21.2 第2课时 配方法（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过复习直接开平方法和完全平方公式，结合“周瑜年龄问题”列方程导入，搭建从直接开平方法到配方法的学习支架，帮助学生理解将方程转化为完全平方式的过程。 其特色在于以情境问题培养模型意识，通过“填一填”活动发展抽象能力，归纳配方法五步步骤（移项、配方、开方、求解、定解）强化推理能力。学生能提升运算与问题解决能力，教师可借助清晰结构实施高效教学。

21.2 一元二次方程的解法 第 2 课时 配方法 第21章 一元二次方程 九年级上册数学（华师版） 学习目标 1. 理解配方法的概念； 2. 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题； (重点） 3. 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. （难点） (1) 9x2 = 1； (2) (x－2)2 = 2. 1. 用直接开平方法解下列方程： 2. 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a − b 解： 解： 复习回顾 读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为 x，则十位数字为 x - 3. x2 - 11x + 30 = 0 x2 = 10(x - 3) + x 情境导入 用配方法解一元二次方程 1 例1 解方程：x² + 2x = 5. 思考 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化 ( )2＝a 的形式. 那么，怎么实现呢？ 将方程左边因式分解，得到完全平方式 用直接开平方法解方程 探究新知 例1 解方程：x² + 2x = 5. 解 原方程两边都加上1，得 x² + 2x + 1 = 6， 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 x + 1 = ±. 所以 x = -1±， 即 x1 = -1+，x2 = -1 - 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2 + 4x + = ( x + )2； （2）x2 − 6x + = ( x − )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； （4） x2 − x + = ( x − )2. 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 填一填 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. 这里的解法，是通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 知识要点 填一填： x2 + px + ( )2 = ( x + )2. 例 1 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x + 1 = 0； (2) 4x2 - 12x - 1 = 0. 典例精析 解：(1) 原方程可化为 x2 – 4x = – 1. 配方（两边同时加上 4），得 x2 – 2·x·2 + 22 = – 1 + 22 ， 即 (x – 2)2 = 3. 直接开平方，得 所以 (2) 移项，得 4x2 – 12x = 1. 两边同时除以 4，得 配方，得 即 直接开平方，得 所以 (2) 4x2 - 12x - 1 = 0. 用配方法解一元二次方程的步骤： 移项：把常数项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方：根据平方根意义,方程两边开平方； 求解：解一元一次方程； 定解：写出原方程的解. 归纳总结 1. 解下列方程： (1) x2 + 8x + 4 = 0； (2) 4x2 + 8x = -4； 解：移项，得 x2 + 8x =－4. 配方，得 (x + 4)2 = 12. 开平方，得 解得 解：整理，得 x2 + 2x + 1 = 0. 配方，得 (x + 1)2 = 0. 开平方，得 x + 1 = 0. 解得 x1 = x2 = −1. 练一练 (3) -2x2 + 6x - 8 = 0. 解：整理，得 x2 − 3x = −4. 配方，得 所以原方程无实数根. ①当 p > 0 时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 ②当 p = 0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n)2 = p. （Ⅱ） 方法总结 题（2）中，注意到 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成 (2x)2 – 2 · 2x · 3 = 1， 可以怎样配方？试一试，并完成解答. (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 1 + 32 (2x – 3)2 = 10 思考 用配方法解方程： x2 + px + q = 0 (p2 – 4q≥0). 所以 解：配方，得 即 直接开平方，得 试一试 (1) x2＋12x = －9； (2) －x2＋4x－3 = 0 1. 用配方法解下列方程： 解：(1) 两边同时加上 36，得 x2＋12x＋36 = －9＋36， 配方得 (x＋6)2 = 27，解得 (2)原方程可变形为 x2－4x＋3 = 0， 配方得 (x－1)(x－3) = 0，解得 x1 = 1，x2 = 3. 当堂练习 2. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等， 求 x 的值. 解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. 3. 用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－3k＋5 的值必定大于零. 解： k2－3k＋5 = (k－ )2＋ ， ∵ (k－ )2≥0， ∴ k2－3k＋5＞0. 1.一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2.像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. 注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 当堂小结 用配方法解一元二次方程的步骤： 移项：把常数项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方：根据平方根意义,方程两边开平方； 求解：解一元一次方程； 定解：写出原方程的解. $