精品解析：广东省珠海市香洲区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期义务教育阶段期末考试 八年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分），每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 4、5、6 C. 5、11、12 D. 6、8、10 3. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 《黄河大合唱》中有部分简谱的旋律如图所示，当中出现音符的众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 如图，要使平行四边形变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（ ） A. 28 B. 24 C. 18 D. 14 9. 如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是（ ） A. B. C. 8 D. 6 10. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，珠海市某港口从某日时到时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．结合图2下列说法中不正确的是（ ） A. 某船吃水深度为，它可以在时出入该港口 B. 当时，该港口水深最浅 C. 时到时和时到时，海水均在上涨 D. 当时，的值是或 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分），请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 12. 请写出一个只过第二、四象限的正比例函数_____________． 13. 小莹要参加学校的英语主持人选拔比赛，她的读、听、写的成绩分别为分、分、分，若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为_____________分． 14. 如图，，是的中点，连接．若，则的长为_____________． 15. 勾股树，是一个基于勾股定理构造出的经典分形几何图形．它看起来像一棵不断生长、由正方形和直角三角形组成的“数学树”．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形，再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．如图若正方形，正方形的面积分别为9，4，且点、、三点共线，连接、，则的长为_____________． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 18. 为增强学生体质，香洲区开展了八年级分钟跳绳比赛活动．某校体育伍老师从八（1）班和八（2）班各抽取了位同学，记录了他们跳绳的次数如下表． 【数据收集】 八（1）班 ，，，，，，，，， 八（2）班 ，，，，，，，，， 【数据整理】 老师对上面表格数据进行了简单的统计，结果如下表： 跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 组 组 （1）求表中的数据：__________，__________； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则__________（填“”、“”或“”）； 【数据应用】 （3）请你利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，平分，已知，，． （1）求的长； （2）若，求的度数（结果用表示） 20. 如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 21. 某通讯公司推出，，三种纯流量特惠套餐，，，三种套餐的收费方式如下表： 套餐名称 每月基本费/元 每月免费使用流量 超出套餐流量费/（元） 超出免费流量上限，限制使用 设每月使用的流量为（单位：），，，三种套餐每月所需的流量总费用（单位：元）分别记为，，．其中，与之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数解析式，并利用列表、描点、连线的方法，在图中画出的图象； （2）根据的图像填空：__________，__________，__________； （3）若一位成年人需要每月的流量在以上，请你估计你的一位熟悉的家长、亲人或成年朋友的每月流量使用约为__________，并通过计算为其选择一种合适的套餐． 五、解答题（三）（共2题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． （1）判断四边形的形状为______________，并说明理由； （2）若四边形是菱形时，求的值； （3）连接，若的面积是面积的倍，求的值． 23. 综合与实践：取生活中常见的纸通过几种折叠操作，可以得到一些有意思的结论． 【操作一】如图1，纸矩形的边、上分别有点、，将A4纸矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，再沿折叠，使折叠后落在边所在直线上，点对应点为，发现此时，点与点重合． 【操作二】如图2，展开纸矩形，连接，沿对折，使与重合，展开后得折痕交、分别于点、，交于点，连接，点在上，再沿对折，使点落在上的点处． 【操作三】如图3、图4，展开纸矩形，点、分别在边、上，分别沿、折叠矩形，点、点的对应点分别为点、点，且折叠后、共线． （1）【任务一】如图1，纸的邻边之比________； （2）【任务二】黄金分割比例自古希腊时代就被认为是美与和谐的象征，若矩形的相邻两边之比为黄金比例，则这个矩形为黄金矩形．如图2中，判断以、为边的矩形是否为黄金矩形，并说明理由； （3）【任务三】如图3，若， ①在图3上用尺规作图，求作点、点； ②连接，判断的形状为_____________________，并证明你的结论； （4）【任务四】如图4，若折叠后点落在直线上，若长为3个单位长度，请直接写出的长为_____________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期义务教育阶段期末考试 八年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分），每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； B、，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式； C、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式． 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 4、5、6 C. 5、11、12 D. 6、8、10 【答案】D 【解析】 【分析】三角形中，若两较短边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2、3、4的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为4、5、6的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为5、11、12的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6、8、10的三根木棒能组成直角三角形，故此选项符合题意； 3. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律．根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为． 故选：A 4. 《黄河大合唱》中有部分简谱的旋律如图所示，当中出现音符的众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：简谱中音符5出现的次数最多为4次，所以众数是5． 5. 如图，要使平行四边形变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出． 【详解】∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，准确记住矩形的判定方法是解题关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数（，是常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴的解集为． 7. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（ ） A. 28 B. 24 C. 18 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即，，再结合周长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据点B坐标求出即可求出答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 10. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，珠海市某港口从某日时到时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．结合图2下列说法中不正确的是（ ） A. 某船吃水深度为，它可以在时出入该港口 B. 当时，该港口水深最浅 C. 时到时和时到时，海水均在上涨 D. 当时，的值是或 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、某船吃水深度为，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离最少，故该货船进出港口时要求水深最少为，而当时，，故此时它不可以进出港口，故A不正确，符合题意； B、当时，纵坐标值最小，该港口水深最浅，故B正确，不符合题意； C、时到时和时到时，海水均在上涨，故C正确，不符合题意； D、当时，的值是或，故D正确，不符合题． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分），请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， 被开方数满足 ， 解不等式得：. 12. 请写出一个只过第二、四象限的正比例函数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义和图象性质，正比例函数的一般形式为．确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数． 【详解】解：根据正比例函数的图象性质，若正比例函数图象只经过第二，四象限，则比例系数． 任意取满足的值，例如取，即可得到符合条件的正比例函数． 故答案为（答案不唯一） 13. 小莹要参加学校的英语主持人选拔比赛，她的读、听、写的成绩分别为分、分、分，若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为_____________分． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得（分）． 14. 如图，，是的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，是的中点， ∴． 15. 勾股树，是一个基于勾股定理构造出的经典分形几何图形．它看起来像一棵不断生长、由正方形和直角三角形组成的“数学树”．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形，再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．如图若正方形，正方形的面积分别为9，4，且点、、三点共线，连接、，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，勾股定理求出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵正方形，正方形的面积分别为9，4， ∴，， ∴在中，， ∵四边形，，是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号、化简二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解： 17. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 为增强学生体质，香洲区开展了八年级分钟跳绳比赛活动．某校体育伍老师从八（1）班和八（2）班各抽取了位同学，记录了他们跳绳的次数如下表． 【数据收集】 八（1）班 ，，，，，，，，， 八（2）班 ，，，，，，，，， 【数据整理】 老师对上面表格数据进行了简单的统计，结果如下表： 跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 组 组 （1）求表中的数据：__________，__________； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则__________（填“”、“”或“”）； 【数据应用】 （3）请你利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）组同学整体的跳绳水平比组高，理由如下： 由箱线图可知，组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于组，且组数据的方差比组小，成绩更稳定，所以组同学整体的跳绳水平比组高． 【解析】 【分析】（1）根据下四分位数的定义求出的值，根据中位数的定义可求出的值； （2）根据箱线图和、两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解法一：对于组中的数据，下四分位数为，，，，的中位数， ； 解法二：对于组，表格里的数据从左至右即是从小到大，， 下四分位数为第三个数，即； 组的中位数； 【小问2详解】 根据箱线图可知，组成绩比较分散，组成绩比较集中，所以A组测试成绩的方差更大，即； 【小问3详解】 略 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，平分，已知，，． （1）求的长； （2）若，求的度数（结果用表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，结合角平分线的性质和等角对等边即可解答； （2）先根据勾股定理逆定理得是直角三角形，再结合角平分线的性质，三角形内角的相关计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形 ， 又平分 【小问2详解】 解： ，即， 是直角三角形 ． 20. 如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； 【小问2详解】 解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 21. 某通讯公司推出，，三种纯流量特惠套餐，，，三种套餐的收费方式如下表： 套餐名称 每月基本费/元 每月免费使用流量 超出套餐流量费/（元） 超出免费流量上限，限制使用 设每月使用的流量为（单位：），，，三种套餐每月所需的流量总费用（单位：元）分别记为，，．其中，与之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数解析式，并利用列表、描点、连线的方法，在图中画出的图象； （2）根据的图像填空：__________，__________，__________； （3）若一位成年人需要每月的流量在以上，请你估计你的一位熟悉的家长、亲人或成年朋友的每月流量使用约为__________，并通过计算为其选择一种合适的套餐． 【答案】（1）， 列表如下： 的图象如下： （2），， （3）如:，选择套餐（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据可求出与之间的函数解析式，再列表、描点、连线画出函数图象； （2）由图可知，当时，，即可求出、的值，当时，，利用待定系数法求出，即可求解； （3）如:，根据函数解析式以及图象分别求出，，，再比较即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， ， 【小问2详解】 由图可知，当时，， ，， 当时，， 将点代入得，， 解得； 【小问3详解】 如:， ，，， ， 选择套餐（答案不唯一）． 五、解答题（三）（共2题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． （1）判断四边形的形状为______________，并说明理由； （2）若四边形是菱形时，求的值； （3）连接，若的面积是面积的倍，求的值． 【答案】（1）平行四边形， 证明：点是线段的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义和平行线的性质可证明，得到，即可得证； （2）先求出、的坐标，进而得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，据此列方程即可求解； （3）根据点是线段的中点，得到，设，，，根据平行四边形的性质可得点是线段的中点，根据中点坐标公式推出，设点到边上的高为，由，得到，则，点是的中点，根据中点坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则， ， ， 令，则， 解得， ， 又点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作， ，， 在中，， 四边形是菱形， ， ， 解得； 【小问3详解】 点是线段的中点，，， ，即， 设，，， 四边形是平行四边形， 点是线段的中点， ， 则， 设点到边上的高为，则点到边上的高为， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即点是的中点， ， ． 23. 综合与实践：取生活中常见的纸通过几种折叠操作，可以得到一些有意思的结论． 【操作一】如图1，纸矩形的边、上分别有点、，将A4纸矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，再沿折叠，使折叠后落在边所在直线上，点对应点为，发现此时，点与点重合． 【操作二】如图2，展开纸矩形，连接，沿对折，使与重合，展开后得折痕交、分别于点、，交于点，连接，点在上，再沿对折，使点落在上的点处． 【操作三】如图3、图4，展开纸矩形，点、分别在边、上，分别沿、折叠矩形，点、点的对应点分别为点、点，且折叠后、共线． （1）【任务一】如图1，纸的邻边之比________； （2）【任务二】黄金分割比例自古希腊时代就被认为是美与和谐的象征，若矩形的相邻两边之比为黄金比例，则这个矩形为黄金矩形．如图2中，判断以、为边的矩形是否为黄金矩形，并说明理由； （3）【任务三】如图3，若， ①在图3上用尺规作图，求作点、点； ②连接，判断的形状为_____________________，并证明你的结论； （4）【任务四】如图4，若折叠后点落在直线上，若长为3个单位长度，请直接写出的长为_____________________． 【答案】（1） （2）解：以为边的矩形是黄金矩形， 理由如下：设， 矩形沿折叠，使点的对应点落在边上， ，且， 四边形是正方形， 设为， 矩形沿对折，使与重合， ， ， 矩形沿对折，使点落在上的点处， ， 在与中： ， 解得， ， 以为边的矩形是黄金矩形； （3）①由题意，作图如下： ②的形状为等腰直角三角形， 证明如下：矩形分别沿折叠且， ， ， 延长交于，则为等腰直角三角形， ∴， 与重合， 设，连接， ， ， ， ， 又， ， ，， ∴， ∴， 的形状为等腰直角三角形； （4） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，得到，折叠得到，即可得出结果； （2）根据折叠的性质，勾股定理，推出，即可得证； （3）①根据折叠的性质和已知条件，得到，进而得到，作的角平分线，然后截取即可； ②证明，得到，推出，即可得出结论； （4）连接，证明是等边三角形，进而推出，作，交于点，根据三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，推出，进行求解即可. 【小问1详解】 解：矩形沿折叠，使点的对应点落在边上， ，且，， 四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接， 由折叠可知，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由（1）可知，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $