第十九章二次根式 暑假提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式暑假提升单元卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，融入秦九韶公式等文化素材及实际应用情境，适配暑假复习强化。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次根式性质、化简、有意义条件等|基础辨析，如第5题同类二次根式判定| |填空题|6|运算、代数式求值、新定义运算|简洁应用，如第13题二次根式有意义条件| |解答题|6|混合运算、实际应用、新定义与阅读探究|综合提升，如21题新运算结合几何面积，22题阅读材料与面积计算，体现运算能力、推理意识与应用意识|

第十九章二次根式暑假提升训练 一、单选题 1.下列各式成立的是() A.(-2)}=-2 B.√102=-10 C.(（2=2D.V4=2 2.使式子Vx-2在实数范围内有意义，则x的值可以是(） A.1 B.-1 c.0 D.2 3.计算V2-V5的结果为() A.5 B.V6 C.3 D.6 4.比较大小：2W5,32,V5的大小顺序是() A.2W5<32<V5 B.3W2<2V3<V15 c.5<23<32 D.2V5<I5<3V2 5.如果最简二次根式V2与Va-3能够合并，那么a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 6。若一个长方形的面积为18，其中一条边长为2√5，则相邻边长为() A.3 B.2V5 c.3v5 D.4V5 7.估算V2×(N18+V5)的结果在() 第1页，共5页 A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简V(a+)2+V仍-1)2-V仍-a) 的结果是 a A.2a B.-2b C.-2 D.0 9.如图，正方形A,B,C的边长分别为2+V2,1和2-V2,则图中阴影部分的面积为 BC A.6+2V2BV2+4 C.6-4V2 D.5V2-3 10.我国南宋时期数学家秦九韶(1202~1261)著有《数书九章》十八卷，是反映我国当时 数学成就的代表作，书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”，是我国古代数学的辉煌 成就之一.如果将三角形三边分别记为a,b,C,则三角形的面积为 这就是著名的秦九韶公式.若在 △ABC 中， a=5’ 第2页，共5页 b=6,c=7,则△ABC 的面积为() A.6W2 B.6V5 c.65 D.6V6 二、填空题 1.计算：(2-(2+) 12.己知一个正方形的面积为18，则其边长为 13.若y=V2x-1+V3-6x+2026,则y= 14.正方形的边长为a,它的面积与一个长为12、宽为4的长方形的面积相等，则a的值为- 15,已如x=6+1,y=V6-1,则代数式r++2y的值等于 a c 1V2 16.若对实数a’b,c,d规定bd =ad-bc,则-3⑧ 三、解答题 17.计算： a2W2×55w2 2(2W5-6)(23+v6) 18.已知：x=V2+1,y=5-1 第3页，共5页 求-广的值： (2求r-3y+y的值. 19.如图，长方形内两个正方形的面积分别为4cm,6cm】 4cm2 6cm2 (1)求长方形的周长： (2)求图中两块阴影部分的面积和. 20.已知a=2+5,求2a2-8a+1的值，小明是这样分析与解答的： 2-V5 a =2-V3 因为2+5(2+3)2-) 第4页，共5页 所以a-2=-V5 所以(a-2)=3,即a2-4a+4=3, 所以a2-4a=-1 所以2a2-8a+1=2(a2-4a）+1=2x(-1)+1=-1 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： 1 (1)化简：V2+1 1 1 2计算：2+15+V2+4+V5++V2027+V2026； 1 (3)若a=3+22,求3a2-18a+1的值. 【定义新运算】对正实数a,b,定义运算“⊕”，满足a田b三叱 a+b.例如：当 a>0时，(2a）e1=2ax1-2a 2a+12a+1. 第5页，共5页 G ()当a>0时，计算：(2)⊕2=：(2a)⊕(2a)= (②)当a=2,b=V5时，求a⊕b的值是多少？ (3)【应用新运算】如图，在线段AB上取一点E,在同侧分别以AB、BE为边作正方形 ABCD 和正方 形BEG,连接DE、BD,AB=a,BE=b.若ABDE 的面积为3， AE=1,求(2a)⊕b©(2a)的值. 22.阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方. 如：5+2w6=(2+3)+22x3=(2°+(3)+22x5-(V2+: 7+210=(2+5)+22x5=(W2)+(N5+22×5=(V2+5. (1)填空： 第6页，共5页 4-25=(1+3)-21x3=P+(-2x1xV5=(-5: (②请你仿照小明的方法化简13+240 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面 积分别为5cm2和(32-6N15)cm',求剩余部分的面积. H D 第7页，共5页 参考答案 题号 1 2 6 8 0 10 答案 C D A D 0 D B D D 1.C 【详解】解：选项A,:V-2=V4=2≠-2，“A错误： ，：0-10，: 选项C,(-V2)=(-)x2)}=1x2=2,C正确： 选项D,:表示4的算术平方根，V4=2≠2，D错误. 2.D 【详解】解：式子Vx-2有意义， .x-220, 解得x≥2. 3.A 【详解】解：、 12-3=23-V5=√5 4.D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可. 【详解】解：(25=12，(32=18，（5=15， .12<15<18, 答案第1页，共10页 :25<5<32. 故选D. 5.D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一 元一次方程即可求解a的值. 【详解】解：“最简二次根式V2与Va-3能够合并 V2与Va-3是同类二次根式， ∴.a-3=2 解得：a=5. 6.C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公 式建立等式，通过二次根式运算验证选项. 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长 【详解】解：长方形面积=长×宽，已知面积为18，一条边长为2√5，则相邻边长=面积÷ 已知边长，即计算： 18a5-8--9 答案第2页，共10页 故选：C 7.D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出V2×(V8+V)的 结果，再根据无理数的估算方法求解即可. 【详解】解：V2×(V18+V) =√2xV18+√2x√5 =V36+√6 =6+√6 V4<6<Vg :2<V6<3 :8<6+V6<9 故选：D. 8.B 【详解】解：由数轴可知：a<-1<0<h<1,则有 +1<0,b-1<0,b-a>0 :V(a+12+Vb-l102-Vb-a2=-a-1-b+1-b+a=-2b, 9.D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A,B,C的面积求解即可. 答案第3页，共10页 【详解】解：图中阴影部分的面积为 (2+2+1+2-2)2+2)-(2+2j°-1-(2-2) =52+2)-(2+2)°-1-(2-v2 =10+52-(4+4W2+2-1-(4-4W2+2 =10+5√2-4-4V2-2-1-4+4V2-2 =5W2-3 10.D s6,wg 【详解】解：将 4咖(59门 -400-6) 4×864, =V216 =6v6 答案第4页，共10页 11.1 【详解】解：(V2-1N2+1=(V2-1P-2-1=1. 12.3V2 【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求 出正方形的边长 【详解】解：：一个正方形的面积为18， “其边长为V18=3V2 13.1013 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代 入求值即可. 【详解】解：：式子y=V2x-1+V5-6x+2026要有意义， 2x-1≥0① 13-6x≥0②' 1 .Fs. 2, 1 1 -1+V3-6×2+2026=0+0+2026=2026, Ay=号×2026=1013 2 答案第5页，共10页 14. 43 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值 【详解】解：根据题意，得a=12×4=48=42×3 a>0 “正方形边长“之0，舍去负根， 解得： a=4v3 15.24 【详解】解：x2+y2+2y=(x+y)}=(6+1+6-1=(2W6=24. 16.5V2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键： 根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算. 0 【详解】解：由题可知： b d =ad-be 1 -3⑧ =1xW8-(-3)x2=8+32=22+32=52 故答案为： 5W2 3W2 17.(1)10 答案第6页，共10页 36 【分析】(1)利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可： (2)利用平方差公式计算即可. 【详解】(1)解：原式=2×25×5x1 45V2’ 3 5V2, -32 Γ10； (2)解：原式=(2v5)2-(6)2 =12-6 =6 18.(a)4V2 33 【分析】(9由已知可得x+y=2W2,x-y=2,再利用平方差公式计算即可： (2)由已知可得x-y=2,y=1,再利用完全平方公式将原式变形为(x-y-少，进而 代入计算即可. 【详解】(1)解：：x=V2+1,y=V2-1 答案第7页，共10页 x+y=(N2+1+(2-=22,x-y=(2+-(N2-1=2, 原式=(x+x-y) =2V2×2 =4V2」 (2)解：：x=V2+1,y=V2-1, x-y=(5+-(2-=2,=(2+2-=1, 原式=(r2-2y+y2）w =(x-y)2-y =22-1 =3 19.(4+4v6)cm (2(2v6-4）cm2 【分析】（求出大正方形的边长为V6cm,小正方形的边长为2cm,即可求出答案： (2)用长方形面积减去正方形面积即可. 【详解】(1)解：小正方形的边长为：、 4=2cm 大正方形的边长为： 6cm 所以长方形的周长为：[(2+V6)+6×2=(4+46)cm 答案第8页，共10页 (2)解：由第一问可知： 长方形的长为(2+V6)cm,长方形的宽为V6cm, 长方形的面积为：(2+v6小6=(2v6+6)cm2, 所以阴影部分的面积和为： (26+6)-4-6=(26-4)cm2. 20.①V2-1 (2)V2027-1 ③)2 【分析】(1)直接分母有理化即可得到答案； 1 (2)可求出√n+1+√n =n+1-n (n为正整数)，据此把所求式子的每一项分母有理 化，再计算即可： (3)分母有理化得到0=3-252，则a-3=-2√5，进而得到-6a=-1,再利用整体代 入法求解即可. 2-1-5-1-2-1 【详解】(1)解：V2+1（V2+1×(2-1)2-1 (2)解：设n为正整数， 答案第9页，共10页 √n+l-√n -n+i-n=n+i-历 则Vn+l+√n（n+1+n)(Vn+1-Vnn+l-n 2+1+5+V2+V4+5+…+2027+V2026 =√2-1+V5-√2+V4-√5+…+√2027-√2026 =√2027-1： 3-2W2 3-22=3-2W2 (3)解：：43+22(3+22)×3-2W2)9-8 .a-3=-2V2 :a-3y=(-22,a2-6a+9=8, a2-6a=-1 :.3a2-18a+1=3(a2-6a)+1=3x(-1)+1=-2 2a 21.(1)a+1,a: 2②45-6； 6 (3)5. 【分析】()根据新定义的运算法则计算即可： (②)首先根据新定义的运算法则计头4⊕6，然后把，的位代入化简即可： a,b 答案第10页，共10页 (3)根据新定义的运算先计算(2m⊕b⊕(2a）,根据已知图形可得ab=6,a-b=1,然后 根据完全平方公式求出a+b=5,再代入计算即可. 【详解】(1)解：当a>0时， (2a)⊕2=2a×2=4a_2a 2a+22a+2a+1, (2a)®(2a)=2a2a-4a2 2a+2a 4a (2)解：a©b=b a=2,b=5 a+b a©6=25.252-v3) =43-6 2+V5(2+V5(2-5 (3)解：·(20田b= 2a·b2ab 2a+b 2a+b, (2a)⊕b⊕(2a 2ab ⊕(2a) 2a+b 2ab (2a) =2a+b 2ab+2a 2a+b 答案第11页，共10页 4a'b 2a+b 2ab+2a(2a+b) 2a+b 4a'b 2ab+4a2+2ab 4a'b 4ab+4a2 ab b+a, ,△BDE 的面积为3， ab=3,即ab=6 2 .AE=1 ∴.AE=AB-BE=a-b=1 .(a+b)=(a-b)2+4ab=12+4×6=25 ∴.a+b=5a+b=-5 或 （不合题意，舍去)， (2a)b⊕(2a)=ah=6 atb 5 22.13；1 a13+240=(5+8)+25x8=(5+(⑧+25x⑧=(5+v8=(5+22) a(6v15-10)cm2 答案第12页，共10页 【分析】(1)结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可： (2)结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可： (3)设正方形DHFM的边长为cm,正方形BEFG的边长为m,根据题意得：X=5, y2=32-65=(3V3-V5,即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为2y,代值计 算即可. 【详解】(1)解：4-25=(1+3)-21x3=P+(N5-2x1×3=(-V5j (2)略 (3)设正方形DHFM的边长为xCm,正方形BEFG的边长为cm, 根据题意得：x2=5,y2=32-65=(V27-5=(33-V5, x=5,y=3V3-V5 剩余部分的面积为：2y=2×V5×(3V3-V5)=(6N15-10)cm2. 答案第13页，共10页