第20章 勾股定理 暑假作业限时训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心内容，通过分层题型构建"概念理解-定理应用-综合探究"的逻辑链，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与证明|选择1、2、6、14题|定理证明辨析、概念判断、赵爽弦图应用|从定理证明（面积法）到概念辨析，构建逻辑基础| |定理应用与计算|选择3-5、7-8，填空9-12|面积计算、直角三角形判断、实际应用（云梯/航行）、折叠/数轴问题|从平面几何计算到立体最短路径，体现知识迁移| |综合实践与探究|解答13、15-18题|格点作图、实际情境建模（收购站/旗杆）、几何综合证明|结合生活情境与几何综合，发展应用意识与推理能力|

2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【03】 人教版新课标第二十章 勾股定理 限时时长：60分钟　满 分：100分 完成日期： 实际用时： . 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，为直角三角形的两直角边，为斜边，下列各图能证明勾股定理的是     ． A. B. C. D. 2.下列说法中正确的是(     ) A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中，，所以 D. 在中，，所以 3.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(     ) A. B. C. D. 4.的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是      。 A. ，， B. ， C. D. 5.如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为。 A. B. C. D. 6.我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理。如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为。 A. B. C. D. 7.如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(     ) A. B. C. D. 8.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上点在点的右侧，且，则点所表示的数为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，，则数轴上点所表示的数是           ． 10.已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长为           ． 11.一艘轮船先向东北方向航行小时，再向西北方向航行小时，船的航速是每小时千米，则船离出发地的距离为           ． 12.如下图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出三角形，使第一个三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三边长都为无理数． 14.本小题分 如图，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面横倒后的位置为，连结设，，，利用梯形面积的不同算法可以说明勾股定理成立．请你尝试推导出勾股定理． 15.本小题分 如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少千米处？ 16.本小题分 如图，和均为等边三角形，与交于点。若，连接，。 求证： 若于点，，求的面积。 17.本小题分 学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，如图，得到如下信息： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米； 当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米． 根据以上信息，求旗杆的高度． 18.本小题分 舞狮文化源远流长，元宵花灯表演里的“迎龙舞狮”如图是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形如图，，和垂直于水平线，且点，，在同一水平线上，，， 求的度数． 若，求台柱与的高度差． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【03】 人教版新课标第二十章 勾股定理 限时时长：60分钟　满 分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，为直角三角形的两直角边，为斜边，下列各图能证明勾股定理的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  2.下列说法中正确的是(    ) A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中，，所以 D. 在中，，所以 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和． 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断、、、选项． 【解答】 解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定是斜边，故本命题错误，即选项错误； B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即选项错误； C、，所以其对边为斜边，故本命题正确，即选项正确； D、，所以斜边为，所以，故本命题错误，即选项错误， 故选：． 3.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是      。 A. ，， B. ， C. D. 【答案】C  【解析】【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理。 A.，，，，是直角三角形，故A选项不符合题意 B.，，，是直角三角形，故B选项不符合题意 C.，，不是直角三角形，故C选项符合题意 D.，可以设，，，，是直角三角形，故D选项不符合题意。故选C。 5.如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为。 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【点拨】本题考查勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键。 由题意，得，，，，， ， 。 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，即消防车需要从点处向点处移动的距离为。故选A。 6.我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理。如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为。 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【点拨】本题考查勾股定理的应用。 ，，。 依题意，得，， 正方形的面积为。故选D。 7.如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】将此长方形折叠，使点与点重合，．．根据勾股定理可知，，．的面积为故选B． 8.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上点在点的右侧，且，则点所表示的数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由条件可知因为，所以因为点表示的数为，所以点表示的数为故选B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，，则数轴上点所表示的数是          ． 【答案】  【解析】如图因为，，所以因为，所以，所以，所以，所以数轴上点所表示的数是故答案为． 10.已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长为          ． 【答案】或  【解析】【分析】 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解． 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：是直角边，是斜边；、均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【解答】 解：长为的边是直角边，长为的边是斜边时： 第三边的长为：； 长为、的边都是直角边时： 第三边的长为：； 综上，第三边的长为：或． 故答案为或． 11.一艘轮船先向东北方向航行小时，再向西北方向航行小时，船的航速是每小时千米，则船离出发地的距离为          ． 【答案】  12.如下图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为          ． 【答案】  【解析】如图， 长方体盒子的宽为，高为，，，故答案为． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出三角形，使第一个三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三边长都为无理数． 【答案】解：如图所示，此题答案不唯一。 在图中，，，； 在图中，，，； 在图中，，，。 14.本小题分 如图，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面横倒后的位置为，连结设，，，利用梯形面积的不同算法可以说明勾股定理成立．请你尝试推导出勾股定理． 【答案】由题意可得， 所以， 所以， 从而．  15.本小题分 如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少千米处？ 【答案】解： 使得，两村到站的距离相等， 于点，于点， ， ，， 设，则 ，， ， 解得 故站应建在离站处． 16.本小题分 如图，和均为等边三角形，与交于点。若，连接，。 求证： 若于点，，求的面积。 【答案】(1)证明:BEA和CFA都是等边三角形, ABD=ACD=。 BD=CD, DBC=DCB, ABD+DBC=ACD+DCB, 即ABC=ACB, AB=AC。  (2)由(1)知AB=AC=CF=2。 CFAB于点H,AC=AF, FH=CH=CF=1。 在RtAHC中,AHC=,AC=2,CH=1, AH==,HB=AB-AH=2-。 在RtBHD中,BHD=,HBD=,HDB=, BD=2HB=4-2, HD==(2-)=2-3, ABD的面积为ABHD=2(2-3)=2-3。  17.本小题分 学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，如图，得到如下信息： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米； 当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米． 根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为米．  18.本小题分 舞狮文化源远流长，元宵花灯表演里的“迎龙舞狮”如图是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形如图，，和垂直于水平线，且点，，在同一水平线上，，， 求的度数． 若，求台柱与的高度差． 【答案】 (1) 解:AC=m,CE=2m,AE=m, A+C=A. ACE=.  (2)过点C作CHEF于点H. CDBF,EFBF,CDF=F=CHF=. 四边形CDFH是矩形. CH=DF=m. EH==m. 台柱CD与EF的高度差是m.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【03】 人教版新课标第二十章 勾股定理 限时时长：60分钟　满 分：100分 完成日期： 实际用时： . 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，为直角三角形的两直角边，为斜边，下列各图能证明勾股定理的是     ． A. B. C. D. 2.下列说法中正确的是(     ) A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中，，所以 D. 在中，，所以 3.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(     ) A. B. C. D. 4.的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是      。 A. ，， B. ， C. D. 5.如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为。 A. B. C. D. 6.我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理。如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为。 A. B. C. D. 7.如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(     ) A. B. C. D. 8.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上点在点的右侧，且，则点所表示的数为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，，则数轴上点所表示的数是           ． 10.已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长为           ． 11.一艘轮船先向东北方向航行小时，再向西北方向航行小时，船的航速是每小时千米，则船离出发地的距离为           ． 12.如下图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出三角形，使第一个三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三边长都为无理数． 14.本小题分 如图，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面横倒后的位置为，连结设，，，利用梯形面积的不同算法可以说明勾股定理成立．请你尝试推导出勾股定理． 15.本小题分 如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少千米处？ 16.本小题分 如图，和均为等边三角形，与交于点。若，连接，。 求证： 若于点，，求的面积。 17.本小题分 学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，如图，得到如下信息： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米； 当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米． 根据以上信息，求旗杆的高度． 18.本小题分 舞狮文化源远流长，元宵花灯表演里的“迎龙舞狮”如图是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形如图，，和垂直于水平线，且点，，在同一水平线上，，， 求的度数． 若，求台柱与的高度差． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $