精品解析：山西临汾市曲沃县第二高级中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

曲沃二中2025-2026学年下学期高一期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题中只有一项符合题目要求. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 3. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A. 6 B. 4 C. 11 D. 11.5 4. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（ ） A. 景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B. 景区这7日数据的极差是1.7 C. 景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D. 景区这7日数据的方差比景区的大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C. 设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D. 设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 13. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 14. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知平面向量，其中． （1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标； （2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值． 17. 中，角所对的边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若的面积，求的值． 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 19. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲沃二中2025-2026学年下学期高一期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题中只有一项符合题目要求. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的充要条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得. 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果． 【详解】解：复数满足，所以． 所以的共轭复数是． 故选：B． 3. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A. 6 B. 4 C. 11 D. 11.5 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列：， ，所以这组数据的上四分位数为第个数据，即. 4. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以， 所以，故选项A正确. 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图所示： 则，，， 作于F，则， 所以， 故四边形的周长为. 6. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知： . 7. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到两条异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】因为直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接， 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 在长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 8. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（ ） A. 景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B. 景区这7日数据的极差是1.7 C. 景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D. 景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【解析】 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C. 设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D. 设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的定义分析判断，对于B，根据分层抽样的定义结合题意求解判断，对于C，根据平均数和方差的性质分析判断，对于D，根据独立事件和互斥事件的定义分析判断. 【详解】对于A，若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，所以A正确， 对于B，由题意可知女运动员应抽取人，所以B错误， 对于C，一组数据的平均数为x，方差为， 若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据， 则新数据的平均数为2x，方差为，所以C正确， 对于D，因为A和B是两个概率大于0的随机事件，A和B相互独立， 所以，所以A和B一定不互斥，所以D正确， 故选：ACD 10. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理即可判断；根据选项B的条件得来判断B；根据面面垂直的判定定理判断C；根据面面平行的判定定理判断D. 【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条不同直线互相平行，故A正确； 对于B，因，不妨设直线的方向向量分别为，则可看成平面的法向量， 又因，则，故，故B错误； 对于C，根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，故C正确； 对于D，根据面面平行判定定理，若，才能得到， 因缺少的位置关系，故得不到，即D错误. 11. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用余弦定理计算来判断 B利用三角形的面积公式计算即可； C利用正弦定理计算即可； D利用即可求出内切圆半径. 【详解】解：， 由于在中，则， 故，A正确； ，B错误； 设外接圆半径为，，C正确； 设内切圆半径为，则， 即，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设内切球半径为，由球的体积公式，代入得，解得，即， 圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高， 圆柱表面积为，代入得. 13. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【解析】 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 14. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 【答案】 【解析】 【详解】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为， 所以， 考点：几何体的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为是实数， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 ， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，． 16. 已知平面向量，其中． （1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标； （2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数乘及向量的模求解即可. （2）根据向量垂直及向量数量积运算律求出，结合向量夹角的求法求解即可. 【小问1详解】 设 由得 ，解得 所以 【小问2详解】 因为与垂直，所以 即， 又，，所以. 所以向量夹角的余弦值. 17. 中，角所对的边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若的面积，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，三角形内角和定理以及诱导公式即可得，解出即可得到的大小； （2）由可得，再根据余弦定理求出，然后根据正弦定理即可求出的值． 【小问1详解】 原式可化为：，解之得：或（舍去） ∵，∴ 【小问2详解】 因为，∴．由余弦定理得：． 正弦定理得：，代入得． 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，即， 所以，又，，平面， 所以平面. （3） 当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证. （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1）. （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $