专题03 四行形（六大考点 暑假作业）2026年暑假人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形核心考点，采用“基础-综合-拓展”三层递进设计，适配暑假分层巩固需求，强化从概念理解到综合应用的思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课堂学习检测|多边形、平行四边形等基础概念与性质|以填空、选择为主，强化定义、公式直接应用，如平行四边形边角计算| |综合运用诊断|特殊四边形判定与性质综合|解答题形式，涉及性质证明与计算，如矩形折叠问题、菱形判定推理| |拓展探究思考|跨知识点综合与实际应用|结合坐标系、动态问题，如正方形旋转、四边形面积探究，培养几何直观与创新意识|

专题03 四边形 （人教版 暑假作业） 四边形、平行四边形是八年级几何重难点模块，也是中考核心必考知识点，性质运用、判定证明及矩形、菱形、正方形综合变式题型考查灵活，是初中平面几何证明、线段与角度计算、几何压轴的核心载体，学习地位至关重要。 本专题先梳理全章核心考点，帮助大家回顾知识框架；习题部分采用分层设计，适配不同学习需求。从基础过关到综合拓展，从单个知识点到整章作业，逐步强化解题能力，助力大家在暑假吃透平行四边形，稳步提升几何解题素养。 ( 考点复习 ) 考点一 多边形和四边形 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n-2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n-2)∙180°（n≥3）. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 四边形：满足多边形的一般规律。内角和与外角和都是360度。 考点二 平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2）对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形． 考点三 三角形的中位线 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 考点四 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 考点五 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1） ( A )对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 考点六 正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 注意：正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． ( A )对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. ( 作业1 平行四边形的性质（一） ) 学习要求 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 课堂学习检测 一、填空题 1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。 2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______． 3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______． 4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______． 5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______． 6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______． 6题图 7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______． 7题图 8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______． 二、选择题 9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )． (A)AF＝EF (B)AB＝EF (C)AE＝AF (D)AF＝BE 10．如图，下列推理不正确的是( )． (A)∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠C＝180° (B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC (C)∵AD∥BC ∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180° ∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )． (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 综合、运用、诊断 一、解答题 12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF． 13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由． 14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点． (1)求证：DE＝FB； (2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG． 15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF． 求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF． 拓展、探究、思考 16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标． 17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案： 方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 图1 方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法． 图2 ( 作业2 平行四边形的性质（二） ) 学习要求 能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题． 课堂学习检测 一、填空题 1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______． 2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是 ______． 3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm． 4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______． 5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______． 6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______． 7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______． 8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______． 二、选择题 9．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是中心对称图形； ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是( )． (A)①②④ (B)①③④ (C)①②③ (D)①②③④ 10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )． (A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个． (A)1 (B)2 (C)3 (D)无数 12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( ) (A)2 (B) (C) (D)15 13．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( ) …… (1) (2) (3) (A)3n (B)3n(n＋1) (C)6n (D)6n(n＋1) 综合、运用、诊断 一、解答题 14．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长． 15．已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数． 拓展、探究、思考 16．已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF． (1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来； (2)求证：∠MAE＝∠NCF． 17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积． 作业3 平行四边形的判定(一) ( 作业3 平行四边形的判定（一） ) 学习要求 初步掌握平行四边形的判定定理． 课堂学习检测 一、填空题 1．平行四边形的判定方法有： 从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形； ②两组对边__________的四边形是平行四边形； ③一组对边__________的四边形是平行四边形． 从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形． 从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形． 注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”) 2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填 “是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形． 3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______． 4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形． 5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形． 二、选择题 6．下列命题中，正确的是( )． (A)两组角相等的四边形是平行四边形 (B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形 (C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法： ①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )． (A)①② (B)①③④ (C)②③ (D)②③④ 8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )． (A)已知平行四边形的两邻边 (B)已知平行四边形的相邻两角 (C)已知平行四边形的两对角线 (D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长 综合、运用、诊断 一、解答题 9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形． 10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形． 11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形． 12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形． 13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点． 14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE. 拓展、探究、思考 15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE． (1)猜想DF与AE的关系； (2)证明你的猜想． 16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明． ( 作业4 平行四边形的判定（二） ) 学习要求 进一步掌握平行四边形的判定方法． 课堂学习检测 一、填空题 1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________． 1题图 2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形． 2题图 3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出 ______个平行四边形． 4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出 ______个平行四边形． 5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______． 5题图 二、选择题 6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )． (A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补 (C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补 7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )． (A)AD＝BC，AB∥CD (B)∠A＝∠B，∠C＝∠D (C)AB＝BC，AD＝DC (D)AB∥CD，CD＝AB 8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )． (A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2 9．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )． (A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3) 11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )． (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 综合、运用、诊断 一、解答题 12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)． (1)连结______； (2)猜想：______＝______； (3)证明： 13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件) 证明： 14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值． 15．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE． 求证：(1)△ACD≌△CBF； (2)四边形CDEF为平行四边形． 拓展、探究、思考 16．若一次函数y＝2x－1和反比例函数的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标； (3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标． 17．如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数的图象上． (1)求m，k的值； (2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式． ( 作业5 平行四边形的性质与判定 ) 学习要求 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 课堂学习检测 一、填空题： 1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______． 2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______． 3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______． 4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______． 5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm． 6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______． 7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD的面积为______． 8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______． 9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______ S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”) 综合、运用、诊断 一、解答题 10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b． (1)求证：△EFC是等腰三角形； (2)求EC＋FC． 11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC． 12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF． 13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝∶3． 拓展、探究、思考 14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． 图1 (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式； (2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值． 图2 作业6 三角形的中位线 ( 作业6 三角形的中位线 ) 学习要求 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 课堂学习检测 一、填空题： 1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线． (2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________ ________________________． 2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、 △A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________． 3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______． 二、解答题 4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：四边形DEFG是平行四边形． 综合、运用、诊断 6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF． 7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC． 8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点． 求证：∠AHF＝∠BGF． 拓展、探究、思考 9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED． 10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么? ( 作业7 矩形的性质和判定 ) 学习要求 理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理． 课堂学习检测 一、填空题 1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形． (2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________． (3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm． 3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______． 4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。 5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______． 二、选择题 6．下列命题中不正确的是( )． (A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半 (B)矩形的对角线相等 (C)矩形的对角线互相垂直 (D)矩形是轴对称图形 7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )． (A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm 8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )． (A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm 9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( ) (A) (B) (C) (D) 综合、运用、诊断 一、解答题 10．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA． (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF． 11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF． (1)求证：D是BC的中点； (2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。 13．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED． 求证：AE平分∠BAD． 拓展、探究、思考 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，． (1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明； (2)若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连结EP并延长交AB的延长线于F． ①求证：AB＝BF； ②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。 ( 作业8 菱形的性质与判定 ) 学习要求 理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理． 课堂学习检测 一、填空题： 1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________． 3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线___ ___的平行四边形是菱形． 4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm． 5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2． 二、选择题 6．对角线互相垂直平分的四边形是( )． (A)平行四边形 (B)矩形 (C)菱形 (D)任意四边形 7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )． (A)矩形 (B)平行四边形 (C)菱形 (D)任意四边形 8．下列命题中，正确的是( )． (A)两邻边相等的四边形是菱形 (B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 (C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 (D)对角线垂直的四边形是菱形 9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )． (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 10．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． (A) (B)4 (C)1 (D)2 综合、运用、诊断 一、解答题 11．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4． 求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积． 12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值． 13．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD． (1)求证：△ADE≌△CBF． (2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论． 14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 15．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 16．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2． (1)求证：△BDE≌△BCF； (2)判断△BEF的形状，并说明理由； (3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 拓展、探究、思考 17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)． 18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是______． ( 作业9 正方形的性质与判定 ) 学习要求 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 课堂学习检测 一、填空题 1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______． 2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴． 3．正方形的判定： (1)____________________________________的平行四边形是正方形； (2)____________________________________的矩形是正方形； (3)____________________________________的菱形是正方形； 4．对角线________________________________的四边形是正方形． 5．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______． 6．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______． 7．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______． 二、选择题 8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2． (A)6 (B)8 (C)16 (D)不能确定 综合、运用、诊断 一、解答题 10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN， ∠MCE＝35°，求∠ANM的度数． 11．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC． 12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长． 13．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明． 拓展、探究、思考 14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q． (1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形． ( 作业10 四边形全章作业 ) 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（    ） A． B． C． D． 2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的边数是（       ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．一个五边形，它的对角线共有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，平行四边形的对角线与相交于点，若，则平行四边形的面积为（   ） A．60 B．65 C．30 D． 5．下列命题是真命题的是（　　） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成如图所示边长为10的大正方形，连接，若小正方形的面积为4，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 7．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，矩形中，，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的左上方作正方形同时垂直于的直线也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线上，设运动的时间为t，则t的值为（    ） A．1 B．4 C． D． 9．在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 10．如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（    ） A．7 B．12 C．14 D．16 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．矩形的判定定理：有一个角是___________的平行四边形是矩形． 12．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 13．如图，在中，O为的中点，过点O且分别交，CD于点E，F．若，则的长为______． 14．如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E．若，则的周长为______． 15．年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为________ 16．如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为________． 三、解答题（共9题，72分） 17．（本题4分）已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 18．（本题4分）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个； 则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222； ②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 19．（本题6分）如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上． (1)利用格点画出边上的垂直平分线； (2)平移三角形，使点移动到点的位置． ①画出平移后的； ②若连接，，则这两条线段之间的位置关系是__________； (3)平移结束后，四边形的面积是__________． 20．（本题6分)图1、图2是两张相同的每个小正方形的边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上： (1)在图1中画出以为一边的锐角等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10； (2)在图2中画出以为对角线的矩形，且矩形的面积为10，点H在线段的上方，点G、H都在小正方形顶点上； (3)直接写出矩形的周长为______． 21．（本题8分）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 22．（本题10分）如图是一个塑料大棚，它的宽，高，棚总长． (1)求大棚的占地面积． (2)覆盖在顶上的塑料布需要多少平方米？ 23．（本题10分）如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 24．（本题12分）已知平行四边形，对角线、交于点O，线段过点O交于点E，交于点F． (1)请在图中连接、； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 25．（本题12分）如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点． (1)求的长； (2)求的长． 试卷第1页，共3页 参考答案 作业1 平行四边形的性质(一) 1．平行，□ABCD． 2．平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高． 3．110°，70°． 4.16cm，11cm． 5．互相垂直． 6．25°． 7．25°． 8．21cm2． 9．D． 10．C． 11．C． 12．提示：可由△ADE≌△CBF推出． 13．提示：可由△ADF≌△CBE推出． 14．(1)提示：可证△AED≌△CFB； (2)提示：可由△GEB≌△DEA推出， 15．提示：可先证△ABE≌△CDF． (三) 16．B(5，0) C(4，)D(－1，)． 17．方案(1) 画法1： (1)过F作FH∥AB交AD于点H (2)在DC上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形； 画法2： (1)过F作FH∥AB交AD于点H (2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形 画法3： (1)在AD上取一点H，使DH＝CF (2)在CD上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形 方案(2) 画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P， (2)在AB上取一点Q，连接PQ， (3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM，PN则四边形QMNP就是所要画的四边形 作业2 平行四边形的性质(二) 1．60°、120°、60°、120°． 2．1＜AB＜7． 3．20． 4．6，5，3，30°． 5．20cm，10cm． 6．18．提示：AC＝2AO. 7．5cm，5cm． 8．120cm2． 9．D； 10．B． 11．C． 12．C． 13．B． 14．AB＝2.6cm，BC＝1.7cm． 提示：由已知可推出AD＝BD＝BC．设BC＝xcm，AB＝ycm， 则 解得 15．∠1＝60°，∠3＝30°． 16．(1)有4对全等三角形．分别为△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA． (2)证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．∴∠EAO＝∠FCO． 又∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF． 17．9． 作业3 平行四边形的判定(一) 1．①分别平行； ②分别相等； ③平行且相等； ④互相平分； ⑤分别相等；不一定； 2．不一定是． 3．平行四边形．提示：由已知可得(a－c)2＋(b－d)2＝0，从而 4．6，4； 5．AD，BC． 6．D． 7．C． 8．D． 9．提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EMNF得证． 10．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形，再由GE∥FH，GF∥EH得证． 11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再由EPQF得证． 12．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再证△REA≌△SFC，既而得到RESF． 13．提示：连结BF，DE，证四边形BEDF是平行四边形． 14．提示：证四边形AFCE是平行四边形． 15．提示：(1)DF与AE互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF是平行四边形． 16．可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下： 作业4 平行四边形的判定(二) 1．平行四边形． 2．18． 3．2． 4．3． 5．平行四边形． 6．C． 7．D． 8．D． 9．C． 10．A． 11．B． 12．(1)BF(或DF)； (2)BF＝DE(或BE＝DF)； (3)提示：连结DF(或BF)，证四边形DEBF是平行四边形． 13．提示：D是BC的中点． 14．DE＋DF＝10 15．提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°． 又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF． (2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF． ∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE． ∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°， ∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC． ∵EDFC，∴四边形CDEF为平行四边形. 16．(1)；(2)； (3)P1(－1.5，－2)，P2(－2.5，－2)或P3 (2.5，2)． 17．(1)m＝3，k＝12； (2)或 作业5 平行四边形的性质与判定 1．60°，120°，60°，120°． 2．45°，135°，45°，135°． 3．90°． 4．10cm＜x＜22cm． 5． 6．72．提示：作DE∥AM交BC延长线于E，作DF⊥BE于F，可得△BDE是直角三角形， 7． 提示：作CE⊥BD于E，设OE＝x，则BE2＋CE2＝BC2，得(x＋5)2＋．解出．S□＝2S△BCD＝BD×CE＝ 8．7． 9．＝．提示：连结BM，DN． 10．(1)提示：先证∠E＝∠F； (2)EC＋FC＝2a＋2b． 11．提示：过E点作EM∥BC，交DC于M，证△AEB≌△AEM． 12．提示：先证DC＝AF． 13．提示：连接DE，先证△ADE是等边三角形，进而证明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°． 14．(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得，所以正比例函数解析式为，同样可得，反比例函数解析式为； (2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，于是S△OBQ＝ ｜OB·BQ｜＝·m·m＝m2而SOAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，， 解得m＝±2所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2，－1)； (3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标Q(n，)， 由勾股定理可得OQ2＝n2＋＝(n－)2＋4， 所以当(n－)2＝0即n－＝0时，OQ2有最小值4， 又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值， 所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4． 作业6 三角形的中位线 1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半． 2．16，64×()n－1 ． 3．18． 4．提示：可连结BD(或AC)． 5．略． 6．连结BE，CE AB□ABECBF＝FC．□ABCDAO＝OC，∴AB＝2OF． 7．提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形． 8．提示：连结AC，取AC的中点M，再分别连结ME、MF，可得EM＝FM． 9．ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点． 10．提示：AP＝AQ，取BC的中点H，连接MH，NH．证明△MHN是等腰三角形，进而证明∠APQ＝∠AQP． 作业7 矩形 1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线； (3)平行四边形；对角线相等；三个角． 2．5，5． 3． 4．60°． 5． 6．C． 7．B． 8．B． 9．D． 10．(1)提示：先证OA＝OB，推出AC＝BD；(2)提示：证△BOE≌△COF． 11．(1)略；(2)四边形ADCF是矩形． 12．7.5． 13．提示：证明△BFE≌△CED，从而BE＝DC＝AB，∴∠BAE＝45°，可得AE平分∠BAD． 14．提示：(1)取DC的中点E，连接AE，BE，通过计算可得AE＝AB，进而得到EB平分 ∠AEC． (2)①通过计算可得∠BEF＝∠BFE＝30°，又∵BE＝AB＝2 ∴AB＝BE＝BF： ②旋转角度为120°． 作业8 菱 形 1．一组邻边相等． 2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线． 3．平行四边形；相等，互相垂直． 4． 5．20，24． 6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．C． 11．120°；(2)8． 12．2． 13．(1)略；(2)四边形BFDE是菱形，证明略． 14．(1)略；(2)△ABC是Rt△． 15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF是菱形，证明略． 16．(1)略；(2)△BEF是等边三角形，证明略． (3)提示：∵≤△BEF的边长＜2 17．略． 18． 作业9 正方形 1．相等、直角、矩形、菱形． 2．是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四． 3．(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角； (2)有一组邻边相等． (3)有一个角是直角． 4．互相垂直、平分且相等． 5．a，2∶1． 6．112.5°，8cm2；7．5cm． 8．B． 9．B． 10．55°． 提示：过D点作DF∥NM，交BC于F． 11．提示：连结AF． 12．提示：连结CH，DH＝． 13．提示：连结BP． 14．(1)证明：△ADQ≌△ABQ； (2)以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F． AD×QE＝S正方形ABCD＝ ∴QE＝ ∵点Q在正方形对角线AC上 ∴Q点的坐标为 ∴过点D(0，4)，两点的函数关系式为：y＝－2x＋4，当y＝0时，x＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； (3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形； ②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形； ③如图，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ ∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ． 又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD， ∴∠CQP＝∠CPQ． ∴CQ＝CP＝x． ∵AC＝，AQ＝AD＝4． ∴x＝CQ＝AC－AQ＝－4． 即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形． 作业十 全章测试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B D B B A B 1．B 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 2．B 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：由内角和公式得， （n2）×180°=144°×n， 解得n=10， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，由内角和公式得出方程是解题关键． 3．C 【分析】本题主要考查多边形对角线， 根据边形对角线有条即可解答． 【详解】解：五边形的对角线条数是：， 故选：C 4．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 先由平行四边形得到，然后对运用勾股定理求高，即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，本选项不符合题意； B、四个角相等的四边形是矩形，本选项符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项不符合题意； D、对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】先设每个直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，其中 ，根据题意列出，，从而可求得a和 b，进而求得的面积． 【详解】解：设每个直角三角形的两条直角边分别为a和b，其中， 因为小正方形的面积为， 所以， 因为四个直角三角形全等，且围绕小正方形排列，大正方形的边长为10， 所以，大正方形边长， 由，得， 将代入，得， 解得：或， 所以， 所以的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，全等三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．B 【分析】本题考查角平分线的性质，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，作于E，，根据角平分线的点到角的两边的距离相等，可得，进而证明，推出，，，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，作于E，于F． 则， 又点P为定角的平分线上的一个定点， ， 与互补， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，故（1）正确； ，， ， 的值不变；故（2）正确； ， 四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的， 的长改变，故（4）错误； 综上可知，正确的个数是3个， 故选B． 8．B 【分析】首先利用矩形和正方形的性质证明 ，然后得出，再利用建立关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：过点F作交CD的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴ ， ． ∵四边形是矩形， ∴， ， ． 在和中， ， ． 当点落在直线上，有 ， 解得 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形，正方形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握矩形，正方形的性质和全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的性质及判定，矩形的判定；解题关键是熟练掌握平行四边形及特殊四边形的性质和判定，动态问题可以通过分类讨论以及数形结合思想来解决． 由题意，先证和全等，从而可得，同理可证，进而可证四边形是平行四边形，则①和②均可判定； 对于③，根据四边形是菱形，可比较与的大小，进而可判定； 对于④，根据已证的四边形是平行四边形及矩形的判定定理，可判定． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形是平行四边形， ∴，但与不一定相等，故①错误，②正确； 若四边形是菱形， 则， ∴， ∵点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合）， ∴， ∴不存在四边形是菱形，故③错误； 由题意知存在，则， ∴可能存在无数个四边形是矩形，故④正确； 综上所述，以上结论错误的是①③， 故选：． 10．B 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明四边形是菱形可得结论． 【详解】解：如图2中，由作图可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同法可证， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的周长． 故选：B． 11．直角 【解析】略 12．看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 13．3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 由平行四边形的性质可得即，再结合可得，可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：3． 14． 【分析】由矩形，，得到，，于是，根据折叠的性质，得，结合得到于是得到，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 15． 【分析】先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 【详解】解：∵，， ∴ ∴正方形的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是的中点，即为的斜边上的中线， ∴． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，根据矩形的性质、折叠的性质可得出，，根据证明，得出，，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 17．11 【分析】考查了多边形内角与外角，任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．设这个多边形的边数是n，依题意得，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， ， ， ∴这个多边形的边数是11． 18．（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3) 【分析】（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可； ②利用矩形和正方形的面积公式求解即可； （2）①根据题中的数据求和即可； ②根据题意求解即可； （3）①利用（1）的规律求解即可； ②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案． 【详解】解：（1）①大正方形的面积为； ②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为； 可以得到等式：=； 故答案为：①；②；=； （2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1； ②锐角的总个数是n（n－1）； 可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； 故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； （3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2 ＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22 ＝2×（20002＋222） ＝2×[4000000＋（20＋2）2] ＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968； ②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2； 一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5； 一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9； ……， 一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线； 一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线． 故答案为：119，n(n-3)． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 19．(1)图见解析； (2)①图见解析；②平行； (3)． 【分析】本题综合考查了垂直平分线的画法、平移的性质（对应点连线平行且相等、平移前后图形全等）以及平行四边形面积的计算，关键是掌握平移的性质和相关图形的性质来进行求解． （1）根据垂直平分线的性质，找到到距离相等的格点来确定垂直平分线； （2）①根据平移的性质，通过点到的平移规律确定平移后的位置，从而画出； ②根据平移的性质判断，的位置关系； （3）利用平移后四边形是平行四边形，根据平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）解：边上的垂直平分线如图， （2）解：①平移后的如图， ②由平行的性质可得：连接，，则这两条线段之间的位置关系是平行； 故答案为：平行； （3）解： 四边形的面积． 故答案为：． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理； （1）由勾股定理可得，根据面积和等腰三角形作即可； （2）设矩形的边长分别为，，，由面积可得，由勾股定理可得，解得，，再以，为边构造矩形即可； （3）利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：矩形即为所求； （3）解：矩形的周长． 故答案为． 21．（1）；（2），证明见解析；（3）四边形为菱形，理由见解析． 【分析】本题考查平行四边形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，即可． （1）根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出； （2）连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）猜测：， 证明：连接： ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）四边形为菱形，理由： ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22．(1) (2) 【分析】（1）利用图形得出占地面积为，进而得出答案； （2）首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算以及由立体图形抽象出平面图形是解题关键． 【详解】（1）解：大棚的占地面积为：； （2）根据勾股定理，得直角三角形的斜边为， 由矩形的面积公式，得覆盖在顶上的塑料布为： 23．见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，从而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． 在与中， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 24．(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】本题主要考查了根据平行线的判断以及性质证明． （1）根据题意连线即可． （2）根据四边形是平行四边形，可得，，再证，可得，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，，如下图所示． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 25．(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正方形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由勾股定理求出，可得为直角三角形，再勾股定理即可求解； （2）根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形和正方形， ∴，，，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $