第十九章 二次根式（暑假巩固作业01）2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学二次根式暑假同步练习，以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，通过概念辨析、运算深化及实际应用，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|最简二次根式、有意义条件、基本运算|选择题直接考查概念辨析，填空题强化基础计算，夯实核心知识| |提升层|同类二次根式、化简求值、实际应用|结合社区广场面积问题，融入新定义运算，培养知识迁移能力| |综合层|规律探究、跨学科应用、复杂情境|通过秦九韶公式推导、黄金三角形问题，发展推理与创新意识，体现数学语言表达现实世界|

第十九章 二次根式（暑假巩固作业01） 一、选择题 1．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．当为何值时，代数式在实数范围内有意义（    ） A． B． C．且 D．且 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．若，，则下列运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．估计的值在（  ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 8．若（）的值是有理数，那么的最小偶数值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（     ） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 二、填空题 11．若有意义，则的取值范围是__________． 12．计算______． 13．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 14．已知，，则代数式的值为______． 15．两种浓度分别为，的糖水的混合含糖量为：，其中，分别为这两种糖水的质量（单位：），且满足：，则混合含糖量等于_______． 16．已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为________． 三、解答题 17．计算： (1) (2)已知，求的值． 18．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 19．先化简再求值：，其中． 20．有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 21．按要求完成下列各题： (1)化简：； (2)若是使得代数式有意义的一个非负整数值，求出一个的值． 22．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 23．阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 24．【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 (1)若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第19章 二次根式（暑假巩固作业01） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C A D D D C B 1．C 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A 的被开方数含分母，不满足条件，∴ A错误； ∵ 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴ B错误； ∵ 选项C 满足最简二次根式的两个条件，∴ C正确； ∵ 选项D ，被开方数含分母，不满足条件，∴ D错误． 2．D 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数需为非负数，分式的分母不能为0， ∵二次根式的被开方数需为非负数， ，解得； 又∵分式的分母不能为0， ，解得； 综上，的取值范围是且． 3．D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的合并法则以及乘除运算法则，逐一计算判断即可 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； ∵ ，∴B错误； ∵ ，∴C错误； ，等式成立，∴D正确 4．C 【分析】同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，据此判断即可． 【详解】A、时，，与不是同类二次根式； B、时，，与不是同类二次根式； C、时，，与是同类二次根式； D、时，，与不是同类二次根式． 5．A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 6．D 【详解】解：∵， 对选项A，根据二次根式的性质，，∴A正确； 对选项B，根据二次根式的性质，，∴B正确； 对选项C，根据二次根式乘法法则，，∴C正确； 对选项D，举例验证，令，，左边，右边，，等式不成立，∴D不正确． 7．D 【分析】本题用夹逼法估计无理数的大小，先将转化为根号形式，再通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，即可确定取值范围． 【详解】解：， ，，且， ， 即， ∴的值在和之间． 8．D 【分析】本题根据二次根式的性质，若为有理数，则必须是完全平方数，结合是偶数的要求，找出最小的即可． 【详解】解：是有理数，二次根式被开方数非负，且 是正的完全平方数，且要求为偶数 ，故首先排除奇数选项A、C 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是有理数，符合要求， 因此的最小偶数值是． 9．C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 10．B 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断的符号，再利用二次根式的运算法则逐一化简判断即可； 【详解】解： ∵ ，，∴ ，. ，①成立； ，与在实数范围内无意义，②不成立； ， ∵， ∴ ，③不成立； 由③的推导可得，④成立； 11． 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 12． 【详解】解：． 13． 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 14．8 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式因式分解，再代入，的值计算即可得到结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 15． 【分析】先根据二次根式被开方数非负的性质求出和的值，再按照题目给出的新定义运算代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得：， 解得 代入原式得：， 解得 将代入，得 ∵ ， ∴． 16．2 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质，并理解新定义． 根据新定义求出,根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出相关角的度数，证明，然后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是黄金三角形， ∴， ∴, ∵为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，然后把除法转化为乘法，计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）由题意可知，，， ． 18．(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 19．， 【详解】解：原式 当时， 原式． 20．化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【详解】略 21．(1) (2)当时，（或时，时，任选一个符合条件的结果即可） 【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则和完全平方公式展开原式，再合并同类项即可完成化简； （2）先根据分式和二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，选出符合要求的非负整数值x，代入化简后的T计算即可得到结果． 【详解】（1）解：展开并化简: （2）解：要使代数式 有意义，需满足 ， 解得， 因为是非负整数，所以可以取， 当时， ， 当时， ， 当时， 任选一个符合条件的值即可． 22．(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 23．(1) (2) (3) 【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可； （2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可； （3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 24．(1)该三角形的面积为 (2) ． 【分析】（1）根据可得，，，代入即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $