2.1等式性质与不等式性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，通过选择、填空、解答题三阶分层，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|用不等式表示不等关系|结合生活情境（如限速、人体比例），落实数学眼光| |提升层|不等式性质应用与比较大小|通过作差/商法训练数学思维，强化性质辨析| |综合层|条件判断与综合证明|结合充要条件与取值范围探究，提升数学语言表达能力|

2.1 等式性质与不等式性质 同步练习（附答案及解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 7．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 10．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 12．设，，，，则、的大小关系为______． 13．设，，且，则和的大小关系是_________． 14．命题“”是命题“”的___________条件． 15．如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 16．设，使和同时成立的一个充分条件是______． 三、解答题 17．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 18．已知，求证:. 19．比较与的大小. 20．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.1 等式性质与不等式性质（附答案及解析）》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B D B D C A 1．D 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】小于且不小于，. 2．D 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 3．C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 4．A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 5．B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 6．D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 7．B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 8．D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 9．C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 10．A 【知识点】由不等式的性质证明不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可. 【详解】当， 又，∴，充分性成立， 反过来，不妨取，，，，则， 但且不成立，故必要性不成立． 故选：A. 11． 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 12． 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 13． 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 14．必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】当时，，所以命题“”是命题“”的不充分条件； 若，则，两边同时乘以得， 所以命题“”是命题“”的必要条件； 综上，命题“”是命题“”的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分 15．> 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 16．（答案不唯一） 【知识点】充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 17．(1) (2) 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 18．证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 19． 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】 20．(1) (2) (3) 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $