2025-2026学年人教版八年级下册数学期末练习 第二十章 勾股定理（专项训练）-

**基本信息** 聚焦八年级下册勾股定理单元，通过旋转楼梯、自动感应门等生活科技情境考查定理应用，覆盖基础巩固到创新实践，适配期末专项训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9题|勾股定理应用（折树问题）、逆定理（正方形面积关系）|结合圆柱展开（旋转楼梯）考查空间观念| |填空题|8题|直角三角形边长计算（双解问题）、最短路径（正方体蚂蚁爬行）|设计规律探究（如连续作直角三角形）| |解答题|6题|实际应用（渔船距离）、跨学科（物理滑块实验）|通过物理实验滑块滑动问题，体现数学思维与应用意识|

期末练习第二十章勾股定理（专项训练）-2025-2026学年八年级下册数学人教版 一、单选题 1．下列各组线段中，能构成直角三角形，且有一个角是的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D． 2．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 3．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 4．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 5．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 6．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯．如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点，为扶手的两端点．抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，则这一层圆形旋转楼梯的扶手长度是（     ）（取3） A．3 B．7 C． D． 7．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．给出下列命题： ①在中，如果两边长分别为6和8，那么第三条边长为10； ②在中，如果满足，那么； ③在中，如果，那么是直角三角形； ④在中，如果，那么是直角三角形． 其中假命题的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 二、填空题 10．已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 11．如图，在中，为的中点，，，，则______． 12．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 13．如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 14．一个直角三角形斜边长为20，周长为48，则此直角三角形的面积为_______ ． 15．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 16．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 17．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 三、解答题 18．利用勾股定理在数轴上画出的点P 19．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，试判断的形状． 20．如图，四边形，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 21．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 22．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末练习第二十章勾股定理（专项训练）-2025-2026学年八年级下册数学人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D D C C D A B A 1．B 【分析】先用勾股定理逆定理验证是否为直角三角形，再根据直角三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半验证即可． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，排除． B．最短边为2，最长边为4， ∵ ∴该三角形是直角三角形， ∵满足， ∴符合角的要求，故符合题意； C．最短边为3，最长边为5， ∵， ∴该三角形是直角三角形， ∵， ∴不存在角，排除； D．，不能构成直角三角形，排除． 2．D 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 3．D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 4．C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 5．C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 6．D 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，扶手即为展开矩形的对角线，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，扶手在展开图中为直角三角形的斜边， 根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 即这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 7．A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 8．B 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵（米）， ∴（米）. 9．A 【分析】利用勾股定理，勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐个判断四个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：对命题①，∵中，未说明6和8均为直角边，当8为斜边时，第三边长为，不是10，∴①是假命题； 对命题②，∵在中，满足，根据勾股定理逆定理，直角是和的夹角，即，不是，∴②是假命题； 对命题③，∵，三角形内角和为，∴，是直角三角形，∴③是真命题； 对命题④，∵，设，，，则，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，∴④是真命题； 因此假命题是①②． 10．10或/或10 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，因此需分两种情况讨论，利用勾股定理求解第三边长，根据三角形边长为正舍去负解即可． 【详解】解：设第三边长为 ①当和都是直角边，第三边是斜边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； 综上，第三边长为或． 11． 【分析】根据中点的性质结合可推出，再由等边对等角结合三角形内角和定理可证得，可判定为直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：为的中点， ， ， ， ，， ，即， ，即， 是直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得． 12．3 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可得出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13． 【分析】连接，先利用证明，得到，再在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， cm， 在中，由勾股定理得： ． 14．96 【分析】根据直角三角形斜边和周长可得两直角边的和，结合勾股定理与完全平方公式求出两直角边乘积的一半，即可得到三角形面积． 【详解】解：设此直角三角形的两条直角边长分别为，， ∵斜边长为，周长为， ， ∴， 根据勾股定理得 ， 对两边平方，由完全平方公式得： ， 将代入得 ， 整理得， 即， 此直角三角形的面积为． 15． 【详解】解：如图， ∴． 16．5 【分析】首先根据尺规作图的步骤，判断是的角平分线，得到角相等的条件，过点G作的垂线，利用角平分线的性质，得到该垂线段的长度等于的长度，用勾股定理计算AB的长度，再通过三角形面积的不同表示方法，或者利用角平分线分对边成比例的性质，建立关于或的方程，结合的长度求解． 【详解】解：过G作于H， 由作图得：平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 设． 则，即：， 解得：， ∴ ． 17． 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：， 以此类推，可得 ． 18． 【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点． 【详解】略 19． 是等腰直角三角形 【分析】利用两点间的距离公式求出的长，可得，是直角三角形，据此可得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 20．(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 21．(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，即可得到； （2）设，由勾股定理得，求出的值即可． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， 由勾股定理得：， ， ， . 22．(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $