第二十一章四边形 暑假提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 第二十一章四边形暑假提升训练单元卷，涵盖选择、填空、解答题，聚焦平行四边形、菱形、矩形等知识，通过分层设计与情境化问题，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|平行四边形对角性质、菱形面积计算等|结合足球烯分子情境（第5题），考查正多边形内角| |填空题|6|正方形对角线性质、三角形中位线等|正五边形与正方形结合（第13题），强化空间观念| |解答题|9|矩形折叠证明、动点平行四边形判定等|第25题动点问题综合几何与代数，提升数学思维|

第二十一章 四边形 暑假提升训练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线，交于点，菱形的面积为8，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图①足球烯分子中的微粒；一个足球烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成；如图②，在正六边形中，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 10．如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．菱形中，于点，交于点，，则________． 12．如图，是正方形的对角线，延长至点，使，连接，若，则的度数为____________． 13．如图，正五边形的边在正方形的边的延长线上，点在该正方形的边上，则的大小为______度． 14．如图，菱形的对角线、相交于点，过点且与边、分别相交于点、．若，，则与的面积和为________． 15．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 16．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中，线段的最小值为________． 三、解答题 17．如图，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在处． (1)若，求的度数； (2)已知，，求的长． 18．已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的外角和是内角和的，求的值； (2)若这个多边形是正多边形，且它的一个内角比它的外角大，求的值． 19．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点，连接，，． (1)求证：； (2)若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 20．如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 21．如图，在中，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接、，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 22．如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 23．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 24．在正方形中，点是边上一点，是线段上一点，连接、，． (1)如图1， ①求证； ②求的度数． (2)当为等边三角形时，延长交边于点，，求的周长． 25．如图，在平行四边形中，于点，，，．动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，连结，当点运动到点时两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长度为________； (2)当点运动到的延长线上时，的长度为________；（请用含的代数式表示，不要求写出的取值范围） (3)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (4)点是边上一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的线段的长． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B D C A A C 1．D 【分析】平行四边形的对角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 2．C 【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及直角三角形斜边中线的性质．首先根据菱形的面积公式求出对角线的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 菱形的面积为，， ，即， ， ， ， 在中，为的中点， ． 3．D 【分析】利用含角直角三角形的性质可得，即得，利用平行四边形的性质得，再根据勾股定理解答即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， ． 4．B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，． 5．B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题、三角形的内角和、等腰三角形的性质，根据正六边形的性质及多边形的内角和得，再根据等边对等角及三角形的内角和得，根据角的数量关系即可求解． 【详解】解：六边形为正六边形， ，是正六边形的一条对称轴， ， ， ， ， ． 6．D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 7．C 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴. 8．A 【分析】根据矩形的性质得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴由勾股定理得， 即， 由算术平方根的定义可解得， ∴． 9．A 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，推出为等边三角形，求出，再根据斜边上的中线的性质，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴. 10．C 【分析】由平行四边形性质及角平分线可得为等边三角形，结合可得为中点，进而判定①；由三角形内角和可得，从而判定②；由中线性质判定③；由中位线定理及直角三角形边角关系判定④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； 平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，即点是的中点， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∴，故②正确； ∵是的中点， ∴，，故③正确； ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共3个． 11． 【分析】连接，由直角三角形的性质可得，结合菱形的性质容易证明是等边三角形，从而判断垂直平分，则，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 12．/67.5度 【分析】根据正方形的性质先得到，，再由等边对等角求解即可 ． 【详解】解：在正方形中，，为对角线， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴ ． 13． 【分析】根据正多边形的外角求得，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴． 14．1 【分析】由菱形的性质可得，，，，证明，得出，由此计算即可得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．12 【分析】由三角形中位线定理易得四边形是菱形，即可求得结果． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长是． 16． 【分析】连接，证明四边形为矩形，得到，进而得到当时，最小，此时最小，证明为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵G是对角线上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质得出，，，由直角三角形两个锐角互余得出，进而可求出． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，即可求出，设，则，先利用勾股定理求出x，进而求出，再利用勾股定理求出，进而可求出． 【详解】（1）解：∵矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在处． ∴垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵矩形， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 在中，， 即， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题目给出的外角和与内角和的关系，列出一元一次方程，即可求解； （2）先根据内角与外角的数量关系求出单个外角的度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】（1）解：已知多边形外角和为，边形内角和为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． （2）解：设该正多边形的一个外角为， 则它的内角为， ∵相邻内角与外角的和为， ∴， 解得， ∵多边形外角和为，正多边形每个外角相等， ∴． 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ； (2)证明：，  平分， ， 在和中， ， （）， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，即可得证； （2）证明（），得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行加平分角可得，可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明； （2）设菱形的边长为，在中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由于四边形为菱形，故设菱形的边长为， 则，， ∵，， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， 即， ∴四边形的面积为． 21．(1)证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； (2)（答案不唯一）， 方法一：添加四边形的对角线相等，即， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形； 方法二：添加四边形的一个内角为直角，如， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （2）平行四边形满足对角线相等或有一个内角是直角，即可判定为矩形，据此即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1)证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得出，根据可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形； （2）根据中点的定义及矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，根据中位线的性质求出，，根据矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵为的中点，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 23．(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； (2)四边形是正方形，理由如下： 由（1）知， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是菱形， 四边形是正方形； (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线条件，推导，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）已知是菱形，结合的条件，对使用勾股定理逆定理，判断的度数，再根据正方形判定定理即可确定四边形形状； （3）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质推导，进而求出长，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出长，再利用勾股定理求出长，最后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 24．(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2) 【分析】（1）①由正方形的性质得，，则，可得，根据等角对等边，即可证明；②由①可得，，则，，再根据，可得，即可求解； （2）延长、交于点，过点作于点，证明，则，证明是等腰直角三角形，则，是含的直角三角形，求出、的长，即可求出的周长． 【详解】（1）解：①略 ②由①得：，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长、交于点，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴． 25．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度； （2）点从点运动到点需要秒，所以点运动到的延长线上时，； （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，分点在线段上和点在的延长线上两种情况求解； （4）以、、、为顶点的四边形是矩形时，分和两种情况求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）解：，点运动的速度是个单位长度秒， 点从点运动到点需要秒， 当点运动到的延长线上时，； （3）解：如下图所示，当点在线段上且时，四边形是平行四边形， 根据题意可得：， 解得：； 如下图所示，当点在的延长线上且时，四边形是平行四边形， 根据题意可得：， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； （4）解：如下图所示，当四边形是矩形时，， 则有，， ； 如下图所示，当四边形是矩形，时， 则，， 根据题意可得：， 解得：， ， ； 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，或. 答案第10页，共19页 答案第9页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $