专题10.1 平方根和立方根（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦平方根、算术平方根、立方根核心知识点，系统梳理概念定义、性质特征、开平方与开立方运算，通过对比表格明晰区别联系，构建从基础概念到方程求解、参数应用的学习支架。 资料亮点在于分层细化8个知识点，即学即练结合10类题型，对比表格培养抽象能力，解方程与参数问题提升运算能力和推理意识，实际应用题型（如体积计算）强化应用意识，课中辅助系统授课，课后助力查漏补缺。

专题10.1 平方根和立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号正确表示数的平方根、算术平方根与立方根。 2.掌握平方根、立方根的性质，能熟练求非负数的平方根和任意实数的立方根。 3.了解开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，会用逆运算检验开方结果。 4.能运用平方根、立方根的性质解决参数求值、实际应用等问题。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念与性质 （2）求非负数的平方根、算术平方根，求任意数的立方根 （3）利用平方根、立方根的定义解方程 2.难点 （1）平方根与算术平方根的区别与联系 （2）算术平方根双重非负性的应用 （3）平方根、立方根性质的综合辨析与应用 知识点01：平方根的概念与性质 1.定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，即若，则是的平方根。 2.表示方法：正数的平方根记作，读作“正、负根号”；0的平方根记为0。 3.性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根只有一个，是0本身； （3）负数没有平方根。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 2．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：算术平方根 1.定义：正数的正的平方根叫作的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.表示方法：记作（），读作“根号”。 3.双重非负性：被开方数，算术平方根的结果。 4.特殊结论：算术平方根等于它本身的数是0和1。 【即学即练】 1．的算术平方根是__________． 2．若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 知识点03：平方根与算术平方根的区别与联系 类别 平方根 算术平方根 定义 若，则是的平方根 正数的正的平方根，叫作的算术平方根 个数 正数有两个，互为相反数 正数只有一个，为正数 表示方法 （） （） 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；0的平方根与算术平方根都是0 【即学即练】 1．若 ，则_____________． 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 知识点04：开平方 1.定义：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方。 2.运算关系：平方运算与开平方运算互为逆运算，可用平方运算检验开平方的结果。 3.注意：开平方的被开方数必须是非负数。 【即学即练】 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 知识点05：立方根的概念与性质 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根，即若，则是的立方根。 2.表示方法：记作，读作“三次根号”，根指数3不能省略。 3.性质： （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； （2）任意实数都有且只有一个立方根； （3）立方根等于它本身的数是、0、1。 4.拓展公式：，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 【即学即练】 1．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 2．下列说法中正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 知识点06：开立方 1.定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 2.运算关系：立方运算与开立方运算互为逆运算。 3.核心公式：，。 【即学即练】 1．计算：（     ） A． B．2 C． D．4 2．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 知识点07：平方根与立方根的对比 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数 结果个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都只有1个 符号特征 非负 与被开方数符号一致 根指数 2，通常省略不写 3，不能省略 【即学即练】 1．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 2．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 知识点08：开方运算的小数点移动规律 1.平方根：被开方数的小数点每向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动位。 2.立方根：被开方数的小数点每向左（或向右）移动位，立方根的小数点相应向左（或向右）移动位。 【即学即练】 1．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 2．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 题型01求具体数的平方根与算术平方根 根据定义找出平方后等于该数的数；正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根取正的结果。 【典例1】. 的平方根为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】. 化简：________． 【变式3】. 有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 题型02求具体数的立方根 根据立方根定义找出立方后等于该数的数；立方根的符号与被开方数的符号保持一致。 【典例2】. 的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 【变式2】. 计算：______． 【变式3】. 下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03利用平方根的定义解方程 将方程整理为的形式，再开平方求解，注意解有两个且互为相反数。 【典例3】. 求下列各式中x的值． ； 【变式1】. 方程的解是_______． 【变式2】. 解方程： (1)； (2)． 【变式3】. 求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型04利用立方根的定义解方程 方法技巧：将方程整理为的形式，再开立方求解，方程只有一个解。 【典例4】. 求的值： (1)； (2)． 【变式1】. 求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式2】. 求x： (1) (2) 【变式3】. 求出下列等式中x的值： (1) (2) 题型05利用平方根的性质求参数 正数的两个平方根互为相反数，和为0；若表述为“某数的平方根”，需考虑相等和互为相反数两种情况。 【典例5】. 若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【变式1】. 已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 【变式2】. 已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【变式3】. 已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 题型06算术平方根双重非负性的应用 平方、绝对值、算术平方根均为非负数，若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求解。 【典例6】. 已知：，则____________． 【变式1】. 已知，则的值是__________． 【变式2】. 已知，且，则的值为_________． 【变式3】. 若式子有意义，则____________． 题型07开方运算小数点移动规律应用 熟记平方根“两位移一位”、立方根“三位移一位”的规律，准确判断小数点移动的方向与位数。 【典例7】. 已知，，则_______． 【变式1】. 利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【变式2】. 已知，，则____________． 【变式3】. 阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 题型08算术平方根的估算 用夹逼法确定算术平方根在哪两个连续整数之间，判断其取值范围。 【典例8】. 估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【变式1】. 已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】. 已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 题型09算术平方根的整数与小数部分求值 用夹逼法确定整数部分；小数部分=原数-整数部分，再代入代数式计算。 【典例9】. 已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：________，________，________； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【变式1】. 已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【变式2】. 已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的值． 【变式3】. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 题型10开方运算的实际应用 结合几何、物理等实际场景，建立平方或立方的等量关系，通过开方运算求解实际量。 【典例10】. 某金属冶炼厂将5个大小相同的正方体钢块在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢块的棱长．（不计损耗） 【变式1】. 小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【变式2】. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【变式3】. 根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 一、单选题 1．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 3．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 4．计算 （1）___________； （2）___________； （3）___________． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 6．四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 三、解答题 7．求的值： (1)； (2) 8．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 9．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 1．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 2．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 3．若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 4．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 5．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 平方根和立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号正确表示数的平方根、算术平方根与立方根。 2.掌握平方根、立方根的性质，能熟练求非负数的平方根和任意实数的立方根。 3.了解开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，会用逆运算检验开方结果。 4.能运用平方根、立方根的性质解决参数求值、实际应用等问题。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念与性质 （2）求非负数的平方根、算术平方根，求任意数的立方根 （3）利用平方根、立方根的定义解方程 2.难点 （1）平方根与算术平方根的区别与联系 （2）算术平方根双重非负性的应用 （3）平方根、立方根性质的综合辨析与应用 知识点01：平方根的概念与性质 1.定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，即若，则是的平方根。 2.表示方法：正数的平方根记作，读作“正、负根号”；0的平方根记为0。 3.性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根只有一个，是0本身； （3）负数没有平方根。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫作a的平方根，即，那么x叫作a的平方根，记作，0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据平方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们互为相反数，故错误； B、100的平方根是，故错误； C、∵， ∴是100的一个平方根，正确； D、没有平方根，故此选项错误； 故选：C． 2．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 知识点02：算术平方根 1.定义：正数的正的平方根叫作的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.表示方法：记作（），读作“根号”。 3.双重非负性：被开方数，算术平方根的结果。 4.特殊结论：算术平方根等于它本身的数是0和1。 【即学即练】 1．的算术平方根是__________． 【答案】/ 【详解】解：， ∴ 2．若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ，，且， ，， 解得： ，， ． 知识点03：平方根与算术平方根的区别与联系 类别 平方根 算术平方根 定义 若，则是的平方根 正数的正的平方根，叫作的算术平方根 个数 正数有两个，互为相反数 正数只有一个，为正数 表示方法 （） （） 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；0的平方根与算术平方根都是0 【即学即练】 1．若 ，则_____________． 【答案】 或 【分析】先根据平方运算求出的所有可能值，再根据立方根的定义求出的值，最后分情况计算的结果即可. 【详解】解：由，得或 由， 两边同时立方得 当时，； 当时，． 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 知识点04：开平方 1.定义：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方。 2.运算关系：平方运算与开平方运算互为逆运算，可用平方运算检验开平方的结果。 3.注意：开平方的被开方数必须是非负数。 【即学即练】 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 2．若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，据此建立关于的方程，求解后再计算的值． 【详解】解：与是同一个正数的两个不同的平方根， ， 去括号，合并同类项得， 解得， ． 知识点05：立方根的概念与性质 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根，即若，则是的立方根。 2.表示方法：记作，读作“三次根号”，根指数3不能省略。 3.性质： （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； （2）任意实数都有且只有一个立方根； （3）立方根等于它本身的数是、0、1。 4.拓展公式：，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 【即学即练】 1．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．下列说法中正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据的立方根是，的立方根是，的立方根是，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； B、1的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； C、的立方根是，原说法正确，故该选项符合题意； D、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 知识点06：开立方 1.定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 2.运算关系：立方运算与开立方运算互为逆运算。 3.核心公式：，。 【即学即练】 1．计算：（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据立方根的定义可得． 2．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 知识点07：平方根与立方根的对比 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数 结果个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都只有1个 符号特征 非负 与被开方数符号一致 根指数 2，通常省略不写 3，不能省略 【即学即练】 1．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 2．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 知识点08：开方运算的小数点移动规律 1.平方根：被开方数的小数点每向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动位。 2.立方根：被开方数的小数点每向左（或向右）移动位，立方根的小数点相应向左（或向右）移动位。 【即学即练】 1．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 2．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 题型01求具体数的平方根与算术平方根 根据定义找出平方后等于该数的数；正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根取正的结果。 【典例1】. 的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要与算术平方根混淆． 【详解】解： ， 的平方根为 ． 【变式1】. 的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】的平方根是． 【变式2】. 化简：________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再求出结果即可． 【详解】解：． 【变式3】. 有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫作的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 题型02求具体数的立方根 根据立方根定义找出立方后等于该数的数；立方根的符号与被开方数的符号保持一致。 【典例2】. 的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义：若，则是的立方根，计算出结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是． 【变式1】. 的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 【答案】B 【详解】 的立方根是． 【变式2】. 计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】. 下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：① 算术平方根为非负数，的算术平方根是，不是， ①错误； ② ，的平方根是，不是只有， ②错误； ③ ，的算术平方根是，不是， ③错误； ④ ，的算术平方根是， ④正确； ⑤ 正数的立方根是唯一正数，的立方根是，不是， ⑤错误； 综上，正确的说法只有个. 题型03利用平方根的定义解方程 将方程整理为的形式，再开平方求解，注意解有两个且互为相反数。 【典例3】. 求下列各式中x的值． ； 【答案】或 【分析】首先将原方程整理为，根据平方根的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴或． 【变式1】. 方程的解是_______． 【答案】 【详解】解： 解得． 【变式2】. 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 【变式3】. 求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 题型04利用立方根的定义解方程 方法技巧：将方程整理为的形式，再开立方求解，方程只有一个解。 【典例4】. 求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 【变式1】. 求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， 即，． 【变式2】. 求x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3】. 求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项变形，将方程整理为，再开立方求解． 【详解】（1）解：， ， 故或， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 题型05利用平方根的性质求参数 正数的两个平方根互为相反数，和为0；若表述为“某数的平方根”，需考虑相等和互为相反数两种情况。 【典例5】. 若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【答案】 ， 【分析】根据平方根的概念列出方程，然后解方程求出的值，然后把的值代入即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴. 【变式1】. 已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，算术平方根的定义列式求解即可． 【详解】解：某正数的两个不同平方根分别是和， 故， 解得； 的算术平方根为1， ， 解得． 故． 【变式2】. 已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 【变式3】. 已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 题型06算术平方根双重非负性的应用 平方、绝对值、算术平方根均为非负数，若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求解。 【典例6】. 已知：，则____________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 【变式1】. 已知，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 【变式2】. 已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 【变式3】. 若式子有意义，则____________． 【答案】 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴． 题型07开方运算小数点移动规律应用 熟记平方根“两位移一位”、立方根“三位移一位”的规律，准确判断小数点移动的方向与位数。 【典例7】. 已知，，则_______． 【答案】 【分析】被开方数a 的小数点向右（或向左）每移动两位时，的小数点向右（或向左）移动1位， 根据此规律，解答即可； 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】. 利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 【变式2】. 已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 【变式3】. 阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 题型08算术平方根的估算 用夹逼法确定算术平方根在哪两个连续整数之间，判断其取值范围。 【典例8】. 估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 【变式1】. 已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 【变式2】. 若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 【变式3】. 已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 题型09算术平方根的整数与小数部分求值 用夹逼法确定整数部分；小数部分=原数-整数部分，再代入代数式计算。 【典例9】. 已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：________，________，________； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，平方根，算术平方根的定义，进行解答，即可； （2）由（1）求出，，根据平方根的定义，即可； （3）根据无理数的估算方法估算出的取值范围，进而确定、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：； ∵的立方根是， ∴， ∴， 解得：； ∵是的算术平方根， ∴． （2）解：由（1）可得：，； ∴， ∴的平方根为． （3）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∴，， ∴． 【变式1】. 已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 【变式2】. 已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题主要考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． （1）直接利用平方根，立方根，以及估算无理数的大小求出a，b，c即可； （2）把a，b，c的值代入即可求解． 【详解】（1）解：是的平方根， ， ， ， 是的立方根， ， ， ， ，而c是的整数部分， ， ，，； （2）解：当，，时， ， 【变式3】. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)的算术平方根是 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，平方根，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义，无理数估算大小的方法即可得出a、b、c的值； （2）根据（1）中a、b、c的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴，，； （2）解：当，，时， ， ∴的算术平方根是． 题型10开方运算的实际应用 结合几何、物理等实际场景，建立平方或立方的等量关系，通过开方运算求解实际量。 【典例10】. 某金属冶炼厂将5个大小相同的正方体钢块在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢块的棱长．（不计损耗） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，长方体的体积等于5个正方体的体积之和，据此求出一个正方体的体积，进而根据正方体体积计算公式求出对应的棱长即可． 【详解】解：， ， 答：原来每个正方体钢块的棱长为． 【变式1】. 小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 【变式2】. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要运用长方形面积公式求解长和宽，再通过比较正方形贺卡面积与以信封宽为边的正方形面积大小判断能否放入，用到长方形面积公式，数的大小比较，平方根等知识点，掌握平方根和长方形面积公式是解题的关键． （1）设长方形信封的长为，则宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）已知正方形贺卡的面积为，长方形信封的宽为，以长方形信封的宽为边的正方形面积为，比较144与150的大小，即可判断能否放入． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，则宽为， ， ， ， ， ， ， 故长方形信封的长为，宽为． （2）解：不能，理由如下： 正方形贺卡的面积为，长方形信封的宽为， 以长方形信封的宽为边的正方形面积为， ， 放不进去，故不能． 【变式3】. 根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 一、单选题 1．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：选项A：，和只有符号不同，与互为相反数，符合要求； 选项B：，两数相等，不互为相反数，不符合要求； 选项C：与符号相同，不互为相反数，不符合要求； 选项D：，，两数相等，不互为相反数，不符合要求． 2．下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，根据定义计算每个选项，即可找出错误的式子. 【详解】解： 表示的算术平方根，结果为非负数，，本选项错误； ，，本选项正确； ，，本选项正确； ，，本选项正确； 3．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 二、填空题 4．计算 （1）___________； （2）___________； （3）___________． 【答案】 / 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】7 【分析】根据正数平方根的性质列出方程．一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由平方根的性质，得 ， 化简得， 解得． 6．四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】先根据四个正方体体积之和求出单个正方体的体积，再结合正方体体积公式计算得到棱长． 【详解】解：设每个正方体的棱长为， 根据题意列方程得： 系数化为得： 对等式两边开立方得： 棱长为正数，符合实际意义， 故每个正方体的棱长是． 三、解答题 7．求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 8．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 把代入得， 解得； （2）解：把，代入得：， 的算术平方根是， 的算术平方根为． 9．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 1．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码， ∴数对应的密码为， ∵数对应的密码约为， ∴， ∴． 2．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再计算的值，进而求出的立方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的立方根为． 3．若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 【答案】11 【分析】根据，得到，进而得到，列方程组，计算得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①②得， 由③得，代入得 ， ∴， 将代入②，得， 整理得， 将④代入⑤得， 解得， ∴ 4．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 【答案】(1)B (2) 和 (3) 【分析】（1）根据的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出和，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到和的值． 【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； （2）解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； （3）解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 5．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $