知量±分率； （2）看清“多”“少”，加号减号不要写反。 考点03：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．核心思路：整体总量（单位“1”）未知，给出其中一部分的分率，以及剩下部分的具体数量，求全部总量。先求剩余数量对应的分率：1−运走/已占分率；剩余具体数量÷剩余分率=整体总量。 2．方法技巧 （1）单位“1”为总量，未知用除法； （2）找到不带单位的分率，算出另一部分对应分率； （3）等量关系：总量×（1−已知分率）=剩余数量； （4）算术、方程两种方法均可。 3．计算公式：总量=剩余部分量÷（1−已知部分分率） 【易错点】 （1）一定要用剩下的具体数量匹配剩下的分率； （2）不能用给出的分率直接去除剩余量，必须先算1−分率； （3）区分：若给出运走的具体吨数，就用运走量÷对应分率。 考点04：两人合作的工程问题 1．核心思路：修路、挖水渠、完成稿件、水池注水等工作总量未知的合作题型；把总工程看作单位“1”。工作总量设为单位“1”，单独完成时间倒数=工作效率；合作效率=甲效率+乙效率；合作时间=总工作量÷合作效率。 2．方法技巧 （1）总量不给出具体数值，统一看作“1”； （2）单独工作效率=1÷单独完成天数； （3）先求和得到合作效率，再用总工程量“1”除以效率和求时间。 3．计算公式： （1）单人效率：工作效率=1÷单独用时 （2）合作效率：效率和=甲效率+乙效率 （3）合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点05：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 1．核心思路 （1）倒推法（还原问题）：从最后剩余数量反向计算，除以对应剩余分率，逐步还原最初总量； （2）转化法：统一单位“1”，把多层不同标准的分率转化为以总量为单位“1”的分率，再列式计算。 2．方法技巧 （1）倒推法：从末尾已知数量出发，每一步逆运算：剩的量 ÷ 该步剩余分率，层层往前求原数。 （2）转化统一单位“1”：多个不同单位“1”时，以总数量为标准，把所有分率转化为占总量的几分之几，再匹配对应具体量。 3．计算公式： （1）倒推通用：上一层总量=当前剩余量÷（1−本次消耗分率） （2）转化法：统一分率后，总量=对应量÷转化后的总分率 【易错点】 （1）每一层分率对应单位“1”不同，不能直接加减分率； （2）倒推时注意符号，原来是减分率，倒推仍用1−分率做除数； （3）画图分层线段，区分每一步的标准量，避免对应错误。 考点01：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题1】习爷爷提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，是种植沙枣棵数的。这个区域种植沙枣树多少棵？ 【答案】625棵 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用800乘计算出沙柳的棵数；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用沙柳的棵数除以即可求沙枣树的棵数。 【详解】 ＝ ＝ ＝625（棵） 答：这个区域种植沙枣树625棵。 【典型例题2】光明小学课后服务开设了多个社团，其中武术社团的人数是京剧社团的，京剧社团的人数是花鼓社团的。已知参加武术社团的有60人，参加花鼓社团的有多少人？ 【答案】150人 【分析】先把京剧社团人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用武术社团人数（60人）除以求出京剧社团人数；再把花鼓社团人数看作单位“1”，根据分数除法的意义，用京剧社团人数除以求出花鼓社团人数。 【详解】60÷÷ ＝60×× ＝90× ＝150（人） 答：参加花鼓社团的有150人。 【练习1】一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的时，正好是102千米。如果这辆汽车行完了全程的，应该行了多少千米？ 【答案】204 千米 【分析】把甲地到乙地的全程看作单位“1”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，先求出全程的长度。然后再求全程的是多少，用乘法计算。 【详解】 （千米） 答：应该行了204千米。 【练习2】一天，某特产店的苹果礼盒销量是葡萄礼盒的，苹果礼盒的销量是酥梨礼盒的。已知葡萄礼盒卖出30箱，酥梨礼盒卖出多少箱？ 【答案】35箱 【分析】把葡萄礼盒的销量看作单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用乘法计算求出苹果礼盒销量。再把酥梨礼盒的销量看作单位“1”，已知苹果礼盒销量及其对应分率，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】 （箱） 答：酥梨礼盒卖出35箱。 考点02：已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数 【典型例题1】朱鹮是一种珍贵的鸟类，被列为国家一级保护动物，被誉为“东方宝石”和“吉祥之鸟”。一只雌性朱鹮的体重约为千克，比一只雄性朱鹮轻，这只雄性朱鹮的体重为多少千克？ 【答案】千克 【分析】把雄性朱鹮的体重看作单位“1”，雌性朱鹮的体重是雄性朱鹮的（1－），对应的是雌性朱鹮的体重，求单位“1”，用雌性朱鹮的体重÷（1－），即可解答。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝（千克） 答：这只雄性朱鹮的体重为千克。 【典型例题2】C919大型客机具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机全机长度39米，比翼展约长。在使用材料上，C919采用了较大比例的先进金属材料和复合材料。2023年5月28日，C919大型客机圆满完成首次商业试飞，2024年2月18日，C919大型客机圆满完成首次海外试飞。育才小学组织高年级的360名学生观看了这次直播，见证这令人激动的历史一刻。 （1）C919大型客机的翼展长约多少米？ （2）这次观看直播的学生中，女生人数是男生人数的。这次观看直播的男、女生各有多少人？ 【答案】（1）36米 （2）200人；160人 【分析】（1）将C919大型客机的翼展长度看作单位“1”，全机长度是翼展长度的（1＋），全机长度÷对应分率＝翼展长度，据此列式解答； （2）将男生人数看作单位“1”，总人数是男生人数的（1＋），总人数÷对应分率＝男生人数，总人数－男生人数＝女生人数，据此列式解答。 【详解】（1）39÷（1＋） ＝39÷ ＝39× ＝36（米） 答：C919大型客机的翼展长约36米。 （2）360÷（1＋） ＝360÷ ＝360× ＝200（人） 360－200＝160（人） 答：这次观看直播的男、女生各有200人、160人。 【练习1】如今“线上直播带货”已成为一种重要的销售方式。王大伯这星期开始增加了线上直播销售莲蓬的方式，线上直播销售量比线下销售量多，这星期王大伯线上直播销售量是546千克，王大伯这星期一共销售莲蓬多少千克？ 【答案】651千克 【分析】把线下销售量看作单位“1”，线上直播销售量比线下销售量多，则线上直播销售量是线下销售量的（1＋）。已知线上直播销售量是546千克，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法计算出线下销售量，再将线上销售量和线下销售量相加即可求出总销售量。 【详解】 （千克） （千克） 答：王大伯这星期一共销售莲蓬651千克。 【练习2】“十一”期间，商场举行促销活动，每件商品降价。妈妈在商场买了一件衣服花了720元，这件衣服原价多少元？ 【答案】840元 【分析】分析题目，把衣服的原价看作单位“1”，则现价720元是原价的（1－），根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法列式计算即可。 【详解】720÷（1－） ＝720÷ ＝720× ＝840（元） 答：这件衣服原价840元。 考点03：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典型例题1】学校举行跑步比赛，李明跑全长的时，离中点还有3千米。比赛全程长多少千米？ 【答案】30千米 【分析】将比赛全长看作单位“1”，已知李明跑了全程的时，离中点（全程的）还有3千米。那么全程的与的差对应3千米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数需要用除法计算，由此可求出全程长度。 【详解】 ＝ ＝ ＝30（千米） 答：比赛全程长30千米。 【典型例题2】一条公路，第一天修了120米，第二天修了全长的，还剩下30米没有修，这条公路全长多少米？ 【答案】200米 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，第二天修了全长的，则第一天修的和剩下没修的长度共占全长的（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用（120＋30）除以（1－）即可求出这条公路的全长。 【详解】（120＋30）÷（1－） ＝150÷ ＝150× ＝200（米） 答：这条公路全长200米。 【练习1】王老师在万泉湖研学中安排手工编织任务，计划完成一批研学纪念绳，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，再做10条就完成计划任务了。王老师计划完成多少条研学纪念绳？ 【答案】30条 【分析】把王老师计划完成研学纪念绳的总数量看作单位“1”，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，则还剩下（1－－）没有完成，再做10条就完成计划任务了，计划完成研学纪念绳的总数量＝还需要做的数量÷（1－－），据此解答。 【详解】10÷（1－－） ＝10÷（1－－） ＝10÷ ＝10×3 ＝30（条） 答：王老师计划完成30条研学纪念绳。 【练习2】一个果园新摘了一些柚子，上午运走全部的，下午运走210千克，这时已运走的柚子质量占全部柚子的，果园新摘柚子多少千克？ 【答案】720千克 【分析】把这批柚子的质量看作单位“1”，已经运走的分率减去上午运走的分率，即为下午运走的分率，它对应的质量是210千克，用除法求出这批柚子共有多少千克。 【详解】 （千克） 答：果园新摘柚子720千克。 考点04：两人合作的工程问题 【典型例题1】一批快递，甲快递员单独配送6小时送完，乙快递员单独配送8小时送完，如果甲乙两个快递员同时配送，多少小时可以将这批快递送完？ 【答案】小时 【分析】将这批快递的总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，用1分别除以甲、乙快递员单独配送的时间求出甲、乙的工作效率。两人同时配送，工作效率相加，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”列式计算即可解答。 【详解】1÷6＝ 1÷8＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（时） 答：小时可以将这批快递送完。 【典型例题2】某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 【答案】个月 【分析】把这条路的总量看作单位“1”。根据甲队单独完成需要4个月，可知甲队的工作效率是。乙队单独完成需要的时间比甲队少，即乙队时间是甲队时间的，据此求出乙队单独完成需要的时间，进而求出乙队的工作效率。最后根据“工作时间工作总量工作效率和”求出合作完成需要的时间。 【详解】（个月） ＝ ＝ （个月） 答：个月可以完成。 【练习1】植树队要种320棵树。甲队单独种，种完需要8天；乙队单独种，种完需要10天。现在两队合种，5天能种完吗？ 【答案】能 【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出甲队的工作效率和乙队的工作效率，两队合作需要的天数＝工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率），由此求出两队合种需要的天数，最后和题目中的天数相比较，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷8＝ 乙队的工作效率：1÷10＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 因为天＜5天，所以5天能种完。 答：5天能种完。 【练习2】洛浦公园需要铺一段步行通道，甲队单独铺需要12天完成，乙队单独铺8天可以完成这项工作的。两队合作，多少天可以完成？ 【答案】天 【分析】把一段步行通道看作单位“1”，甲队单独铺需要12天完成，乙队单独铺8天可以完成这项工作的，用工作总量除以工作时间求出甲和乙的工作效率；甲的工作效率加上乙的工作效率等于合作的工作效率，最后用工作总量除以工作效率求出工作时间，据此解答。 【详解】甲的工作效率： 乙的工作效率： （天） 答：两队合作，天可以完成。 考点05：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典型例题1】水果店采购一批西瓜。上午卖出这批西瓜的，下午卖出上午剩下的，这时还剩下24千克西瓜。水果店采购了多少千克西瓜？ 【答案】90千克 【分析】把这批西瓜的总质量看作单位“1”，下午卖出上午剩下的，就是下午卖出这批西瓜总质量的（）的；剩下的质量对应的分率则为。 再用剩下的千克数除以剩下对应的分率就是采购了多少千克。 【详解】24÷ ＝24÷ ＝24÷ ＝24× ＝90（千克） 答：水果店采购了90千克西瓜。 【典型例题2】小红和小刚都是集邮爱好者，他们共有240枚邮票。如果小红拿出给小刚，这时两人的邮票数量就同样多。原来小红有（     ）枚邮票。（先将线段图补充完整，再解答） 【答案】150枚；图见详解 【分析】由于小红拿出给小刚，那么相当于把小红收集的邮票数量平均分成5份，取了其中的1份给小刚，此时小红剩下4份，小刚得到那一份就和小红一样多了，此时小刚也是4份，如果去掉小红给的那一份，小刚就有3份，据此画图；小刚原来有3份，相当于小红的，小红的邮票数量是单位“1”，小红邮票数量和小刚邮票数量和是小红的1＋，即一共有240枚，单位“1”是小红邮票数量，单位“1”未知，用除法，即240÷（1＋）据此即可求出小红的数量。 【详解】如下图所示： 240÷（1＋） ＝240÷ ＝240× ＝150（枚） 答：原来小红有150枚邮票。 【练习1】李红读一本故事书，已读了，再读32页，刚好比全书的一半多2页。这本书共有多少页？ 【答案】300页 【分析】首先找准本题的单位“1”（全书的总页数），再根据数量关系：全书的总页数×＋32＝全书的总页数×＋2，变形推导：全书的总页数×＝32－2，量率对应求出单位“1”，即这本书的总页数。 【详解】 （页） 答：这本书共有300页。 【练习2】景区生态池，第一天补充总水量的，第二天补充剩下的，还剩15立方米。这个生态池的容量是多少立方米？ 【答案】100立方米 【分析】将第一天剩下的容量看作单位“1”，最后剩下的是第一天剩下的（1－），最后剩下的容量÷对应分率＝第一天剩下的容量；再将总容量看作单位“1”，第一天剩下的容量是总容量的（1－），第一天剩下的容量÷对应分率＝总容量。 【详解】15÷（1－）÷（1－） ＝15÷÷ ＝15×4× ＝60× ＝100（立方米） 答：这个生态池的容量是100立方米。 夯实基础 1．超市今天运来一些水果，卖了72筐，还剩下，今天共运来（     ）筐水果。 A．162 B．90 C．84 【答案】A 【分析】将这批水果的总筐数看作单位“1”，卖了72筐，还剩下，则72筐占总筐数的，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】 （筐） 即今天共运来162筐水果。 故答案为：A 2．妈妈的体重是60千克，正好是爸爸体重的，爸爸体重是多少千克？下面线段图（     ）描述正确。 A． B． C． 【答案】C 【分析】把爸爸的体重看成单位“1”，妈妈的体重是它的，也就是把爸爸的体重平均分成4份，其中的3份就是妈妈的体重，由此画出线段图。 【详解】妈妈的体重是爸爸体重的可以表示为： （千克） 即爸爸的体重是80千克。 故答案为：C 3．实验小学开设了丰富多彩的社团活动。其中篮球和足球是本校的特色社团。学校篮球社团有90人，______，足球社团有多少人？下列选项中，信息和算式相符的一项是（     ）。 A．篮球社团的人数比足球社团多； B．比足球社团人数少； C．是足球社团人数的； 【答案】A 【分析】A．已知比一个数多几分之几是另一个数，单位“1”为一个数，单位“1”未知用除法，一个数＝另一个数÷（1＋几分之几）。篮球社团的人数比足球社团多，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，代入列式即可。 B．已知比一个数少几分之几是另一个数，单位“1”为一个数，单位“1”未知用除法，一个数＝另一个数÷（1－几分之几）。篮球社团的人数比足球社团人数少，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，代入列式即可。 C．已知一个数的几分之几是另一个数，单位“1”为一个数，单位“1”未知，一个数＝另一个数÷几分之几。篮球社团人数是足球社团人数的，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，代入列式即可。 【详解】A．篮球社团的人数比足球社团多，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，用除法列式，列式为90÷（1＋），A正确。 B．比足球社团人数少，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，用除法列式，列式为90÷（1－），B错误。 C．是足球社团人数的，求足球社团的人数，即求单位“1”是多少，用除法列式，列式为90÷，C错误。 故答案为：A 4．李爷爷饲养了600只鸡，饲养的鸡的只数比鸭的只数多，饲养鸭多少只？列式正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据题意，把鸭的只数看作单位“1”，饲养的鸡的只数比鸭的只数多，即鸡的只数相当于鸭的，求单位“1”的量用除法计算，用对应数量鸡的只数600只除以对应分率即可算出鸭的只数。 【详解】把鸭的只数看作单位“1”，鸡的只数相当于鸭的，求单位“1”的量用除法计算，求鸭的只数应列式为：。 故答案为：C 5．若五年级人数的与六年级人数的都是120人，则两个年级的人数相比较，（     ）。 A．五年级多 B．六年级多 C．一样多 【答案】B 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。把五年级人数看作单位“1”，用120÷可求出五年级的人数，把六年级人数看作单位“1”，用120÷可求出六年级的人数，然后再比较五年级人数和六年级人数的大小。 【详解】120÷＝120×＝200（人） 120÷＝120×＝400（人） 200＜400 所以则两个年级的人数相比较，六年级多。 故答案为：B 6．某航空公司预订了一批中国商飞C919，已经交付了15架，还剩下总数的没有交付，交付的占总数的（ ），这批订单一共有（ ）架。 【答案】 24 【分析】把这批订单的总架数看作单位“1”。根据“已交付占比＝1−未交付占比”，代入数据即可解答。由题知已经交付的架数占总数的（1－），单位“1”未知，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”。据此解答。 【详解】1－＝ 15÷＝15×＝24（架） 7．小明的体重是35千克，小明的体重比爸爸的体重轻，轻的部分是（ ）的。小明爸爸的体重是（ ）千克。 【答案】 爸爸的体重 75 【分析】小明的体重比爸爸的体重轻，单位“1”是爸爸的体重。轻的部分是爸爸体重的。小明体重35千克相当于爸爸体重的（1－）。单位“1”未知，用除法计算。用小明体重除以对应的分率求出爸爸体重。 【详解】根据分析。轻的部分是爸爸体重的。 35÷（1－） ＝35÷ ＝35× ＝75（千克） 8．甲、乙两人计划合作加工一批零件，8天可以完成，中途甲因事停工3天，因此两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，那么需要（ ）天才能完成。 【答案】12 【分析】假设这批零件的总工作量为1； 由题可知甲、乙两人计划合作加工一批零件，8天可以完成，用除法可以算出甲乙两人合作的工作效率； 总共用了10天完成，其中甲停工3天，可以理解为甲乙合作了7天（10－3＝7），乙再单独加工了3天； 用甲乙合作的工作效率乘工作时间，可以计算出7天甲乙合作的工作量； 用工作总量1减去7天甲乙合作的工作量，可得到乙3天单独工作量； 用乙3天工作量除以工作时间可得到乙的工作效率； 用甲乙合作工作效率减去乙的工作效率可得到甲的工作效率； 用工作总量1除以甲的工作效率可以得到甲单独工作的时间。 【详解】 （天） （天） 即由甲单独加工这批零件，那么需要12天才能完成。 9．一批吨的货物，如果每天运走吨，那么（ ）天能运完；如果每天运走这批货物的，那么（ ）天能运完。 【答案】 6 【分析】本题关键在于区分“具体数量”与“分率”。第一问中每天运走吨，带有单位，表示具体数量，需用货物总吨数除以每天运的具体吨数，求出几天能运完；第二问中每天运走这批货物的，不带单位，表示分率，需把这批货物总量看作单位“1”，用单位“1”除以每天运走的分率。 【详解】 第一空：求具体天数，用总吨数除以每天运的吨数。 （天） 第二空：求具体天数，把这批货物看作单位“1”，用单位“1”除以每天运走的分率。 （天） 一批吨的货物，如果每天运走吨，那么6天能运完；如果每天运走这批货物的，那么天能运完。 10．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，两人合作（ ）天完成全工程的。 【答案】 【分析】把这项工程总量看作单位“1”， 根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲单独做8天完成，甲的工作效率是；乙单独做 10 天完成，乙的工作效率是。两人合作的工作效率之和是。要求完成全工程的需要多少天，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率之和”，用除以两人合作的工作效率之和即可求解。 【详解】 （天） 11．一桶油用去4千克后还剩，这桶油一共有（ ）千克。一桶油用去4千克后还剩千克，这桶油一共有（ ）千克。 【答案】 16 【分析】已知一桶油用去4千克后还剩，把这桶油的总质量看作单位“1”，用去的4千克对应的分率是（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算”，用去的质量除以对应分率，即可求出总质量。 已知一桶油用去4千克后还剩千克，用去的质量加剩下的质量，即可求出总质量。据此解答。 【详解】4÷（1－） ＝4÷ ＝4×4 ＝16（千克） 所以一桶油用去4千克后还剩，这桶油一共有16千克。 4＋＝（千克） 所以一桶油用去4千克后还剩千克，这桶油一共有千克。 12．周末，明明和妈妈一起逛人民公园，他们俩小时走了，平均每小时走（ ），平均走需要（ ）小时。 【答案】 【分析】速度＝路程÷时间，据此用÷即可解题；求平均1km需要多少小时，就用走的时间÷小时走的千米数即可，即÷，据此解题。 【详解】÷＝×6＝（km） ÷＝×＝（小时） 周末，明明和妈妈一起逛人民公园，他们俩小时走了，平均每小时走，平均走需要小时。 13．经调查，六（1）班有的同学长大后想当老师，想当科学家的同学有12名，是想当老师的人数的。这个班有（ ）名同学想当老师，全班共有（ ）名同学。 【答案】 15 45 【分析】把想当老师的人数看作单位“1”，想当科学家的人数÷＝想当老师的人数；再将全班人数看作单位“1”，想当老师的人数÷＝全班人数；据此列式解答。 【详解】12÷ ＝12× ＝15（名） 15÷ ＝15×3 ＝45（名） 所以，这个班有15名同学想当老师，全班共有45名同学。 14．两条同样长度的彩带被等分成不同份数（如图）。第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长（     ）厘米。 【答案】；；96 【分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。 第一条彩带被平均分成了8份，将这条彩带的全长看作单位“1”；第二条彩带被平均分成了3份，把它的全长当作单位“1”，都是求每份占全长的几分之几，平均分的是单位“1”，用除法解答； 由图可知：28厘米是两条彩带重合部分的长度，28厘米对应的分率是（），用28厘米除以对应的分率即可求出每条彩带的长。 【详解】1÷8＝ 1÷3＝ 28÷（） ＝28× ＝96（厘米） 第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长96厘米。 15．小飞装了一桶碎冰，如果化成水，体积会减少，如果这些水再完全结成冰，它的体积会增加（ ）。（填分数） 【答案】 【分析】冰化成水，体积减少，是将冰的体积看作单位“1”，此时水的体积是冰的体积的（1－）＝。这些水再结成冰，求它的体积会增加几分之几，是将水的体积看作单位“1”，求增加的体积占水的体积的几分之几。 【详解】设冰的体积为1。 水的体积：（1－）＝ （1－）÷ ＝÷ ＝ 如果这些水再完全结成冰，它的体积会增加。 16．六年级同学分三个组植树。甲组人数占总人数的，如果从丙组调4人到甲组，三个组的人数恰好相等。六年级共有同学（ ）人。 【答案】96 【分析】把六年级的总人数看作单位“1”，调整后三组人数相等，每组占总人数的。丙组调到甲组的4人，占总人数的（－），已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，所以，求六年级总人数列式为：4÷（－）。 【详解】4÷（－） ＝4÷（－） ＝4÷ ＝4×24 ＝96（人） 甲组人数占总人数的，如果从丙组调4人到甲组，三个组的人数恰好相等。六年级共有同学96人。 培优拔高 17．阳台山线是鲲鹏径第四段徒步路线。某处补给站海拔高度是348米，正好是大阳台山观景台海拔的，大阳台山观景台海拔多少米？ 【答案】580米 【分析】把大阳台山观景台的海拔高度看作单位“1”。已知补给站海拔高度为348米，其对应的分率是。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即已知量对应分率单位“1”的量。 【详解】＝580（米） 答：大阳台山观景台海拔580米。 18．实验小学美术组的人数是科技组的，科技组的人数比体育组少，美术组有40人。 （1）科技组有多少人？ （2）体育组有多少人？ 【答案】（1）45人； （2）54人 【分析】（1）把科技组的人数看作单位“1”，美术组的人数是科技组的，那么科技组的人数＝美术组的人数÷，即40÷； （2）把体育组的人数看作单位“1”，科技组的人数比体育组少，那么科技组的人数占体育组人数的（1－），体育组的人数＝科技组的人数÷（1－），即45÷（1－），据此解答。 【详解】（1）40÷ ＝40× ＝45（人） 答：科技组有45人。 （2）45÷（1－） ＝45÷ ＝45× ＝54（人） 答：体育组有54人。 19．为落实教育部“双减”政策，全面提升学校的素质教育，思源小学本学期开展了16个社团活动。其中黄梅挑花社团有72人，黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的，是足球社团的。足球社团有多少人？ 【答案】48人 【分析】首先根据“黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的”，把黄梅挑花社团人数看作单位“1”，用乘法求出黄梅戏社团人数；然后根据“黄梅戏社团人数是足球社团的”，把足球社团人数看作单位“1”，用除法计算足球社团人数。 【详解】 （人） 答：足球社团有48人。 20．秋高气爽，松鼠妈妈带着松鼠兄妹去捡松果。松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的。松鼠哥哥捡了多少个松果？ 【答案】24个 【分析】已知松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，把松鼠妈妈捡的松果数量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出松鼠妹妹捡的松果的数量； 已知松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的，把松鼠哥哥捡的松果数量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出松鼠哥哥捡的松果数量。 【详解】 （个） 答：松鼠哥哥捡了24个松果。 21．某超市第一天卖出面粉140千克，比第二天的多20千克，第二天卖出面粉多少千克？ 【答案】150千克 【分析】第一天卖出面粉140千克，比第二天的多20千克，已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决； 用第一天卖出的面粉的质量140千克减去20千克，再除以对应分率即可求出第二天卖出面粉多少千克。 【详解】（140－20）÷ ＝120× （千克） 答：第二天卖出面粉150千克。 22．为落实教育部“双减”政策，全面提升学校的素质教育，思源小学本学期开展了16个社团活动。其中黄梅挑花社团有72人，黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的，是足球社团的。足球社团有多少人？ 【答案】48人 【分析】首先根据“黄梅戏社团人数是黄梅挑花社团的”，把黄梅挑花社团人数看作单位“1”，用乘法求出黄梅戏社团人数；然后根据“黄梅戏社团人数是足球社团的”，把足球社团人数看作单位“1”，用除法计算足球社团人数。 【详解】 （人） 答：足球社团有48人。 23．晓东读一本课外读物，已经读了65页，还剩下没有读，这本课外读物一共有多少页？ 【答案】104页 【分析】把这本课外读物的总页数看作单位“1”，还剩下没有读，则已经读了这本书的（1－），已经读了65页，这本课外读物的总页数＝已经读的页数÷（1－），据此解答。 【详解】65÷（1－） ＝65÷ ＝65× ＝104（页） 答：这本课外读物一共有104页。 24．甲、乙两地间的公路长440千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 【答案】280千米；160千米 【分析】本题是相遇问题，货车速度是客车的，两车同时出发、相向而行，相遇时所用时间相同，因此路程比等于速度比。我们可以把客车行驶的路程看作单位“1”，货车行驶的路程就是客车的，总路程就是客车路程的，据此先求出客车行驶的路程，再求货车行驶的路程。 【详解】客车行驶的路程： （千米） 货车行驶的路程： （千米） 答：相遇时客车行驶了280千米，货车行驶了160千米。 思维拓展 25．《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米八斗，问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用所余米的纳税；过内关时，再用所余米的纳税，最后还剩下8斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【分析】根据最后剩下的8斗米是过内关后剩余的，对应过内关前余米的；过内关前的米数即为过中关后剩余的，对应过中关前余米的；过中关前的米数即为过外关后剩余的，对应原有米数的。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法从后往前逆向推导，即可求出原来背米的总斗数。 【详解】 （斗） 答：这个人原来背17.5斗米出关。 26．为缅怀革命英烈，六（1）班同学准备制作80朵纸花敬献烈士纪念碑。男生单独制作这些纸花需要6小时，女生单独制作需要5小时。如果女生先单独制作2小时后，剩下的男女生一起合作完成，还需要多长时间？ 【答案】小时 【分析】我们把制作80朵纸花的总工作量看作单位“1”。 由题意可知，男生工作效率为，女生工作效率为，女生先单独制作2小时，根据“工作效率×工作时间＝工作总量”可知完成的工作量为，剩余工作量为，剩下的由男女生合作，男女生合作的效率为，再根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”，即用剩余工作量除以合作效率，即可求出还需要的时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝（小时） 答：剩下的男女生一起合作完成，还需要小时。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $