3.3 探索与表达规律培优课时卷-2025-2026学年北师大版数学七年级上册

3.3 探索与表达规律培优课时卷-北师大版数学七年级上册 一、选择题 1．已知正六边形ABCDEF (每条边都相等)在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E 所对应的数为0.连续翻转2000次后，在数轴上1998这个数对应(　　) A．点A B．点D C．点E D．点F 2．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如： 11，43=13+15+17+19，…。若m3分裂后，其中有一个奇数是2 025，则m 的值是 （　　) A．44 B．45 C．46 D．47 3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（　　） A． B． C．510 D．512 4．如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，依此类推，经过n次移动后该点到原点的距离为50个单位长度，则符合条件的n的和为（　　） A．205 B．202 C．199 D．196 5．已知，依此类推，则等于（　　）． A． B． C． D．3 6．如图，点O在直线AB上，点，，，…，在射线OA上，点，，，…在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，则动点M到达点处所需时间为（　　）秒． A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π 7．如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（　　） 上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：． A．1 B． C． D． 8．如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（　　） A．9801 B．10000 C．10201 D．10500 二、填空题 9． x，y，z都是有理数，且xyz<0，x+y+z>0.若 ），则 　 　. 10．十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，……，按照这个规律，在第　 　层第　 　个数（从左往右数）． 11．在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）． 12．已知n个数x1，x2，…， xn，每个数只能取0，1，-1中的一个.若 则 的值为　 　. 13． 如图，定义一种对正整数n的 “” 运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）。 两种运算交替重复进行。例如，取，则有如图所示的运算： 若5，则第2025次“” 运算的结果是　 　． 三、解答题 14． 研究下列式子，你能发现什么规律？ 第1个式子：；第2个式子：；第3个式子：；… （1）第4个式子是　 　； （2）请用含为正整数的式子表示你发现的规律； （3）请用你所发现的规律进行计算：. 15．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． （2）结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． （3）通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式　 　． 16．设一列数，，，…，中，对于，均有（s是常数），已知，，，． （1）直接写出下列数中相等的数：，，，，，，，，． （2）求出s和t的值． （3）计算： 17．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去…… （1）试利用图形揭示的规律计算：＝ ▲ ． 并使用代数方法证明你的结论． （2）请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形． 18．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的结论是，（n是正整数）． 现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式，并且填空： ， ， ， ① ▲ ，… 将前两个等式的两边相加，可以得到． 将三个等式的两边相加，可以得． 根据以上知识完成填空： ②计算： ▲ ； ③计算： ▲ ； ④计算： ▲ ； ⑤依据上面的材料，试计算：； ⑥猜想： ▲ ． 19．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n 和为S 1 2 3 4 5 （1）若时，求S的值； （2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式：； （3）根据上题的规律计算：的值． 20．在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“258”翻译成明文为“CZ”． （1）明文“A”对应的密文为“　 　”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“　 　”； （2）为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． 密文I： 1 2 3 4 … 密文Ⅱ： 7 10 13 16 … ①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为 ▲ ； ②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】-1 10．【答案】10；253 11．【答案】 12．【答案】2016 13．【答案】4 14．【答案】（1） （2）解：由题易知，第个式子： （3）解：根据（2）的结论，令，得， 则 15．【答案】（1） （2） （3） 16．【答案】（1）答案为：，，； （2）解：由题意，得：， 即， 解得：； ∴，， （3）解：原式 17．【答案】（1）解：，设 ， ， ，即， ； （2）解：如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去， 则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积： 18．【答案】解：① ② ③ ④ ⑤∵， ∴， ， ， ⑥ 19．【答案】（1）解：若时，则S的值为； （2）解：； （3）解： ． 20．【答案】（1）1（答案不唯一）； （2）解：①增加3； ②由题知， （m为正整数） 则， 当时，，此时明文为Y； 当时，，此时明文为Z； 当时，，此时明文为Y； 当时，，此时明文为Z； ， 所以该明文为Y或Z 学科网（北京）股份有限公司 $