3.4函数的应用（一）课前导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的应用（一）”，通过“温故”回顾幂函数定义、常见幂函数性质等知识，为“知新”环节函数模型应用搭建学习支架，引导学生掌握用函数模型解决实际问题的步骤及一次、二次、分段函数模型的应用。 资料特色在于结合流量计算、购物折扣等实际问题设计课前自测，通过数学史反思强化函数建模思想，助力学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析问题，提升数学语言表达与应用意识，培养创新思维和实践能力。

3.4函数的应用（一） 预习提要 1.回顾幂函数； 2.阅读课本P93—P95内容，自主探究函数的应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是，是. 2．五个常见幂函数：，它们的图象都过定点. 3．在第一象限内，当时，幂函数是函数（填＂增＂或＂减＂）； 当时，幂函数是函数（填＂增＂或＂减＂）. 4．幂函数的定义域是，值域是，奇偶性是函数，在上单调递. 5．幂函数的定义域是，值域是，奇偶性是函数，在上单调递. 6．幂函数的定义域是，值域是，奇偶性是. 7．幂函数的定义域是，在上单调递. 二、知新 1．用函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：理解题意，找出关系； （2）建模：设出变量，建立关系式； （3）求解：利用函数知识求出； （4）还原：将数学结果还原为问题的答案. 2．一次函数模型：形如的函数，常用于描述匀速变化的实际问题，如行程问题中路程与时间的关系：. 3．二次函数模型：形如的函数，常用于求最值的实际问题，如面积最大、利润最等. 4．二次函数求最值的方法：先确定函数的，再结合和定义域，求出最大值或最小值. 5．分段函数模型：在自变量的不同取值范围内，函数有不同的，常用于阶梯式收费问题，如水费、电费、出租车计费等. 课前自测 1．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定:如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算. 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款( ). A.1270元 B.1440元 C.1350元 D.1250元 3．在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 4．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 2.50元/ 超过但不超过的部分 3.60元/ 超过的部分 4.50元/ 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为( ) A. B. C. D. 反思 自欧拉完善完整函数理论后，数学家拉格朗日率先提出：函数是描述一切动态变化的通用工具，各类自然规律、社会经济问题都能转化为函数模型求解，由此拉开函数大规模实际应用的序幕. 在拉格朗日所处时代，力学、天文计算只能依靠零散公式，没有统一建模思路.他提出标准化建模流程：第一步设定自变量与因变量，第二步梳理两者对应关系建立函数，第三步结合定义域、单调性、最值、奇偶性分析实际问题，这套流程沿用至今. 生活与科研中随处可见函数模型：物理领域，自由落体高度、弹簧弹力、电路功率均为函数关系，利用函数最值可计算临界速度、最大受力；经济领域，成本、销量、利润构成二次函数，借助单调性判断涨价或降价的盈利区间，用最值算出最大收益；日常民生，打车计费、水电阶梯收费属于分段函数，气温随时间变化、商品库存随销量变化可通过图象直观分析趋势. 答案及解析 一、温故 1．；自变量；常数 2． 3．增；减 4．；偶；增 5．；；奇；增 6．；非奇非偶 7．；减 二、知新 1．（1）数量；（2）函数；（3）数学问题的解；（4）实际 2． 3．大 4．对称轴；开口方向 5．解析式 课前自测 1．答案：D 解析：根据题意，设，由题意可得，解得，故，当时，，解得， 故选：D. 2．答案：A 解析：设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，， 优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，， 因此，解得，所以王先生购物实际付款（元）.故选:A 3．答案：D 解析：当时函数为一次函数，单调递增，当时取到最大值即，当时，函数为开口向下的二次函数，对称轴，由于t为整数，故当时取到最大值为，综上应至少准备大巴车的数量是10辆，故选：D 4．答案：D 解析：设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则， 所以，解得，所以天然气使用量为，故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $