1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖坐标运算、平行垂直判断、模与夹角公式及两点间距离公式，通过天平秤盘拉力情境导入，联系物理实际，从平面向量自然过渡到空间向量，搭建知识学习支架。 其亮点是以新课标核心素养为引领，通过典型例题（如正方体、直三棱柱问题）培养数学运算和逻辑推理能力，设置自我诊断与跟踪训练巩固知识，拓展n维向量培养数学眼光。学生能提升几何问题解决能力，教师可高效落实教学目标。

1.3.2　 空间向量运算的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题 数学运算 2.掌握空间向量运算的坐标表示，会判断两个向量是 否共线或垂直 逻辑推理 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公 式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上. 在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量 为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力 分别为 F1， F2， F3），若3根细绳两两之间的夹角均为 . 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道 F1， F2， F3的 大小分别是多少吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　空间向量的坐标运算 1. 设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a ＋ b ＝ ⁠ 减法 a － b ＝ ⁠ 数乘 λ a ＝ ⁠ 数量积 a · b ＝ ⁠ （ a1＋ b1， a2＋ b2， a3＋ b3）　 （ a1－ b1， a2－ b2， a3－ b3）　 （λ a1，λ a2，λ a3）（λ∈R）　 a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 设 A （ x1， y1， z1）， B （ x2， y2， z2），则 ＝ ⁠ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点坐标 起点坐标. （ x2－ x1， y2 － y1， z2－ z1）　 减去　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？ 提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　空间向量的相关结论 1. 空间向量的平行、垂直、模和夹角 设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a ∥ b a ＝ （ b ≠0） a1＝λ b1， a2＝λ b2， a3＝λ b3（λ∈R） a ⊥ b a · b ＝0（a ,b≠0） a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3＝0 λ b 　 目录 数学·选择性必修第一册 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 模 夹角 cos ＜ a ， b ＞＝ ⁠ ⁠ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，设 P1（ x1， y1， z1）， P2（ x2， y2， z2）. （1） ＝ ⁠； （2） P1 P2＝｜ ｜ ＝ . （ x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1）　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点 B 的坐标相同. （　×　） （2）设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），若 a ∥ b ，则 ＝ ＝ . （　×　） （3）设 A （0，1，－1）， O 为坐标原点，则 ＝（0，1，－1）. （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知空间向量 m ＝（1，－3，5）， n ＝（－2，2，－4），则 m ＋ n ＝ ，3 m － n ＝ ，（2 m ）·（－3 n ）＝ ⁠. 解析： m ＋ n ＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1， 1），3 m － n ＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11， 19），（2 m ）·（－3 n ）＝（2，－6，10）·（6，－6，12）＝168. （－1，－1，1）　 （5，－11，19）　 168　 目录 数学·选择性必修第一册   解析：若 a ∥ b ，则有 ＝ ＝ ，解得λ＝4.若 a ⊥ b ，则 a · b ＝2λ ＋8λ－λ＋6＝0，解得λ＝－ . 4　 － 　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 空间向量的坐标运算 【例1】　（1）已知 a ＝（－1，2，1）， b ＝（2，0，1），则（2 a ＋3 b ）·（ a － b ）＝ ⁠； 解析：易得2 a ＋3 b ＝（4，4，5）， a － b ＝（－3，2，0），则（2 a ＋3 b ）·（ a － b ）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4. －4　 目录 数学·选择性必修第一册 （2）（2024·郑州月考）已知 O 是坐标原点，且 A ， B ， C 三点的坐 标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则 适合条件 ＝ （ － ）的点 P 的坐标为 　（5， ， ⁠. （5， ， 0）　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：法一（直接法）　因为 ＝ － － ＝ ＝ ＋ － ）＝（2，－1，2）＋ [（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5， ，0），所以点 P 的 坐标为（5， ，0）. 法二（间接法）　设 P （ x ， y ， z ），则 ＝（ x －2， y ＋ 1， z －2）.因为 ＝ － ）＝（3， ，－2），所以 则点 P 的坐标为（5， ，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐 标确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公 式计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通 过解方程（组），求出其坐标. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. (2025高二上·丽水期中) 已知空间向量，，则( ) 解析： 　空间向量，， A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确. A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，1，1），则 a ·（－2 b ）＝ ⁠ ，（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝ ⁠. 解析： a ·（－2 b ）＝－2 a · b ＝－2（0＋1＋0）＝－2， a － b ＝ （1，0，－1），2 a －3 b ＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2， －1，－3）.∴（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝（1，0，－1）·（2，－1， －3）＝2＋3＝5. － 2　 5　 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 利用空间向量解决平行与垂直 【例2】　在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，已知 E ， F ， G ， H 分别是 CC1， BC ， CD ， A1 C1的中点. 求证：（1） AB1∥ GE ， AB1⊥ EH ； 目录 数学·选择性必修第一册 证明：如图，以 A 为坐标原点，以{ } 为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1，则 A （0，0，0）， B （1，0，0）， C （1，1， 0）， D （0，1，0）， A1（0，0，1）， B1（1，0， 1）， C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得 E ， F ， G ， H . （1） ＝（1，0，1）， ＝ ＝ . 因为 ＝2 · ＝1× ＋1× ＝0，所以 ∥ ⊥ ，即 AB1∥ GE ， AB1⊥ EH . 目录 数学·选择性必修第一册 （2） A1 G ⊥平面 EFD . 证明： ＝ ＝ ＝ .因为 · ＝ － ＋0＝0， · ＝ ＋0－ ＝0，所以 A1 G ⊥ DF ， A1 G ⊥ DE . 因为 DF ∩ DE ＝ D ，所以 A1 G ⊥平面 EFD . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理， 将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·无锡质检）已知向量 a ＝（0，1，1）， b ＝（1，－2，1）. 若向量 a ＋ b 与向量 c ＝（ m ，2， n ）平行，则实数 n ＝（　　） A. 6 B. －6 C. 4 D. －4 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 a ＝（0，1，1）， b ＝（1，－2，1），所以 a ＋ b ＝（1，－1，2），又因为向量 a ＋ b 与向量 c ＝（ m ，2， n ）平 行，所以存在实数λ，使得λ（ a ＋ b ）＝ c ，所以故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ， E 是侧棱 CC1上的 任意一点，在线段 A1 C1上是否存在一个定点 P ，使得 D1 P 总垂直于 AE ？请说明理由. 目录 数学·选择性必修第一册 解：假设在线段 A1 C1上存在一个定点 P ，使得 D1 P 总垂直于 AE . 如图，以 D 为原点，分别以 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 依题意可设 AB ＝ BC ＝ a ， AA1＝ b ， EC ＝ t ，则 D1（0，0， b ）， A （ a ，0，0）， E （0， a ， t ）， 设 P （ x ， a － x ， b ），则有 ＝（ x ， a － x ， 0）， ＝（－ a ， a ， t ）， 目录 数学·选择性必修第一册 由 · ＝ x ·（－ a ）＋（ a － x ） a ＋0· t ＝0，得 x ＝ ，即 P （ ， b ），此时 P 为 A1 C1的中点， ∴在线段 A1 C1上存在一个定点 P ，使得 D1 P 总垂直 于 AE . 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 空间向量夹角、模的坐标表示的应用 【例3】　（2024·嘉兴月考）如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝90°，棱 AA1＝2， M ， N 分别是 AA1， CB1的中点. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求 BM ， BN 的长； 解：建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则 B （0，1，0）， M （1，0，1）， N （0， ，1）. （1）∵ ＝（1，－1，1）， ＝（0，－ ，1）， ∴ ＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ . 故 BM 的长为 ， BN 的长为 . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求△ BMN 的面积. 解： S△ BMN ＝ · BM · BN · sin ∠ MBN . ∵ cos ∠ MBN ＝ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， ∴ sin ∠ MBN ＝ ＝ ， 故 S△ BMN ＝ × × × ＝ . 即△ BMN 的面积为 . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的一般步骤 （1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； （2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； （3）论证、计算：结合公式进行论证、计算； （4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （2024·连云港月考）如图，棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 D1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG ＝ CD ， H 为 C1 G 的中点. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求 FH 的长； 解：如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， D 为坐标原点，则有 E ， F ， C1（0，1，1）， G （0， ， 0）， H （0， ）. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）∵ F ， H ， ∴ ＝ ， ∴｜ ｜＝ ＝ . ∴ FH 的长为 . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求 EF 与 C1 G 所成角的余弦值. 解：∵ ＝（ ，0）－（0，0， ）＝（ ，－ ）， ＝ －（0，1，1）＝ . ∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ . 又 · ＝ ×0＋ × ＋ ×（－1）＝ ， ∴ cos ＜ ＞＝ ＝ . 故异面直线 EF 与 C1 G 所成角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知 M （5，－1，2）， A （4，2，－1）， O 为坐标原点，若 ＝ ，则点 B 的坐标应为（　　） A. （－1，3，－3） B. （9，1，1） C. （1，－3，3） D. （－9，－1，－1） 解析： 　 ＝ ＝ － ＝ ＋ ＝（9，1，1）. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）已知向量 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），则 下列结论正确的是（　　） A. a ＋ b ＝（7，－5，0） B. a － b ＝（5，－1，4） C. a · b ＝8 解析： 　因为 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），所以 a ＋ b ＝（7，－5，0），故A正确； a － b ＝（－5，1，－4），故B 不正确； a · b ＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜ a ｜＝ ＝3，故D不正确.故选A、C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知 A （2，－5，1）， B （2，－2，4）， C （1，－4，1），则向 量 与 的夹角为 ⁠. 解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝3 ，｜ ｜＝ · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ，又∵＜ ＞∈[0，π]，∴＜ ＞＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 如图，在棱长为 a 的正方体 OABC - O1 A1 B1 C1中， E ， F 分别是棱 AB ， BC 上的动点，且 AE ＝ BF ＝ x ，其中0≤ x ≤ a ，以 O 为原点 建立空间直角坐标系 Oxyz . 目录 数学·选择性必修第一册 （1）写出点 E ， F 的坐标； 解： E （ a ， x ，0）， F （ a － x ， a ，0）. （2）求证： A1 F ⊥ C1 E . 解：证明：∵ A1（ a ，0， a ）， C1（0， a ， a ）， ∴ ＝（－ x ， a ，－ a ）， ＝（ a ， x － a ，－ a ）， ∴ · ＝－ ax ＋ a （ x － a ）＋ a2＝0， ∴ ⊥ ，∴ A1 F ⊥ C1 E . 目录 数学·选择性必修第一册 　向量概念的推广 　　 　　我们已经知道：（1）直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ，对 于直线 l 上的任意一个向量 a ，一定存在唯一的实数 x ，使得 a ＝ xe ， 此时称 x 为向量 a 在直线 l 上的坐标，直线上的向量又称为一维向量， 用该坐标 x 即可以表示 a 的方向，又可以求｜ a ｜； 目录 数学·选择性必修第一册 （2）平面向量 a 可以用二元有序实数对（ x ， y ）表示，即 a ＝（ x ， y ）.（ x ， y ）称为平面向量 a 的坐标，此时的向量又称为二维 向量，用该坐标可以表示 a 的方向，也可求｜ a ｜； （3）空间向量 a 可以用三元有序实数组（ x ， y ， z ）表示，即 a ＝ （ x ， y ， z ）.（ x ， y ， z ）称为空间向量 a 的坐标，此时的向 量 a 称为三维向量，用该向量的坐标可以表示 a 的方向，也可 求｜ a ｜. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题探究】 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的 实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念 是否可以再进一步推广？ 结论：用 n 元有序实数组（ a1， a2，…， an ）表示 n 维向量，它构成 了 n 维向量空间， a ＝（ a1， a2，…， an ）. 对于 n 维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设 a ＝（ a1， a2，…， an ）， b ＝（ b1， b2，…， bn ），则 a ± b ＝（ a1± b1， a2± b2，…， an ± bn ）； λ a ＝λ（ a1， a2，…， an ）＝（λ a1，λ a2，…，λ an ），λ∈R； 目录 数学·选择性必修第一册 a · b ＝（ a1， a2，…， an ）·（ b1， b2，…， bn ）＝ a1 b1＋ a2 b2＋…＋ anbn ； ｜ a ｜＝ . n 维向量空间中 A （ a1， a2，…， an ）， B （ b1， b2，…， bn ）两点 间的“距离”｜ AB ｜＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 【例】　某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用 30个5维向量表示，即 ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）（ i ＝1， 2，…，30），其中 aij 表示成绩， i 不同表示不同的同学， j 不同表示 不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的 平均成绩. 目录 数学·选择性必修第一册 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标 分别加起来，然后再乘以 ，即 ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）， 其中 aij 为第 j 门课程的平均成绩. 目录 数学·选择性必修第一册 【迁移应用】 （多选）已知单位向量 i ， j ， k 两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠ ）.若空间向量 a 满足 a ＝ xi ＋ yj ＋ zk （ x ， y ， z ∈R），则有序实数 组（ x ， y ， z ）称为向量 a 在“仿射”坐标系 Oxyz （ O 为坐标原点） 下的“仿射”坐标，记作 a ＝（ x ， y ， z ）θ，则下列说法正确的有 （　　） 目录 数学·选择性必修第一册 A. 已知 a ＝（1，3，－2）θ， b ＝（4，0，2）θ，则 a · b ＝0 C. 已知 a ＝（ x1， y1， z1）θ， b ＝（ x2， y2， z2）θ，则 a ＋ b ＝（ x1 ＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）θ 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由定义可得 a · b ＝（1，3，－2）θ·（4， 0，2）θ＝（ i ＋3 j －2 k ）·（4 i ＋2 k ）＝12 cos θ，因 为0＜θ＜π，且θ≠ ，所以 a · b ≠0，故A错误；如图所 示，设 ＝ b ， ＝ a ，则点 A 在平面 Oxy 上，点 B 在 z 轴上，由图易知当 x ＝ y 时，∠ AOB 取得最小值，即向量 a 与 b 的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得 a ＋ b ＝（ x1， y1， z1）θ＋（ x2， y2， z2）θ＝（ x1 i ＋ y1 j ＋ z1 k ）＋（ x2 i ＋ y2 j ＋ z2 k ）＝（ x1＋ x2） i ＋（ y1＋ y2） j ＋（ z1＋ z2） k ＝（ x1＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）θ，故C正确； 目录 数学·选择性必修第一册 由已知可得三棱锥 O - ABC 为正四面体，棱长为1，其 表面积 S ＝4× ×12× ＝ ，故D错误.故选B、C. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知 A （3，－2，4）， B （0，5，－1），若 ＝ （ O 为坐 标原点），则点 C 的坐标是（　　） 解析： 　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5） ＝ .∴点 C 的坐标为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知向量 a ＝（1，2，3）， b ＝（－2，－4，－6），｜ c ｜＝ ，若（ a ＋ b ）· c ＝7，则 a 与 c 的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　 a ＋ b ＝（－1，－2，－3）＝－ a ，故（ a ＋ b ）· c ＝－ a · c ＝7，得 a · c ＝－7，而｜ a ｜＝ ＝ ，所以 cos ＜ a ， c ＞＝ ＝－ ，所以＜ a ， c ＞＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知空间向量 a ＝（2，－2，1）， b ＝（3，0，4），则向量 b 在向 量 a 上的投影向量是（　　） 解析： 　∵ a ＝（2，－2，1）， b ＝（3，0，4），∴｜ a ｜｜ b ｜· cos ＜ a ， b ＞＝ a · b ＝2×3＋（－2）×0＋1×4＝10，｜ a ｜＝ ＝3，∴向量 b 在向量 a 上的投影向量是｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞· ＝ · a ＝ （2，－2，1）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 在空间直角坐标系中，已知点 A （1，－2，11）， B （4，2，3）， C （6，－1，4），则△ ABC 一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝ （2，－3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜ ＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ ABC 一定是直角三 角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）（2024·日照月考）已知空间向量 a ＝（－2，－1，1）， b ＝（3，4，5），则下列结论正确的有（　　） A. （2 a ＋ b ）∥ a C. a ⊥（5 a ＋6 b ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为2 a ＋ b ＝（－1，2，7）， a ＝（－2，－1，1）， 而 ≠ ≠ ，所以2 a ＋ b 与 a 不共线，故A不正确；因为｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝5 ，所以5｜ a ｜＝ ｜ b ｜，故B正确；因为 a ·（5 a ＋6 b ）＝5 a2＋6 a · b ＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5） ＝0，所以 a ⊥（5 a ＋6 b ），故C正确；因为 a · b ＝－5，所以 cos ＜ a ， b ＞＝ ＝－ ，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知向量 a ＝（1，－1， m ）， b ＝（－2， m －1，2）， 则下列结论中正确的是（　　） B. 若 a ⊥ b ，则 m ＝－1 C. 不存在实数λ，使得 a ＝λ b D. 若 a · b ＝－1，则 a ＋ b ＝（－1，－2，－2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由｜ a ｜＝2，可得 ＝2，解得 m ＝ ± ，故A选项正确；由 a ⊥ b ，可得－2－ m ＋1＋2 m ＝0，解得 m ＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得 a ＝λ b ，则 显然λ无解，即不存在实数λ，使得 a ＝λ b ，故C 选项正确；若 a · b ＝－1，则－2－ m ＋1＋2 m ＝－1，解得 m ＝0， 于是 a ＋ b ＝（－1，－2，2），故D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. （2024·开封月考）已知点 A （λ＋1，μ－1，3）， B （2λ，μ，λ－ 2μ）， C （λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝ ，μ ＝ ⁠. 解析：因为 ＝（λ－1，1，λ－2μ－3）， ＝（2，－2，6）， 由 A ， B ， C 三点共线，得 ∥ ＝－ ＝ ，解得 λ＝0，μ＝0. 0　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 若△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，0， ）， B （－ ， ， ）， C （－1，0， ），则角 A 的大小为 ⁠. 解析： ＝（－ ，0）， ＝（－1，0，0），则 cos A ＝ cos ＜ ＞＝ ＝ ，因为0°＜ A ＜180°.故角 A 的大 小为30°. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   解析：由已知，得 b － a ＝（2， t ， t ）－（1－ t ，1－ t ， t ）＝（1 ＋ t ，2 t －1，0）.∴｜ b － a ｜＝ ＝ ＝ .∴当 t ＝ 时，｜ b － a ｜取最小 值，最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 设 x ， y ∈R，向量 a ＝（ x ，1，1）， b ＝（1， y ，1）， c ＝ （2，－4，2），且 a ⊥ b ， b ∥ c . （1）求｜ a ＋ b ｜； 解： 由 x ， y ∈R，向量 a ＝（ x ，1，1）， b ＝（1， y ， 1）， c ＝（2，－4，2），且 a ⊥ b ， b ∥ c ，可得 x ＋ y ＋1 ＝0， ＝ ＝ ，解得 x ＝1， y ＝－2，则 a ＝（1，1， 1）， b ＝（1，－2，1），所以 a ＋ b ＝（2，－1，2）， 故｜ a ＋ b ｜＝ ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求向量 a ＋ b 与2 a ＋ b － c 夹角的大小. 解：因为2 a ＋ b － c ＝（1，4，1），所以（ a ＋ b ）·（2 a ＋ b － c ）＝2×1＋（－1）×4＋2×1＝0，故向量 a ＋ b 与2 a ＋ b － c 的夹角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·珠海月考）已知向量 a ＝（2，－1，3）， b ＝（－4，2， t ）的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为（　　） A. （－∞，－6） 解析： 　因为向量 a ＝（2，－1，3）， b ＝（－4，2， t ）的夹 角为钝角，所以 a · b ＜0，且 a ， b 不共线，则 a · b ＝－10＋3 t ＜ 0，解得 t ＜ .当 a ∥ b 时， t ＝－6，所以实数 t 的取值范围为（－ ∞，－6）∪（－6， ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 如图， PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，其中 AD ＝2 AB ， E 是 CD 的中点， F 是 AD 上一点，当 BF ⊥ PE 时， AF ∶ FD ＝ ⁠. 1∶7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 A 为坐标原点， AB ， AD ， AP 所在的 直线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系.设 AB ＝1，则 AD ＝2，设 AP ＝ a ，所以 A （0，0，0）， B （1，0，0）， D （0，2，0）， E （ ，2，0）， P （0，0， a ）.设 F （0， y ，0），则 ＝（ ，2，－ a ）， ＝（－1， y ，0）.因为 BF ⊥ PE ，所以 · ＝0，所以－ ＋2 y ＝0，解得 y ＝ ，所以 F （0， ，0）.所以 AF ＝ ，则 FD ＝2－ ＝ ，所以 AF ∶ FD ＝ ∶ ＝1∶7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 如图，将边长为1的正方形 AA1 O1 O （及其内部）绕 OO1旋转一周 形成圆柱， 的长为 ， 的长为 ，其中 B1与 C 在平面 AA1 O1 O 的同侧，则异面直线 B1 C 与 AA1所成的角的大小为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 O 为坐标原点， OA ， OO1所在直线分 别为 y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则 A （0，1，0）， A1（0，1，1）， B1（ ，1）， C （ ，－ ，0）. 所以 ＝（0，0，1）， ＝（0，－1，－1），则 · ＝02＋0×（－1）＋1×（－1）＝－1，所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝－ .因此，异面直线 B1 C 与 AA1所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 在①（ ＋ ）⊥（ － ）；②｜ ｜＝ ；③0＜ cos ＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中， 并完成问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 问题：如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为坐标原点，建 立空间直角坐标系 Dxyz .已知点 D1的坐标为（0，0，2）， E 为棱 D1 C1上的动点， F 为棱 B1 C1上的动点， 　　，试问是否存在点 E ， F 满足 EF ⊥ A1 C ？若存在，求 · 的值；若不存在，请说 明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：由题意，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1棱长为2，则 A （2，0， 0）， B （2，2，0）， A1（2，0，2）， D （0，0，0）， C （0， 2，0），设 E （0， a ，2）（0≤ a ≤2）， F （ b ，2，2）（0≤ b ≤2），则 ＝（ b ，2－ a ，0）， ＝（－2，2，－2）， ＝（－2， a ，2）， ＝（ b －2，0，2），所以 · ＝4－2 （ a ＋ b ）， · ＝8－2 b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 选择①：因为（ ＋ ）⊥（ － ）， 所以（ ＋ ）·（ － ）＝0， ＝ ，得 a ＝ b ， 若 · ＝0得4－2（ a ＋ b ）＝0，则 a ＝ b ＝1， 故存在点 E （0，1，2）， F （1，2，2），满足 · ＝0， · ＝8－2 b ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 选择②：因为｜ ｜＝ ＝ ，得 a ＝ ， 若 · ＝0，即4－2（ a ＋ b ）＝0，得 b ＝ . 故存在点 E ， F · ＝0， · ＝8－2 b ＝5. 选择③：因为0＜ cos ＜ ＞＜1，所以 不共线， 所以 b ≠2－ a ，即 a ＋ b ≠2， 则 · ＝4－2（ a ＋ b ）≠0， 故不存在点 E ， F 满足 EF ⊥ A1 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，点 E 在棱 AB 上移动，则直线 D1 E 与 A1 D 所成角的大小为 ，若 D1 E ⊥ EC ，则 AE ＝ ⁠. 90°　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为 原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又 AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，点 E 在棱 AB 上移动.则 D （0，0，0）， D1（0，0，1）， A （1，0，0）， A1（1，0，1）， C （0，2，0），设 E （1， m ，0），0≤ m ≤2，则 ＝（1， m ，－1）， ＝（－1，0，－1），∴ · ＝－1＋0＋1＝0，∴直线 D1 E 与 A1 D 所成角的大小为90°.∵ ＝（－1，2－ m ，0）， D1 E ⊥ EC ，∴ · ＝－1＋ m （2－ m ）＋0＝0，解得 m ＝1，∴ AE ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标 系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为 “斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均 为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直 角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标： i ， j ， k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（ x 轴， y 轴， z 轴）正方 向的单位向量，若向量 n ＝ xi ＋ yj ＋ zk ，则 n 与有序实数组（ x ， y ， z ）相对应，称向量 n 的斜60°坐标为[ x ， y ， z ]，记作 n ＝ [ x ， y ， z ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （1）若 a ＝[1，2，3]， b ＝[－1，1，2]，求 a ＋ b 的斜60°坐标； 解： 由 a ＝[1，2，3]， b ＝[－1， 1，2]，知 a ＝ i ＋2 j ＋3 k ， b ＝－ i ＋ j ＋2 k ，所以 a ＋ b ＝（ i ＋2 j ＋3 k ）＋（－ i ＋ j ＋2 k ）＝3 j ＋5 k ， 所以 a ＋ b ＝[0，3，5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝2， AA1＝ 3，∠ BAD ＝∠ BAA1＝∠ DAA1＝60°，如图，以{ ， ， }为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若 ＝ ，求向量 的斜60°坐标； ②若 ＝[2， t ，0]，且 ⊥ ，求｜ ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：设 i ， j ， k 分别为与 同方向的单位向 量， 则 ＝2 i ， ＝2 j ， ＝3 k ， ① ＝ － ＝（ ＋ ）－（ ＋ ） ＝－ ＋ ＋ ＝－2 i ＋2 j ＋ k ＝［－2，2， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ②由题得 ＝ ＋ ＋ ＝2 i ＋2 j ＋3 k ， 因为 ＝[2， t ，0]，所以 ＝2 i ＋ tj ， 由 ⊥ · ＝（2 i ＋2 j ＋3 k ）·（2 i ＋ tj ）＝ 0⇒4 i2＋2 tj2＋（4＋2 t ） i · j ＋6 k · i ＋3 tk · j ＝0⇒4＋2 t ＋（4 ＋2 t ）· ＋3＋ ＝0⇒ t ＝－2. 则｜ ｜＝｜2 i －2 j ｜＝ ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $