10.1.1.平方根-（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方根”核心知识点，通过“正方形面积求边长”的实际问题导入，结合填表活动引导学生从平方运算过渡到开方运算，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解平方根与算术平方根的概念及关系。 其特色在于融合数学眼光、思维与语言，如通过《登鹳雀楼》观测距离问题让学生用数学眼光发现现实中的数量关系，课堂练习中方程求解和平方根性质应用培养运算能力与推理意识，符号表示及模型构建强化数学语言表达。学生能在情境中深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 10.1.1.平方根 第10章 数的开方 华东师大版八上10.1.1平方根同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列各数中，没有平方根的是（） A. 0 B. $$(-3)^2$$ C. $$-4$$ D. $$\frac{1}{9}$$ 2. 16 的算术平方根是（） A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2 3. 若$$\sqrt{x}=5$$，则$$x$$的值为（） A. 5 B. 25 C. ±25 D. 10 4. 一个正数的两个平方根分别是$$a+2$$和$$2a-5$$，则$$a$$的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列说法正确的是（） A. 任何数的平方根都有两个 B. 负数的算术平方根是负数 C. $$\sqrt{16}=±4$$ D. 0 的平方根是 0 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 49 的平方根是\\\\\\\\，算术平方根是\\\\\\\\。 2. $$\sqrt{81}=$$，$$\sqrt{0.25}=$$。 3. 若$$\sqrt{a-3}$$有意义，则$$a$$的取值范围是\\\\\\\\。 4. 平方根等于它本身的数是\\\\\\\\，算术平方根等于它本身的数是\\\\\\\\。 5. $$(-7)^2$$的算术平方根是\\\\\\\\。 6. 已知$$x$$的一个平方根是$$-6$$，则$$x=$$\\\\\\\\。 三、计算题（每题 6 分，共 36 分） 1. 求下列各数的平方根： （1）121 （2）0.09 （3）$$\frac{36}{49}$$ 2. 求下列各式的值： （1）$$\sqrt{144}$$ （2）$$-\sqrt{100}$$ （3）$$\sqrt{(-11)^2}$$ 四、解答题（共 20 分） 1. 已知正数$$m$$的两个平方根为$$2x-3$$和$$5-x$$，求$$x$$和$$m$$的值。（10 分） 2. 若$$\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}=0$$，求$$x+y$$的算术平方根。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 二、填空题 1.$$±7$$，$$7$$ 2.$$9$$，$$0.5$$ 3.$$a≥3$$ 4.$$0$$；$$0$$和$$1$$ 5.$$7$$ 6.$$36$$ 三、计算题 1.（1）$$±11$$ （2）$$±0.3$$ （3）$$±\frac{6}{7}$$ 2.（1）12 （2）-10 （3）11 四、解答题 1. 解：正数两平方根互为相反数 $$2x-3+5-x=0$$，$$x+2=0$$，$$x=-2$$ 平方根：$$2×(-2)-3=-7$$，$$m=(-7)^2=49$$ 答：$$x=-2$$，$$m=49$$。 2. 解：算术平方根非负，和为 0 则各自为 0 $$x-2=0，x=2$$；$$y+3=0，y=-3$$ $$x+y=2-3=-1$$，负数无算术平方根。 练习题拓展讲解（约 400 字） 本节平方根核心分为平方根与算术平方根两个概念，是实数章节基础。平方根定义：若$$x^2=a$$，则$$x$$叫$$a$$的平方根。正数有一正一负两个平方根，互为相反数；0 仅有一个平方根 0；负数不存在平方根，这是选择题高频考点。算术平方根特指正数的正平方根，符号$$\sqrt{a}$$结果永远非负，做题时要区分$$\sqrt{a}$$与$$±\sqrt{a}$$。 常考两类题型：一是根据平方根互为相反数列方程，如第四道解答题，利用相加为 0 建立等式求解未知数；二是二次根式有意义条件，被开方数必须大于等于 0，对应填空题第三题。双重非负性也是重难点，$$\sqrt{a}≥0$$、$$a≥0$$，两个算术平方根相加等于 0 时，两个被开方数都只能是 0。 计算时注意易错点：$$\sqrt{(-7)^2}$$不等于 - 7，先算平方得 49，再取算术平方根为 7；容易混淆$$\sqrt{16}=4$$，不是 ±4，±4 才是 16 的平方根。练习时牢记概念区分，先判断被开方数正负，再计算平方根或算术平方根，减少符号类失分。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根. 会求某些数的平方根、算术平方根. 会用计算器求一个非负数的算术平方根. 02 新知导入 思考：要剪出一张面积为 25cm2的正方形纸片， 正方形的边长应是多少？ 25cm2 02 新知导入 填一填：若正方形的面积如下，请把下表填写完整： 正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36 正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 通过填表，你能求出正方形的边长吗？ 问题实质上就是要求一个数， 这个数的平方等于25，所以正方形的边长是5cm. 03 新知探究 探究 平方根的定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 在前面的问题中，因为52=25，所以 5是25的一个平方根. 又因为(-5)2=25，所以-5也是25的一个平方根. 25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25? 这就是说，5和-5都是25的平方根. 03 新知探究 根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根. 解：因为102=100，(-10)2=100， 除了10和-10以外，任何数的平方都 不等于100，所以100的平方根是10和-10. 也可以说，100的平方根是±10. 求100的平方根. 例1 144的平方根是什么? 144的平方根是±12. 想一想：正数有几个平方根？ 知识要点 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个. 正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”;另一个平方根是它的相反数，即 . 因此，正数 a的平方根可以记作“ ”，其中a称为被开方数. 拓展提高 1.已知一个数的平方根是±9，这个数是多少? 2.已知一个数的算术平方根是0.7，这个数是多少? 因为92=81，(-9)2=81，所以这个数是81. 因为0.72=0.49，所以这个数是0.49. 3.若a+1和2a-7是一个正数的两个平方根，求a的值。 因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以a+1+2a-7=0， 解得a=2. 03 新知探究 探究 0和负数的平方根 【想一想】0的平方根是什么? 由于0的平方等于 0，其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个（就是0），也叫做0的算术平方根. 记作 ，即 = 0. 03 新知探究 探究 0和负数的平方根 【想一想】-4有没有平方根? 为什么? 所以，负数没有平方根. -4没有平方根，因为任何一个数的平方都不可能是负数. 03 新知探究 【总结归纳】 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2. 0的平方根还是0. 3. 负数没有平方根. 拓展提高 【想一想】若 有意义，x需要满足什么条件? 即：x-1≥0，解得x≥1 因为负数没有平方根，所以被开方数必须为非负数， 03 新知探究 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. 在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有 ，然后得知100 的平方根是 . 探究 什么是开平方？ 将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根. 03 新知讲解 将下列各数开平方： （1）49； （2） 例2 解 ：（1） 因为72 =49， 所以 因此49的平方根为 仿照小题(1)的解答过程，你能写出小题(2)的解答过程吗？ 03 新知讲解 将下列各数开平方： （1）49； （2） 例2 仿照小题(1)的解答过程，你能写出小题(2)的解答过程吗？ 03 新知探究 探究 用计算器求正数的算术平方根 在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的.通常可用计算器直接求出一个正数的算术平方根(有时得到的是近似值). 03 新知讲解 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529； （2） 44.81(精确到0.01) 例3 解 ：（1）本小题的按键顺序是 显示结果为23，所以529的算术平方根为 03 新知讲解 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529； （2） 44.81(精确到0.01) 例3 显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为 解 ：（2）本小题的按键顺序是 课堂练习 1．下面各数有平方根吗，如果有，请写出它们的平方根，算术平方根；如果没有，则说明理由。 ①6400 ② 0.25 ③ ④7 解：①有，因为802=6400，所以6400的平方根式±80，算术平方根是80； 基础巩固题 ②有，因为0.52=0.25，所以0.25的平方根式±0.5，算术平方根是0.5； ③有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 ④有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 正数的平方根有2个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 随堂练习 课堂练习 2．下列说法正确的是（ ） A .表示25的算术平方根 B .-表示2的算术平方根 C .2的算术平方根记作 D .2是的算术平方根 基础巩固题 解：对于A选项，表示25的算术平方根，所以A选项正确； 对于B选项，表示2的算术平方根，所以B选项错误； 对于C选项，2的算术平方根记作，所以C选项错误； 对于D选项，是2的算术平方根，所以D选项错误。 正数的平方根有2个，正的那个平方根叫做算术平方根 随堂练习 课堂练习 3．若一个正数有两个不同的平方根是5x+12和8-x，则这个正数为 。 基础巩固题 解：根据题意知：5x+12+8-x=0，解得x=-5 ∴故平方根为8-(-5)=13，这个正数为132=169 169 本题的解题关键在于：已知一个正数有2个平方根，它们互为相反数，即a+b=0 随堂练习 课堂练习 4．已知3a+3的平方根为±3，a+2b的算术平方根为4 （1）求a、b的值 （2）求b-3a的平方根 基础巩固题 解：（1）∵3a+3的平方根为±3，∴3a+3=9，∴a=2 ∵a+2b的算术平方根为4，∴a+2b=16，∴b=7 （2）∵a=2，b=7，∴b-3a=7-6=1，∴b-3a的平方根是±1 已知一个数平方根求这个数，直接讲平方根平方即可。需注意一个正数的平方根有2个，不要漏写。 随堂练习 课堂练习 5．解方程 （1）x2-6=0 （2）2(x-3)2=50 基础巩固题 解：（1）∵x2-6=0，∴x2=6，∴ （2）∵2(x-3)2=50，∴(x-3)2=25，∴x-3=±5， 当x-3=5时，x=8，当x-3=-5时，x=-2 步骤：①先化简成标准形式，②两边同时开方得 随堂练习 课堂练习 6．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为hkm，则观测者能看到的最远距离（其中R≈6400km）已知小明站在鹳雀楼下，此时h=0.005km，d=d1． 解：能，理由：∵ ∴小明能看到距离鹳雀楼1.2km处的黄河 （1）小明能看到距离鹳雀楼1.2km处的黄河吗？说明理由； 随堂练习 课堂练习 6．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为hkm，则观测者能看到的最远距离（其中R≈6400km）已知小明站在鹳雀楼下，此时h=0.005km，d=d1． 解：由题意， ∴d2-d1=16-8=8km 答：d2-d1的长为8km （2）当小明站在鹳雀楼上时，此时h≈0.02km，d=d2 求d2-d1 随堂练习 1. ［2025成都双流区期中］ 的算术平方根是( ) A. 4 B. C. 2 D. 2. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 √ √ 返回 中考考法 27 3. 用计算器求 的值，按键顺序为( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 28 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【点拨】A. ，故本选项运算错误，不 符合题意；B. ，故本选项运算错误，不符 合题意；C. ，故本选项运算正确，符合题意；D. ，故本选项运算错误，不符合题意. √ 返回 中考考法 29 5. 和 是一个正数的两个平方根，则这个正数 为( ) A. 4 B. 64 C. 4或8 D. 4或64 【点拨】和 是一个正数的两个平方根， ，解得 . ， 这个正数是64. √ 中考考法 30 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它 们的和为零. 返回 中考考法 31 6. 如图，，，均为正方形，若 的面积 为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________. （写出一个即可） 2（答案不唯一） 返回 中考考法 32 7.已知的算术平方根是3，， 满足 . （1）求，， 的值； 【解】的算术平方根是3， ， ，满足 ， ，， . 中考考法 33 （2）求 的平方根. 由（1）可知，， ， ， 的平方根 是 . 返回 中考考法 8. 若与 的和是单项式，则 的平方根为( ) A. 4 B. 8 C. D. 9. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算 微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量 可以用公式 表示，当，时，该微观粒子的能量 的值在( ) A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 √ √ 返回 中考考法 35 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 2.一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数，正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根. 3.0的平方根就是0本身；负数没有平方根. 4. 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. $