第二十一章 四边形（暑假巩固作业02）2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦四边形章节，分层设计从基础概念到综合应用，强化知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与性质|选择题1-2考查密铺原理、矩形菱形共性，夯实几何直观| |提升|性质应用与计算|填空题14-15结合矩形性质、平行四边形面积，发展推理能力| |综合|动态与跨知识综合|解答题24动点问题融合平行四边形判定，培养模型意识|

第二十一章 四边形（暑假巩固作业02） 一、选择题 1．在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．下列正多边形中，不能够单独密铺平面的是（    ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．下列性质中，矩形和菱形一定都具有的是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角 3．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点A转动）．D，E分别为的中点，测量尺的零刻度与点D重合．现测得的长为，则内槽宽的长为（     ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 8．如图，静止的跷跷板抽象出几何图形，为跷跷板板面，垂直地面于点，支撑杆的端点分别是，的中点．若支撑杆的长度为，则点离地面的高度为（     ） A． B． C． D． 9．阅读课本《黄金矩形》数学活动内容：宽与长的比值为（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形．作图步骤如下： ①作正方形，分别取线段、的中点E、F，连接； ②以点F为圆心、长为半径画弧交的延长线于点G； ③作，交的延长线于点H，得到黄金矩形． 若正方形的边长为2，则图中的下列矩形，除黄金矩形外还有黄金矩形（     ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 10．如图，正方形的边长为6，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A．12 B． C． D． 二、填空题 11．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：），则的长度为________． 12．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选择一点C，连接和，分别取和的中点M，N，测得米，则A，B两点间的距离是____________米． 13．下图为小颖某次学科诊断“发挥水平”的雷达图，其中语文、数学、英语、物理、道法、历史六门学科的“发挥水平”构成了一个六边形，这个六边形的内角和为___________． 14．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 15．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，过点A作，垂足为F．若，，，则的长为______． 16．数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 三、解答题 17．已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______． 18．如图，在中，点在对角线上，且，求证：． 19．菱形景观造型广泛应用于园林设计，结合菱形性质解答问题： 某园林打造菱形景观造型，整体四条边长度全部相等，单条边长为8米，其中一组对角角度相等，结合菱形基础数据； (1)计算该菱形景观整体的外围周长； (2)结合菱形对角线基础规律，简述菱形对角线具备的两项核心特点． 20．如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 21．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 22．如图，在中，，是边上的中线，平分交于点，于点，连接，交于点．记四边形的周长为，的周长为，的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 23．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 24．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第二十一章 四边形（暑假巩固作业02） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A A A C C C 1．C 【分析】判断正多边形能否单独密铺平面的依据是：正多边形的单个内角度数能整除时，可以单独密铺，否则不能，只需计算各选项正多边形的内角度数验证即可． 【详解】解：正边形的单个内角度数公式为， ∵正三角形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； ∵正方形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； ∵正五边形，单个内角为，，不是整数，∴不能单独密铺； ∵正六边形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； 因此不能单独密铺平面的是正五边形． 2．B 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需逐一判断各选项性质是否为两个图形共同具有即可. 【详解】解：A、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故此选项不符合题意； B、矩形和菱形都属于平行四边形，都满足对角线互相平分，故此选项符合题意； C、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故此选项不符合题意； D、 四个角都是直角是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故此选项不符合题意． 3．B 【分析】直接利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵的长为， ∴． 4．D 【分析】已知斜边中线长度，且结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直接可求出斜边． 【详解】解：，为斜边的中点， 根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ， 已知，代入得：， ∴． 5．A 【分析】根据矩形的性质结合三角形的中位线求解即可. 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 点P，Q分别为，的中点， 是的中位线， 6．A 【分析】利用正方形的性质和证明重叠处两个小三角形全等，实现面积等量代换，可推得单个重叠区域面积为正方形面积的​，两处重叠面积总和就是边长为的正方形面积的． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即． 7．A 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：∵，互相垂直， ∴， ∵的长为， ∴， ∴，两点间的距离为． 8．C 【分析】根据题意可知、分别是、的中点，利用三角形中位线定理即可求解的长度． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ． 9．C 【分析】由勾股定理求出，再由求出，结合矩形和正方形的性质求出各矩形的边长，再根据黄金矩形的意义可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴，，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴， 四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， 在矩形中，， 在矩形中，， 在矩形中，， 在矩形中，， ∴矩形是黄金矩形． 10．C 【分析】过点P作于点E，延长交于点F，容易证明四边形是矩形，由等边三角形的性质和勾股定理可得的长，则求得，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E，延长交于点F， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ． 11．2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， ，， ， ． 12．200 【分析】根据三角形的中位线定理得到即可得出答案． 【详解】解：点M，N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∵米， ∴（米）． 13． 【分析】根据多边形的内角和公式，代入的值计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为． 14．/度 【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵在中，为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． 15． 【分析】根据平行四边形的对应边相等可证明，得到，根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 16． 【分析】连接，，与相交于M．结合已知条件及，可判定为等边三角形，得到的长，利用菱形的性质及等腰三角形三线合一性质，求出的长度及的度数，进而确定点C的极坐标． 【详解】解：如图，连接，，与相交于M． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分，，， ∴， ， ∴， ∴点C的极坐标为． 17．(1) (2)，，5 【分析】（1）根据网格特征得出，，故四边形是平行四边形，即． （2）结合小正方形的边长为1以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，，，． 18．证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．(1)32（米） (2)对角线互相垂直且互相平分 【分析】（1）利用菱形的性质，四条边长度全部相等求周长即可； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 【详解】（1）解：（米）， 答：该菱形景观整体的外围周长32（米）； （2）解：由菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 20．证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 【详解】略 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 22．(1)证明：∵，是边上的中线， ∴， ∵平分交于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）证明，结合等腰三角形的性质证明，进一步可得结论； （2）求解，结合矩形性质可得，可得，，结合勾股定理与直角三角形斜边上的中线可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形的周长为，的周长为，的周长为． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 23． [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 24．(1)存在，或 (2)或 【分析】（1）由题意得，，求出，然后分两种情况讨论求解即可； （2）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即，， ∴点P到达点D的时间为， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $