精品解析：山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 频数 C. 方差 D. 极差 2. 气象局预报，今天小店区的降雨概率是，迎泽区的降雨概率是，下列说法正确的是（ ） A. 小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B. 小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C. 小店区和迎泽区都会降雨 D. 迎泽区降雨的可能性比小店区大 3. 已知五个数，，，，的极差为4，方差为2，则，，，，的（ ） A. 极差为12，方差为18 B. 极差为9，方差为6 C. 极差为12，方差为6 D. 极差为9，方差为18 4. 已知，表示两条不同直线，，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 7. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ） A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动 C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为___________. 13. 某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 14. 在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数 16. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17. 山大附中年春季校运会主题为“民族团结”，某班在筹备过程中指定名同学依次在分别写有“民”，“族”，“团”，“结”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果． （1）求最后的结果中同时有“民”“族”“团”“结”四字的概率； （2）求最后的结果中同时有“团”“结”两字的概率． 18. 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体． （1）求的余弦值； （2）证明：平面； （3）过，，的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别是，，求． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 频数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据数字特征的含义即可求解. 【详解】方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，极差是最大值和最小值的差，频数是对数据次数的统计，平均数是描述一组数据的集中趋势的量. 故选：A 2. 气象局预报，今天小店区的降雨概率是，迎泽区的降雨概率是，下列说法正确的是（ ） A. 小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B. 小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C. 小店区和迎泽区都会降雨 D. 迎泽区降雨的可能性比小店区大 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的本质是事件发生的可能性大小进行逐一判断可得. 【详解】概率的本质是表示事件发生的可能性大小，不是确定的必然结果. 小店区降雨概率，只说明降雨可能性大，不是一定降雨； 迎泽区降雨概率，只说明降雨可能性小，不是一定不降雨， 两个区域都存在降雨或不降雨两种可能. 对A：将概率当成必然结果，错误； 对B：符合概率的意义，正确； 对C：两个区域都不是一定会降雨，错误； 对D：因为，小店区降雨可能性更大，错误. 3. 已知五个数，，，，的极差为4，方差为2，则，，，，的（ ） A. 极差为12，方差为18 B. 极差为9，方差为6 C. 极差为12，方差为6 D. 极差为9，方差为18 【答案】A 【解析】 【详解】对于一组数据，如果每个数据都进行线性变换， 其中为常数，那么新数据的极差是原数据极差的倍， 新数据的方差是原数据方差的倍. 由题可知，，原极差为4，方差为2， 则新极差为，新方差为，A正确. 4. 已知，表示两条不同直线，，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面平行垂直的判定与性质即可求解. 【详解】对于A选项，若，，则与可能相交，平行或异面，故A错误； 对于B选项，若，，则与的关系无法确定，可能平行，相交或者在平面内，故B错误； 对于C选项，因为，，，设， 因为，所以，同理可证， 又因为，二面角的平面角是直角，所以，故C正确； 对于D选项，，，则或，故D错误. 5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可. 【详解】如图，从5个点中任取3个有 共种不同取法， 3点共线只有与共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为. 故选：A 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨. 故选：B. 7. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ） A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动 C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内 【答案】ACD 【解析】 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解判断A；转化为判断正四面体的外接球在正三棱台的内判断B；运用等体积法求内切球半径可判断C；根据三棱台的各点都在以底面外心为球心，底面圆半径为球的半径内部判断D. 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，在中，因为， 所以，同理，所以， 可知三棱锥为正四面体. 由正棱台的性质可知，过AC的平面截与平面相交时，该三棱台所得截面为梯形， 过AC的平面截与侧棱相交时，该三棱台所得截面为三角形，因为为的中点， 所以为的高即到的最短距离，同理为到的最短距离， 所以截面三角形周长的最小值为的周长,故A正确； 由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示， 则，，又因为，所以， 由题意知，、、、分别为、、、的中点， 又，所以， 又因为，， ，即， 所以， 所以. 设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知， ，则， 所以，解得， 所以内切球的直径为， 所以直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切），故C正确； 先证在正四面体中，棱长，则其外接球的半径为： 取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，，则， 所以，在直角中，， 即，所以. 对于选项B，棱长为的正四面体的外接球半径为， 其直径为，故棱长为的正四面体不可以在该棱台内随意转动，故B错误； 对于选项D，因为的外接圆半径为， 且， 所以正三棱台可以放置在以为球心，半径为的球内， 即该三棱台可以整体放入直径为的球内，正确 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据即可解出． 【详解】事件A包含的样本点有，所以事件A包含的样本点的个数为． 故答案为：． 13. 某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 【答案】0.86 【解析】 【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为，乙班8个人的视力检测数据分别为. 甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，，； 乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，，. 这20个人的视力的平均数为； 方差 . 14. 在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设（），利用等面积法求到直线的距离；通过线面垂直关系，将到平面的距离转化为到的垂线段长度，求得，将乘积表示为的函数，通过单调性分析其取值范围. 【详解】 设，， 在中，，，， 由等面积法，点到直线的距离满足 ， 连接，过作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 又，且平面， 因此平面， 故即为点到平面的距离， 在中，，，， 由等面积法得， 于是， 令，则， 设，则在上单调递增， 当时，，故； 当时，，故， 由于，两端均取不到，故的取值范围为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数 【答案】（1） （2）平均分为71分，中位数为70分，众数为65分． 【解析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得． （2）由（1）可知每组频率依次为：0.05，0.15，0.3，0.25，0.15，0.1， 估计本次数学测试成绩的平均分为 （分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为70分． 由频率分布直方图估计本次数学测试成绩的众数为65分． 16. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取中点，连接， 和均为正三角形，，， ，，面，面， 面，． （2）存在点，. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得面，进而得证； （2）存在点，，利用线面平行的判定定理即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在点，， 连接交于点，连接， 在梯形中，，， ， 又，，， 又平面，平面， 平面. 17. 山大附中年春季校运会主题为“民族团结”，某班在筹备过程中指定名同学依次在分别写有“民”，“族”，“团”，“结”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果． （1）求最后的结果中同时有“民”“族”“团”“结”四字的概率； （2）求最后的结果中同时有“团”“结”两字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由古典概型的概率公式计算可得； （2）根据古典概型的概率公式及事件运算的概率公式计算可得. 【小问1详解】 设事件“同时有“民”“ 族”“ 团”“ 结”四字”， 由题意得，， . 【小问2详解】 设事件“有“团”字”，事件“有“结”字”， 则，，， ， 所以. 18. 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体． （1）求的余弦值； （2）证明：平面； （3）过，，的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别是，，求． 【答案】（1） （2）证明：取中点，连，，则，， 所以即为二面角的平面角． 在中，， 所以平面角的余弦值为. 由（1）及对称性可知，二面角平面角的余弦值为， 所以平面角与平面角互补，所以，，，四点共面. 又，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义，结合余弦定理求解即可. （2）根据二面角的定义，结合余弦定理求得二面角，进而得到，，，四点共面；结合所有棱长都相等证得四边形为平行四边形，即，根据线面平行的判定定理证明即可. （3）结合（2）几何体为三棱柱，根据棱锥及棱柱的体积公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连，， 已知与均为等边三角形，所以，， 则即为二面角的平面角． 设棱长为，则，， 在中，由余弦定理. 所以的余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，平面，平面，所以平面. 又，，平面，所以平面平面． 结合（2）同理可得，四边形为平行四边形，即几何体为三棱柱． 因此平面将三棱柱分为三棱锥与四棱锥． 设该三棱柱体积为， 又，， 所以. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义求解即可. （2）根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质，结合离散曲率的定义求得；根据点到平面距离的定义，结合三角函数求解即可. （3）根据三角函数之间的关系得到关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得 ， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 又，，，平面，则平面. 又平面，所以，即. 又，即，解得. 过点作于点， 因为平面，平面，所以. 又，，平面，则平面. 因此线段的长即为点到平面的距离. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 依题意，，，， 则，. 设，则， ， 在中，， 由，得，， 因此， 而，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $