1.4.1 第3课时空间中直线、平面的垂直-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

方漆一设平面DE的清向量为n=(x,y,》, -{0,号·是)(，号， 时有-0. 爱y+0-@, 。E函=0， +童-)-0 ◆1 y=-1 所以-1，一1,1. 又PA=(a0,一g.所以n,PH=a-a=0, W⊥FL 又PA度平面EDB,所议PA∥平面ED成 才法二：网为四边形A仪D是王方影，所以G是共 正为形的中心， 此AG的2禁为學号0小群以式-（登a一要） 又P队=《，，一舞，所以P风=g霜，达表明 PA/EG. 所CC平所EDB,且PA在平雨EDB.所以PAA 平面EDH, 方法三，氧静在实数1，使得A-1呢+ EA. f(a0.-m)-40,受，受)+n受-受 一m: 则0-2·量十受解一小 w-1. 一-4·号-r·登 所以P=一D止+E.又PA文◆面EDB,所以 PA平面EDB [针对割练)证明：如函所示，建是空网直角坐标 最Dxr,N有D0,0,00,A(2,0.0).G(0,2,21.2. 2,10,F0,0,1 下-0,2,1，Di-2,0,0,-o,2,t. 设m=(·为，)是平香ADE的清向重，利 上成，j·话-场-0， m上a论，则1·论-+-0 新保角0， 清三：月漆一得平面ABD'的一个油向量为恩：■ 1--2y (-1.1.-1). 令51=2，则所=一1，所议m=〔0，一1,2. 图为m1·D站-(-1,1，-1)·(1,1,0)=0，m+ 易为·周-—2十2-0，所以记⊥期， -(-1,1,-1D·(0,1,10-0 南为FC亡平面ADE,阶以FC∥平香ADE 所以，也是平面D的一个表肉重，黄或平面 凤究三平面与平面平行的判定 AD平香BD, 典例精析 [针对调陈3】证明：国为老才林UDA BCD [例3)正明：（法一）设正方体的陵卡为1，以D 所以DA,DC.DD两所0直，以D为原点，DA所在克线 为原点，建立图所零的空间直角标原： 为x畅DC所在直战分y物，D0所在是线为x陆度 空间直角坐标表： 别A1,0,0》,41,1,1,(0,0,10,B1,1,0),D (0,0,0》,C(0,1.1D, 由延为A(3,0,02,B8.4,0),C(0,4.0)A1(8,0, 以A=(0,1,1).D=(1,1,0) 2),B(3.4.2).C(0.4.20.D0,0.20 设平面ABD的读肉量为湘：=(，功，)，则 时AC=(-3,4.0),AB=(0,4,-2).C= :男矿十-0 (-3,4,0),A可=（-3,0,2. m1DB.m,·Dg-十n=0 夜平面ACB竹法南量为w-(2,y,), 令势=1，可得平西D的一个法肉量为1= 则…G-6. -r+4y=0 ◆于■4，得和回 (-1,1,-10 m.A3=0,y-2e-0, 设平面C的读肉量为，（为） (4,3,6). 等威， 後平面ACD的法向量为m=(x,√，x), a⊥D 义D明=0l,o9,=(o.1,, m,A可=0. -3z/+2e'=0, 公 m=(4,3,6). 国为n成m,所a平面ACBN平面ACD 令为-1，可得平面BDC的一个法向量为 微探究忽提直线与平置平行的条件致便 4-《-1,1-10. [奥例4门B因为A语=(-1,1,1)，=1.0： 别1n,所议用， -1),登平面AC的一个法向量为是=（红，y,1),副e 被平面ABD∥平面DC AB-0,m.心-0， (法二》电接一为=（一1,0,1）.以=（一1,0， 1D,-(0,1,1》,D°-(0,1,1，斯x- 1-1=0 Iva A-C.身AU∥C.AB∥DC -(-1.-210 需为AD了在平面B,AB过年面B,孩 所以l·n=(-1,-2,1)+(1,0,1)-0, 平面DC,DCC平面BDC,所以AD∥平面DC 所以殖⊥n,D泥∥平面ABC成D泥C平 A矿∥平面BDC 面ABC 又AD门AB=A. 周冷=(1.1，-1)，期以=2+AB. 青议平面ABD'及平面B, 所以A,B,C,Dm或表面， 中高D热平西ABC有，前以二平面A风达民 易错原因 纠错心将 木题悬得直线DE的方肉 当直气的方钩向 向整D述白早面ABC售连 量只平面的生向 易 向量垂直，进霄得到直线 量量直时，直项与 DE与平雨A平行的 平面岭位里关系 W误解答，实际上，当直战 有而种4一是直战 DE在平国AC内，k有 与平留平行：二是 证与平需A以的法肉量 直线在平道内，具 紧直，因北，秀线一步判康 体是零一种，应进 DE是香在平面ABC卡， 一岁考叠. 【随常演练·达标】 LD18平后，∴sm,即5·W-0, (-1,1.1D·《8.+x,-z)=0,m-2+2+ xT一0，x-士区 名AD若a,别a·-0而A中年-0，B中年 n=1十5=6C中a"=-1.D中a"想=-3+3=0 玉答案：平行 解折：=-31,2，-2)=-2w, fa//8 4答案：一3 解折：，平面A 六存在实数y,发=rA+yC风酒=(1,0， -10.C=(0.1.-1) (2m,1》=x(1,0,→1)+y(0.1.-1)=(x4y 2x4 m-y. w=一3 第三课时空间中直线、平面的重直 【必备知识·棱理】 [情镜探究 提示问题1：因为柱子与地而套直，所以住子和地 面的任意线垂直，那么在地面内存在一条直线！与m在 同一平面内，且都与柱子垂直，所以/从燥，由线面平行 的用断定理可推出校门上都的下边线与地围平行。 问题2：能任明刚的方向向量与泡隆的达向址看 直即可， 同题3，不一定，也可能在：内 【细识城理] 国⊥所m·=0翠∥知3AR,氢得￥-深 R⊥·=0 [科华思推] ,1,(1》×(2/(3)×《4)× 2.B周为m·n=2×1+《-1)×1+《一1)×1■ 0,所以m1库：所以⊥， 3.D4a-(2,-4.70,w-(-2.4,-7) 二，■一n,刺8m, 酸且a 4.C园为(1,2,3)·(3.0.-10-1×8十2×0十 3×(一1)-0，所以平6=上平所2 5.餐案：5 解析：平而▣与平面京4真， ,平面。的法肉量目与平面3的法向量？看直。 w+-0,中=1×1+0×6+5×1-0， 解得=5 二，提示：1不垂直2.岳直 【关键能力·探究】 探实一直线与直线意直的判定 [奥例精析】 C肉例1】(ID正期：在直三棱柱ACA,品C中 AC-3,C-4,AB=5,A41=4,期C,C,C℃两南 金直以C为坐桥原表，CA,B,C所在直气分利为 工精小y轴、意物，成立如西所录的堂得直角全韩系 则C0,0,00,A(3,0,0).C(00,4,B(0,4.00 B1(0,4,40, 所达AC=(-30,0》,号-(0，-4,4) 所tA心·B-0. 所以AC⊥，斯以AC⊥C. ()解：氧量点AH上存在成D 使年AG⊥CD, 利周《1)阶建的堂间直角坐补最。 橇方-1AB, 则亦--3,0)，其中011， 于是D-C+D-(3-3就，林，o, 是A=(-3.0.4>. 所保由AG⊥CD年-9十1=0. 解泽-1，北时，心正 所以在AB上春在点D,使得AC1CD,克D年克 [针对谓练1门证明：方法一设A5一8，心一， ,E=《-1,-1.1,A以=0,2,2) 国一c,别南己如事件和正三植租岭推情，得日一 at-(-2,2,00. bl-lcl=1.a.c=b.c-0. EP.成-(-1)X0+(-1)×2+1×2-0 g-a+e,A丽-号a+.A-+,MN- F,AC=2-2+0=0. FLA成，F萨⊥A 的-政-+叶c EF⊥AB,EF⊥AC 又AB几AC=AAB,ACC平面B1AC, ·-a+c)·(-+叶c小 二EFL平面BAC 一号+as040-0+0+-a. 方法月方漆一得g=(0,2,2),心■（一2， 20)-(-1-1,10, 可LM,AB,⊥MN 径平场B,AC的法向量n一，3 为涤二量AB岭中表为D,程OO∥A4.江G 则层·和一0，C:n-, 为坐标原A,0B,C,0所在直找为x,5,E精，建立 如困所示岭空网直角坐标系 取1一1，别y-1,=-1, wm(1,1.一1) :-一0E放mEF⊥年面BAC [针对测练2]证明：如国所示，建主空间直角坐帮 系，受无方体的险长为1， 巴知特A(-3.0o),B(2,o)C(o,5d No9B(层0. M为的中kM停o 则A(1.o.0).E1.l,)A1.0,1D,D⊙，0， -(-9》属=10. ,F0,0 ,=-}+0+号0， ∴-(0.l,)-(-10.09. M⊥A属，∴AB上MN -(o.-）月 探究二直线与平面重直 夜平面ADF的法南量n一（江，y,》 先侧精析) 时w·A=0,:D,F=0. [典例2]证期：方法一量正才体的陵教为2，议 1一=0， D为原点，就DA,DC,DD所在直我分到为士轴， 。解拜x-0,y-22 仙，：轴建立如田所亦的空闻是角坐茶系，目A2,0, 01,C0,2,0y,B(2,2,2),2.2,1》,下1,1,2. 伞=1，到n=(0.2,1) 义-(0.1.号)∴n-2A3 mE,:AEL年商ADF 探究三平面与平面重直 [典例精斯] 〔典酬3】证明：★题喜得AB,BCB,B两两垂直 双B为原表，HA,B以，B出尉在直线分利为工，y轴， 畅，走之如围所帝的堂间直角坐林果」 则A(2,0,0),A(2,0,1),C0,2,07,C1(0.2,1), E00. 则=0.0,1)0=(-2,2.0m=(-22 1,a证-(-20，号》 2平面AACC的一个法舟要为m-n,》. 粥=0- m,A论=0 -2+2-0 令n-1,得为-1，所以周1=(1,10 观平而AEC的一个浅府量为m-,业 m·-0,一2+2%+0， m·正-0一知十-0 今=4得=1，为=-1，所以m=(1,-14》, 器为所·南-1X1十1×(-1D十0×4=0 所成m⊥角，喻以乎香AC⊥平雨AA,CC [针对训练3】证明：如图建立堂间直商坐赫系， 影E01.0,A1,0,01,D0,0,1,F52,0 -（-1l,-0,-1,-(10 灵平而EAD的法种量为N一（为-留）： 一十为=0， 年一为t0 ◆n=1,期n一-1，所这n=1,1,10. 夜平看FD的法向量为m-(为，卧) 则m-8, 周·可-0， 经w心 -为十=0 ◆=2，剩许==-1，所以m(2,一1，一1)， 因为#·m=2×1+1×(-1+1×(-10=0 所以n上m,所城平面EAD⊥平面EFD 【随堂演练·达标】 l,Ba上良平面金+月的米向量相至金直 0·b=-x一2一8=0，x■一10，量法且 2.B平面整的米向量u=《2.一2,2)，平雷月的淡 向量1■1,2.1).网为w·r=2一4十2=0，所以两个平 禹叠直就选且 3B平面g的读向量平行等传于平面：年 行，故A项正：平面a:9的读向量垂直等骨于平雨a 垂直，故B项正精，直线的客向句量平行于平面的法 向量等价于直线查度于平面，故C项督误：直战的方向 向量唐直于平面的法向量等作于直汽平行于平西点直 践在平面内，做D谓情流盘选书 4,证阴：建立中图阶示空间直角坐标系， 或正方体的校表为2.刚01,1,0)，L(2,0,2,出 (2,200,M0,2.10a=1,-1,2.Dd=(2,2,0). D0=0.2,12, .DB-0.0.D-0. A⊥DB.O⊥D9, ∴QA.LDB.0M⊥DM 又DB门DM-D,DB,DM亡平奇MBD,所H A:O⊥平雨NBD 1头工用空间向量研究距南、夹角问盟 一课时用空可肉量研究更离问题 【必备知识·梳理】 线A,G的原高的混小佳为得 [情境探究 t法D 提示：过点A修一条意直于该条公幕的路线理论 [针对到练1门D由题意如， 上量是， AC=AB=2.B出=√豆，点AC的 [知闲植通 中成0， 一.(a·3)n √a一《a·时 则OLAC,BD-8,建主 二a3.n 困所币的堂闻直角业释系Q, [科学思维] 副A00。-1,00,品(W3,02).C0.1,0), 一.1.10/(2/(3/(4(6W 所46-(w,1②0，心-⊙，2,0》 2D 酰点C到直境AB,的矩鼻为 16 4AC) 厦故选D 3 号 探究二点到平边的更离 [典侧精析] 二望示：1.在其中一条直线上取一点P,转化为点 [典例2](1》证期：以D为坐标原在，DA所在直线 P到另一条直望的距真 为工仙，D汇所在直线为y袖，DD所在直线为仙患 工在其中一个平面上取一点P,转化为点P到另 主堂同直角坐标系，如图所币 一个平面的距真 【关健能力·探究】 探究一点到直线的更离 [典例精析) [典例1】D如图建主空周重角坐标系， A(2,0,07,B(2.2.01.0,2,0),E(0,0,1): P2,2.40 授平面ACF的一个法向量为n-x,y,), A心-(-2,2,9)，7-(0,8.0. A1,01).C(0,1,1.tP%x.01-x》,0 年0…-/一2r+20. e·AF=0,12y+4:=0, 61, 不势◆=-1，期是=（一2，一21）-正，所以E 制A产-x-10,-x2,C-(-1.1.0, 平面ACP 所以动成P到直线A后的压高为 《2)解：A店-(0,2,0).则盖B到平而ACF岭距离 -A-EAC 为- Vo-i-o- [针对到练2]B解析：欢点0为垒禁原高，CC QAS阶在直践分剩为xy:轴遮是室同直角坐相 √-+-√+9 意，利用空间向童法可求得灰N到平面SC的E离， 因为AC=O为AB的中点，则(C⊥AB. 南国维的儿解性质可知O1平面AC, 以点0为卖标辰点，.0M (5所在直气分的为Fy、:轴建立 中右调黄帝的空鸭直角是解系， 则5(0,0,4，B(0.-2.0), C2,0.0),A(0,2,09,D[0,0,2), Nk0.1,1). 设平面SC的法向量为n=(,y,x),武一(22， 0),3-(0,2,40 n·0-2+2y-0 取y=一2.可拜知=(2， m:852y十4a=0. -2,1》, 又四为=0,3，)，斯以，表N到千面SBC的垂 高为1-中出-是 故选弘 探究三线线距、线使和面街园 「典例精桥] [典例3]解：(1)建立如 图所恋竹实间直角坐标最， 则H(o,20A1,0, o,FL,21C0,11 1,20)41.01民d, 1.0),C0,1,0, 所x音-(-1，是式(-10) 所xA百-尾， 阶深AHT 所以友A:到直线℃的平高中为直线A:H考FG 的矩再. ke-=(0,7 -盛-(-9兽 所议-号a·g一得牌城点A到直线C特 施满为√骨(-画 所线AH直线C的离为国。第一章空间向量与立体几何 第三课时 空间中直线、平面的垂直 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的 通过应用直线的方向向量和平面的法向量来判 垂直关系 定、证明空间垂直关系的处理，增强空间观念 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 必备知识 梳理 答案见P2521 ○情境探究 回知识梳理 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早 空间中直线、平面的垂直 见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常 位置 有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉 向量表示 图形表示 关系 璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形 设直线4,2的方向向 构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面 线线 量分别为，，则 是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直， 垂直 l⊥l2台 我们就能知道下边线与地面平行， 问题1：校门上部的下边线m与 柱子垂直，我们就能知道下边 设直线！的方向向量 线与地面平行.这是为什么呢？ 为u,平面a的法向 线面 问题2：能用向量法证明这一问题吗？ 量为n,则l⊥a 垂直 问题3：若直线1的方向向量为，平面α的一 Q 个法向量为v,且4⊥，那么l与a平行吗？ 设平面a,β的法向量 分别为n1,n2,则a⊥ 面面 B= n 垂直 爵科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“、/”或“×”） (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两 条直线一定垂直相交.() (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向 35 数学选择性必修第一册人教A版 量与平面内的所有直线的方向向量的数量积 关系是( 为0.() A.平行 B.相交且不垂直 (3)若两个平面垂直，则其中一平面内的直线 C.相交且垂直 D.不确定 的方向向量与另一平面内的直线的方向向量 5.平面a与平面B垂直，平面a与平面B的法 垂直.() 向量分别为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t (4)若一个向量与平面内两个向量垂直，则此 的值为 向量是平面的一个法向量.() 二、思维探究 2.若直线1，l2的方向向量分别为m=(2,一1， 1.如果两个平面的法向量不垂直，那么这两个 -1),n=(1,1,1),则这两条直线( 平面垂直吗？ A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.垂直相交 3.直线1的方向向量a=(2,一4,7)，平面a的 法向量n=(一2,4，一7)，则有( 2.如果直线1的方向向量与平面α内两条相交 A.l∥a B.lCa或l∥a 直线的方向向量都垂直，那么1与α垂直吗？ C.l与a斜交 D.l⊥a 4.平面α的一个法向量是(1,2,3)，平面3的一 个法向量是(3,0，一1)，则平面α与3的位置 关键能力 探究 答案见P2531 探究一 直线与直线垂直的判定 (1)求证：AC⊥BC. (2)在AB上是否存在点D,使得AC⊥ ●知识深化 CD?并说明理由. 用向量法证明空间中两条直线，2相互垂直， 只需证明两条直线的方向向量a·b=0即可， 具体方法如下： 1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直 角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出 两条直线的方向向量，计算出其数量积为0 即可. 2.基向量法：利用向量的加减运算，结合图形， 将要证明的两条直线的方向向量用基向量表 示出来，利用数量积运算说明两向量的数量 积为0. 名师点拔 @典例精析 证明线线垂直只需证两直线的方向向量 【典例1】如图，在直三棱柱ABCA1BC中， 垂直，即证其数量积为零，一般先建立空间直 AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. 角坐标系，利用向量的坐标运算处理， .36 。第一章空间向量与立体几何 [针对训练1]如图，已知正三棱柱ABC 名师点拔 A1B1C的各棱长都为1，M是底面上BC边的 利用坐标法证明线面垂直的2种方法及 中点，N是侧棱CC上的点，且CN=CC.求 步骤 将直线的方向向量 证：AB⊥MN. 用坐标表示 找出平面内两条相 方法 线 第二 交直线，并用坐标 表示它们的方向向 垂 量 第三步 判断直线的方向向 量与平面内两条直 线的方向向量垂直 将直线的方向向量 用坐标表示 用平 方法 求出平面的法向量 判断直线的方向向 探究二直线与平面垂直 的法向量 量与平面的法向量 平行 鲁知识深化 [针对训练2]如图所示，在正方体ABCD 利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一 A1BCD中，E,F分别是B1B,DC的中点，求 是利用判定定理，即通过证明向量数量积为0 证：AE⊥平面ADF 来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线 的方向向量垂直，即证明直线的方向向量也是 平面的法向量；二是求平面的法向量，验证直线 的方向向量与平面的法向量平行 心典例精析 【典例2】如图所示，在正方体ABCDA BCD 中，E,F分别是BB,DB的中点 求证：EF⊥平面BAC 探究三平面与平面垂直 ●知识深化 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个 方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直 问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二 是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量 垂直，得面面垂直 37 数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 名师点拔 【典例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1BC 利用空间向量证明面面垂直的方法 中，AB⊥BC,AB=BC=2,BB=1,E为BB 1.利用两个平面垂直的判定定理将面面 的中点.证明：平面AEC⊥平面AACC 垂直问题转化为线面垂直问题进而转 B 化为线线垂直问题，即证明一平面内的 某条直线的方向向量为另一平面的法 向量 2.直接求解两个平面的法向量，证明两个法向 量垂直，从而得到两个平面垂直 [针对训练3]如图，在长方体ABCD A1B1CD1中，AB=2,BC=CC1=1,E是CD 的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平 面EFD. 随堂演练 ·达标 答案见P2551 1.若平面a,3的法向量分别为a=(-1,2,4), 4.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，O是 b=(x,一1，一2)，并且&⊥B,则x的值 AC与BD的交点，M是CC1的中点.求证： 为() AO⊥平面MBD. A.10 B.-10 c n-号 B 2.平面α的法向量u=(2,一2,2)，平面3的法 向量v=(1,2,1),则( ) A.a,B平行 Ba,B垂直 C.a,3重合 D.a,3不垂直 3.（多选)已知v为直线l的方向向量，n1,2分 别为不重合平面a,3的法向量，则下列命题 正确的有( A.n∥n2台a∥3 B.n1⊥n2台aL3 C.v∥n台l∥a D.v⊥n台l⊥a .●38