21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，涵盖形如x²=p(p≥0)和(mx+n)²=p(p≥0)的解法。通过“油漆刷正方体盒子”的情景导入，引导学生设未知数列方程，从实际问题抽象出方程特点，再经试一试、概括等环节构建解法，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境激发探究欲，通过自主探究“x²=4”和合作探究“(x-1)²=9”等范例，引导学生经历观察、抽象、推理过程，体现数学眼光和数学思维。总结归纳中对p的分类及解法步骤梳理，培养符号意识与应用意识，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 直接开平方法 1 情景导入 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 你能根据上述题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？ 知识模块一　用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0) 的一元二次方程 自学互研 （1）x2 = 4； （2）x2 – 1 = 0. 你是怎样解得？ 试一试 解下列方程： 概括 对于题（1），有这样的解法： 方程 x2 = 4 ， 意味着 x 是 4 的平方根，所以 即 x =±2. x= ± ， 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2 ，x2 = – 2. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 思考 方程x2 – 1 = 0能否用直接开平方法来解?要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式? 自 探 主 究 解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程的具体方法和过程是什么？ 解：直接开平方法：去掉指数2，另一边加上±即可，最后分写结果． 合 探 作 究 范例：解下列方程： (1)x2－100＝0；　 　(2)4y2＝9. 解：(1)移项，得 x2＝100. 直接开平方，得 x＝±10. 即 x1＝10，x2＝－10. (2)方程两边都除以4，得 y2＝ . 直接开平方，得 y＝±. 即 y 1＝， y 2＝－. 总结归纳 当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．一般地，对于x2＝p，当p＞0时，x1＝，x2＝－；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根． 仿例：解方程：(1)x2－12＝0；(2)2x2－18＝0. 解：(1)移项，得x2＝12. (2)移项，得2x2＝18. 直接开平方，得x＝±， 即x1＝－，x2＝. 方程两边都除以2，得x2＝9. 直接开平方，得x＝±， 即x1＝－3，x2＝3. 知识模块二　用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程 自学互研 如何解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的一元二次方程． 解：解法步骤是： (1)去掉指数2，另一边加上±； (2)分开书写方程； (3)解方程得最终结果． 例1 解下列方程： （1）x2 – 2 = 0； （2）16x2 – 25 = 0 （1）移项，得 解： x =± . x1 = ，x2 = – . 直接开平方，得 即 x2 = 2. （2）移项，得 （2）16x2 – 25 = 0 16x2 = 25. 方程两边都除以16，得 直接开平方，得 即 x2 = . x=± . x1 =，x2 = – . 合 探 作 究 范例：解方程：(1)2(x－1)2＝18；　　 (2)(2x＋3)2－25＝0. 解：(1)方程两边都除以2，得(x－1)2＝9. 直接开平方，得x－1＝±3， 即x1＝4，x2＝－2. (2)移项，得(2x＋3)2＝25. 直接开平方，得2x＋3＝±5， 即x1＝1，x2＝－4. 范例：解方程：(1)2(x－1)2＝18；　　 (2)(2x＋3)2－25＝0. 仿例：解方程：(1)(3x－1)2＝4(2x＋3)2；　　 (2)(3x－4)2＝(4x－3)2. 解：(1)直接开平方，得3x－1＝±2(2x＋3)， 则3x－1＝4x＋6或3x－1＝－4x－6， 即x1＝－7，x2＝－. (2)直接开平方，得3x－4＝±(4x－3)， 仿例：解方程：(1)(3x－1)2＝4(2x＋3)2；　　 (2)(3x－4)2＝(4x－3)2. 则3x－4＝－(4x－3)或3x－4＝4x－3， 即x1＝1，x2＝－1. 课堂小结 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 直接开平方法解法步骤是： (1)去掉指数2，另一边加上±； (2)分开书写方程； (3)解方程得最终结果． 随堂练习 用直接开平方法解下列方程： (1) x2= 169; (2)45 -x2 =0; (3) 12y2 -25 =0; 解： (1)直接开平方，得x =±， 即x1＝，x2＝－. 直接开平方，得x =± = ±， 即x1＝，x2＝－. (2)移项，得x2 =45 ， 直接开平方，得y =± = ±， 即y1＝，y2＝－. (3)先移项，再把系数化为 1，得y2 = ， $