专题01 《相交线与平行线》章节 暑假复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题01 相交线与平行线 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 利用相交线的性质解决对顶角、邻补角问题 题型2 垂线的定义和画垂线 题型3 垂线段最短以及点到直线的距离 题型4 同位角、内错角、同旁内角 题型5 平行公理的应用 题型6 平行线的判定 题型7 平行线的性质 题型8 判定是否是命题、判定命题真假 题型9 命题的证明 题型10 逻辑推理与论证 题型11 平移的性质 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 相交线相关：邻补角、对顶角性质；垂直定义、垂线公理、垂线段最短；点到直线的距离 2. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角识别 3. 平行线判定定理、平行线性质定理 4. 平行线拐点模型（猪蹄、铅笔头、拐角模型）角度计算 5. 命题、定理与证明：区分题设与结论、真假命题判定 6. 平移的定义与性质；平移求线段、周长、面积 1. 题型分层命题 （1）基础层（选择、填空，6–10 分） 单一概念直接考查：对顶角角度计算、垂直辨析、三线八角识别、平移性质判断；陷阱集中在 “距离概念混淆”“三线八角误判”。 （2）中档解答（6–8 分，必考） 二合一综合：平行线判定 + 性质综合推理；角度等量转化；规范书写几何证明格式。 （3）拔高压轴（期中期末最后一题，8–10 分）三大压轴载体：①平行线拐点多步角度推导；②平行线结合动点角度探究；③折叠与平行线综合；少量新定义题型。 2. 命题四大固定趋势 （1）知识整合化，极少单一考点出题一道题融合 2–3 个模块：例如垂直→平行线性质→角度计算；平行线 + 平移串联命题。 （2）模型转化是核心区分拉分点高频考查场景：拐点无平行线时，需要过拐点作平行线构造三线八角；多折线连续角度推导。（3）弱化机械背诵，强化图形推理不直接默写定理，重在从图形提取角的位置关系；固定模型反复考查：猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿折线模型。4）重视逻辑规范书写与严谨性扣分重灾区：推理缺少依据、判定与性质混用、“垂直”“垂线段最短” 概念混淆、证明因果颠倒。 考情解码： 1. 理清定理逻辑：严格区分判定（由角的关系推线平行）与性质（由线平行推导角相等 / 互补），二者互为逆命题，禁止因果颠倒； 2. 拐点解题固定流程：遇折线拐角图形，优先过拐点作已知直线的平行线，转化出同位角、内错角； 3. 证明书写原则：每一步推理标注定理依据，杜绝跳步； 4. 概念辨析重点：区分 “垂线段” 和 “垂线段的长度（距离）”；三线八角识别只看截线与被截两条直线，不受图形摆放方向干扰。 知识点一 相交线 （1）邻补角的性质：邻补角互补.  （2）对顶角的性质：对顶角　相等　.  （3）垂线的性质：①在同一平面内，过一点　有且只有　一条直线与已知直线垂直；  ②两直线垂直，则它们的夹角为 90 °.  （4）垂线段的性质：垂线段 最短　.  （5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 三线八角 形状 图示 同位角 “F”字形 内错角 “Z”字形 同旁内角 “C”字形 知识点三 平行线的判定与性质 （1）基本事实：过直线外一点有且只有 一 条直线与已知直线平行. （2）推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相　平行　.  判定 性质 图示 同位角相等， 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 内错角相等， 两直线平行 两直线平行， 内错角相等 同旁内角互补， 两直线平行 两直线平行， 同旁内角互补 知识点四 平移的性质 （1）平移前后对应的线段　平行　（或在同一直线上）且　相等　.  （2）平移前后对应的角　相等　.  （3）连接平移前后各组对应点的线段　平行　（或在同一直线上）且　相等.  (1) 垂线段≠距离：垂线段是图形，距离是垂线段的长度。 (2) 三线八角前提：必须是两条直线被第三条直线所截形成。 (3) 判定、性质勿颠倒：由角定线是判定；由线定角是性质。 (4) 平行公理有限制：过直线外一点，才有且仅有一条直线与已知直线平行。 (5) 拐点辅助线规范：过拐点作已知直线的平行线。 (6) 平移不变形：平移只改变位置，不改变图形形状与大小。 知识点五 定义、命题 （1）定义：对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义. （2）命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题. （3）命题的形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式. （4）命题由　题设　　和　结论　两部分组成.  题设是已知事项。结论是由已知事项推出的事项。 （5）提示： ①命题是陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题； ②命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断. 题型1 利用相交线的性质解决对顶角、邻补角问题 【例1-1】下列四个图中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：D选项中与是对顶角，则一定成立， A、B、C三个选项中，根据现有条件无法得到． 【例1-2】如图，将两根木条，钉在一起，得到一个相交线模型，固定木条，转动木条，当减小时，下列说法正确的是（     ） A．减小 B．增大 C．与的和增大 D．与的和增大 【答案】D 【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、和是邻补角，当减小时，增加，故该选项错误，不符合题意； B、和是对顶角，当减小时，也减小，故该选项错误，不符合题意； C、和是邻补角，和为，不随的变化而变化，故该选项错误，不符合题意； D、和都与是邻补角，当减小时，和都增加，与的和增大，故该选项正确，符合题意． 抓住核心：利用对顶角相等、邻补角之和为 180°建立等量关系，结合已知角度列式求解；遇到多条直线相交，逐层寻找等角、互补角转化角度。 【变式训练1-1】如图，直线，相交于点，平分． (1)的对顶角是___________，邻补角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据对顶角及邻补角的概念直接求解； （2）根据角平分线的定义和对顶角相等得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：的对顶角是；邻补角是，； （2）解：平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即， ， 即， ， ， 即的度数为． 【变式训练1-2】如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】由已知条件和观察图形，可求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； 【详解】解：点A，O，B在同一条直线上， ． ． 平分， ． ， ． 平分， ． 【变式训练1-3】如图，直线与直线相交于点，若，则__________，__________． 【答案】 【分析】利用邻补角互补求，根据对顶角相等得到． 【详解】解：据图可知，，． 题型2 垂线的定义和画垂线 【例2-1】如图，与相交于点，，垂足为．若，则的度数为____________． 【答案】/30度 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【例2-2】如图，，，点B，O，D在同一条直线上，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，则可得的度数，再根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 依据垂线定义，两直线夹角为 90° 即可判定垂直；作图保证直角标记清晰，牢记过一点（线上 / 线外）有且只有一条垂线。 【变式训练2-1】如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，又点在直线外， ∴过点且与直线垂直的直线只有一条． 【变式训练2-2】已知：如图，直线相交于． (1)作图：过点作直线（不要求写作法，点在上方） (2)若，求、、的度数． 【答案】(1) (2)，， 【分析】利用三角板过点作出直线的垂线即可； 由垂线的定义得，即得，得到，再利用对顶角的性质、角的和差关系及邻补角的定义解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式训练2-3】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据格点特点，相同，，则； （2）根据格点特点，四边形是正方形，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． 题型3 垂线段最短以及点到直线的距离 【例3-1】如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印．若米，则李明的跳远成绩可能是（     ） A．2.71米 B．2.74米 C．2.77米 D．2.80米 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短的性质在实际生活中的应用. 跳远成绩是测量落地点到起跳线的垂直距离，根据“垂线段最短”可知成绩应小于 的长度． 【详解】解：由图可知，跳远成绩应为点到起跳线的垂线段的长度 ， 直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短， ， 米， 跳远成绩小于 米 观察选项，只有 米小于 米 ． 【例3-2】如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 【答案】12.8 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求出此时的值，即m的值；再由求出n的值，进而可求出的值． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P与点B重合时，最大， ∴线段长度的最大值为8，即， ∴． 求最短路径直接选用垂线段；注意点到直线的距离特指垂线段的长度，并非垂线段本身。 【变式训练3-1】如图，三角形中，，， 点P是上的动点， 则的长度不可能是（     ） A．8 B．7 C．6.2 D．5 【答案】D 【分析】根据点到直线的连线中垂线段最短，确定的取值范围，即可得出答案； 【详解】解：， ， 线段是点到直线的垂线段， 根据垂线段最短可知，， ， ， 的长不可能是． 【变式训练3-2】如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】6（答案不唯一，均可） 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到的距离h是6． 【变式训练3-3】如图，点是直线外一点，点A、B、C在直线上，若，，，则点到直线的距离可以是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴点到直线的距离d的取值范围为， 则点到直线的距离可以是． 题型4 同位角、内错角、同旁内角 【例4-1】如图，已知直线a，b被直线c所截，那么的内错角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：直线，被直线所截，与都在直线，之间，且分别在直线的两侧， 的内错角是． 【例4-2】如图，下列种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同旁内角；⑤与是同位角；⑥与是内错角．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①与不是内错角，故①错误； ②与是同位角，故②正确； ③与不是内错角，故③错误； ④与是同旁内角，故④正确； ⑤与不是同位角，故⑤错误； ⑥与是内错角，故⑥正确； 综上所述，正确的有②④⑥，共3个． 找准截线与两条被截直线，依据位置特征识别三类角；判断时不受图形倾斜方向干扰，重点观察角在截线的同侧或两侧、被截两线之间或外部。 【变式训练4-1】如图所示，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：：①与是对顶角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是邻补角，原说法错误； ④与是内错角，原说法正确， 故正确的是①②④． 【变式训练4-2】如图，有下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据三线八角，数形结合分析即可求解． 【详解】解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与是内错角，故原说法正确； ④与不是同位角，故原说法错误． 综上所述，正确的有①②③． 【变式训练4-3】如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】D 【详解】解：A．与是同位角，故该选项判断错误，不符合题意； B．与的位置关系不符合同位角、内错角或同旁内角的定义，故该选项判断错误，不符合题意； C．与的位置关系不符合同位角、内错角或同旁内角的定义，故该选项判断错误，不符合题意； D．与是同位角，故该选项判断正确，符合题意． 题型5 平行公理的应用 【例5-1】下列说法中正确的个数有（     ）． ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平面几何中垂线、平行公理、平行线推论、点到直线距离的相关概念，逐一判断每个说法的正误即可得到结果． 【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，说法正确； ②只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误； ③平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行线的基本推论，说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度才叫做点到直线的距离，原说法混淆了垂线段和距离的概念，错误； 综上，正确的说法有①③，共有2个． 【例5-2】下列说法正确的有（   ） ①相等的角叫对顶角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤在同一平面内的两条不重合的直线位置关系只有两种：平行或相交． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线的相关概念，根据各知识点的定义和性质逐一判断每个说法即可． 【详解】解∶① 对顶角不仅大小相等，还需要满足特定位置关系，相等的角不一定是对顶角，故①错误； ② 只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故②错误； ③ 平行于同一条直线的两条直线平行，是平行线的基本性质，故③正确； ④ 根据垂线的性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确； ⑤ 在同一平面内的两条不重合的直线位置关系只有平行或相交两种，因此该说法正确，故⑤正确； 综上，正确的说法共有3个，故选C． 平行公理核心：过直线外一点仅有一条平行线；推论可借助平行传递性（同平行于一线的两直线互相平行）进行直线位置关系推导。 【变式训练5-1】已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 【变式训练5-2】下列说法正确的有（    ） ①不相交的两条直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，点到直线的距离的定义，平行公理的推论逐一判断每个说法即可得到结果． 【详解】解：①同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离，原说法错误； ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，原说法正确. 【变式训练5-3】在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 题型6 平行线的判定 【例6-1】城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于①：同旁内角互余不能判定，故①错误； 对于②：与不是直线与直线被第三条直线所截形成的角，不能判定平行，故②错误； 对于③：根据“内错角相等，两直线平行”可判定，故③正确； 对于④：根据“同位角相等，两直线平行”可判定，故④正确； 综上，符合要求的条件有2个． 【例6-2】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理及对顶角的性质逐个判断即可． 【详解】解：选项A:与是同旁内角，由，不一定能得到，选项A不符合题意； 选项B:与是内错角，由，能得到，但是，不能得到，选项B不符合题意； 选项C:与的对顶角是同位角，由，能得到，选项C符合题意； 选项D:与不是同位角，由，不一定能得到，选项D不符合题意； 综上，故选C． 先找同位角、内错角、同旁内角的等量 / 互补关系，由角的数量关系推导两直线平行，推理标注对应判定定理。 【变式训练6-1】如图，是上一点，是上一点，是的延长线上一点，下列条件中，能判断的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定逐个判断即可求解． 【详解】解： A：∵， ∴，故选项错误； B：∵， ∴，故选项错误； C：∵， ∴，故选项正确； D：∵， ∴，故选项错误． 【变式训练6-2】如图，在下列条件中，不一定能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，不一定能判定，符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； D 、，根据同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选：A． 【变式训练6-3】如图，四边形，连结，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若平分，，则 【答案】D 【详解】解：A、若，得，不是，A选项不正确； B、若，得，不是，B选项不正确； C、若，得，不是，C选项不正确； D、若平分，则， ， ， ，D选项正确． 题型7 平行线的性质 【例7-1】如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据判断和互补，再根据，分别是和的角平分线，求得，据此得出和互余． 【详解】解： 又，分别是和的角平分线， ， ， 和互余． 【例7-2】一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为，灯杆与底部支架所成锐角α的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，得，根据“两直线平行，同旁内角互补”推出的度数，再算出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”计算即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 已知两直线平行，直接推同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，步步标注性质定理，避免和判定混用。 【变式训练7-1】如图是某工地支架的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，再求出，利用得到，最后利用即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练7-2】小亮从图1的电动伸缩门抽象出图2所示的几何图形，已知，，平分，交于点G．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质、角平分线平分角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式训练7-3】将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ， ． 题型8 判定是否是命题、判定命题真假 【例8-1】下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【答案】B 【分析】命题的定义是：能对一件事情作出判断的语句叫做命题． 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 【例8-2】下列语句，是假命题的是（     ） A．如果，，那么 B．过一点作直线的垂线 C．同旁内角互补 D．与同一条直线平行的两条直线也平行 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否为命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：A、若，，则符合等式的传递性，是真命题，故此选项不符合题意； B、“过一点作直线的垂线”没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； C、“同旁内角互补”是命题，只有两直线平行时同旁内角才互补，该命题缺少前提，结论不成立，因此是假命题，故此选项符合题意； D、“与同一条直线平行的两条直线也平行”是平行公理的推论，是真命题，故此选项不符合题意． 判断是否为命题看语句有无判断语义；分辨真假命题，真命题严谨推理，假命题只需举出一组反例即可推翻。 【变式训练8-1】下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 【变式训练8-2】下列命题是真命题的是（     ） A．互补的两个角是邻补角 B．直线，，，若，，则 C．直线，，，若，，则 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及邻补角定义、平行线的判定与性质、平行公理的推论等知识点，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A．互补仅要求两个角的和为，邻补角还要求两个角有公共顶点和公共边，因此互补的两个角不一定是邻补角，故A是假命题，不符合题意； B．同一平面内，直线，，，若，，则，故B是假命题，不符合题意； C．根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，，，，故C是真命题，符合题意； D．两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，不是同旁内角相等，故D是假命题，不符合题意． 【变式训练8-3】命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 题型9 命题的证明 【例9-1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【例9-2】命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 先拆分命题的题设与结论，依据已知、定理逐步推导，每一步写明推理依据，逻辑不能颠倒。 【变式训练9-1】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 【变式训练9-2】证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【变式训练9-3】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 题型10 逻辑推理与论证 【例10-1】甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 【例10-2】某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 梳理条件与结论，按因果顺序推导，每一步匹配对应几何定理，杜绝判定、性质混用。 【变式训练10-1】当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 【变式训练10-2】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 【变式训练10-3】为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 题型11 平移的性质 【例11-1】如图所示是我国古代园林中常见的窗格图样的部分图形，它可以看作是由一个基本图形连续平移若干次得到的，这个基本图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一固定的方向移动相同的距离，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小和方向，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，题干中的图形只能由B选项中的基本图形平移得到． 【例11-2】下列图案可由基本图形平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置．观察各选项图形，判断是否由基本图形沿某一直线方向移动得到即可． 【详解】解：该图案可以看作由一个基本图形（左上角的图形）经过平移得到，该选项符合题意； 该图案属于旋转变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意； 该图案属于旋转变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意； 该图案属于轴对称变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意． 平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行（或共线）、对应角相等；平移距离为对应点连线的长度。 【变式训练11-1】河南省第十五届运动会系列资格赛已于2026年5 月集中完成，包括步手枪、游泳、场地自行车、田径、武术、垒球等项目．下列各组运动项目的图标中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图形平移前后大小、形状、方向均不发生变化，只有选项C符合题意． 【变式训练11-21】下列选项中，能通过下图平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，只有B符合题意． 【变式训练11-3】如图，将沿水平向右平移到的位置，若，则点之间的距离为（     ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】连接，根据平移的性质得，再利用，可计算出，从而得到的长． 【详解】解：如图，连接， 沿水平方向向右平移到的位置， ， ，， ， ． 【变式训练11-4】如图，将周长为的沿射线向左平移，得到．则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的特点得，，将四边形的周长分解为的形式，其中为的周长． 【详解】解：∵是向左平移得到的， ∴，， ∴四边形的周长为：． 【变式训练11-5】如图，三角形沿方向平移得到三角形，已知，，那么平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，即为平移距离，由已知条件计算即可． 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴，， ∵，， ∴． 【变式训练11-6】如图，在中，，，将沿着的方向平移到的位置，若平移的距离为2，则图中的阴影部分的面积为（     ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用平移性质，图中阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积． 【详解】解：阴影面积． 【变式训练11-7】如图，将三角形沿方向平移得到三角形，其中与相交于点，连接，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：三角形沿方向平移得到三角形，根据平移前后，对应点所连线段平行或在同一条直线上且相等可得，，故选项A，B成立，不符合题意； 根据平移前后，对应角相等可得， ∵， ∴， ∴，故选项C成立，不符合题意； ∵，不一定等于，所以不一定等于，选项D不一定成立． 【变式训练11-8】如图，在一块长为 ，宽为的长方形草坪上，修筑了宽为的小路（阴影部分） ．已知草坪面积为，则（     ） A．122 B．102 C．123 D．104 【答案】A 【分析】根据平移，可把小路移到右边和上面，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把小路移到右边和上面， ∵小路的宽度是， ∴草坪可以看成长是，宽是， ∴，解得． 1．如图所示，直线与直线相交于点为的角平分线，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过对顶角相等得到，再用角平分线求出，最后根据平角定义算出． 【详解】解：∵ 直线、相交于点O， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 2．如图，直线，垂足为，直线经过点，，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线，垂足为， ， ， ，，故选项A、D正确； ，，故B正确，C不正确． 3．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 4．如图，直线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再由平行的定义得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由图可知，， ∴， ∴． 5．小明骑自行车自处沿正北方向前进，到达处后，右拐继续行驶，若到达处后，想继续沿正北方向行驶，则他在处应（     ） A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作，延长， ∴， ∴若到达处后，想继续沿正北方向行驶，则他在处应左拐． 6．下列命题是真命题的是（     ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角一定是对顶角 C．互补的两个角一定是一个锐角一个钝角 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，对顶角的概念，补角的定义，垂线的基本事实，熟记相关概念与性质即可逐一判断每个选项． 【详解】解：选项A，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，不是相等，原命题错误，是假命题； 选项B，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题错误，是假命题； 选项C，互补的两个角的和为，两个直角的和也为，因此互补的两个角可以都是直角，原命题错误，是假命题； 选项D，根据初中数学垂线的基本事实，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题． 7．下列说法中，正确的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种 【答案】D 【分析】利用对顶角的概念，内错角的性质，平行线的基本公理，同一平面内直线的位置关系，根据相关基础几何概念逐一判断各选项即可． 【详解】A项：相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分得的两个角相等，但不是对顶角，因此A错误； B项：只有两直线平行时，内错角才相等，题目缺少前提条件，因此B错误； C项：只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，题目未说明点的位置，因此C错误； D项：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种，表述符合定义，因此D正确． 8．下列命题中，真命题的个数是（     ） （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （4）同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据垂线的性质，点到直线距离的定义，平行公理，同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，原命题缺少“长度”描述，是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该命题是真命题； （4）只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，是假命题； 综上所述，真命题共有2个． 9．中国文字博大精深，演变顺序大致为：甲骨文—金文—篆书—隶书—楷书—草书—行书．下列甲骨文中能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 【答案】C 【详解】 解：根据平移的性质可知，只有C能大致看成用其中一部分平移得到的． 10．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生裂缝的面积是（     ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了平移，利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积新长方形的面积． 11．如图，直线相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示．的点在直线上，表示的点在直线上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据量角器的读数求出直线的夹角，利用对顶角相等的性质即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意得：， ． 12．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数是________度． 【答案】 【分析】先利用计算出，再利用计算出的度数． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，，，，分别在，，上，平分交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故③正确； ∵与不一定相等，又， ∴不一定成立，故②错误； 过点作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴ ，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①③④． 14．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据题意可知空气中光线平行，水中光线平行，且水面与水面上下方的水平线平行，利用平行线的性质得出，，进而通过整体代入求出的度数； 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图所示，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，．若，则_______． 【答案】 45 【分析】根据平角定义及求出的度数，利用平行线的性质得出，结合即可求解. 【详解】解：，，， ， ， 两面镜子互相平行， ， ， . 16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 17．如图，直线与相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等得到，则可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴， ∴． 18．如图，直线，相交于点，平分，平分，．求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，再求出的度数，则可得的度数，进而可得的度数，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．填空完成下面的证明过程和依据： 如图，已知，，求证：． 证明：∵ （ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）． 【详解】略 20．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）先根据垂直关系得到，结合已知计算出的度数，再利用两直线平行，内错角相等，得到的结果； （）根据射线的位置分两种情况讨论（在内部、在外部），再结合平行线的性质计算对应角度． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ． （2）解：当在内部时， ， ， ； 当在外部时， ， ， 或． 21．数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，且满足． (1)若， ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），，则_______； ②如图2，点B落在a上，作的平分线并反向延长交的平分线于点H，求的度数； (2)如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线、，分别交a于点D、E，P是边上的一点，连结，恰好平分，Q是射线上的一点，连结，若，设，，，试求出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质得到，，再由，即可求解； ②过点作，设，则，，，根据平行线的性质得到，，即可求解； （2）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②如图，过点作， 设， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，当点在线段上时，过点作，过点作， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作，过点作， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 22．已知：，分别平分和，且． (1)如图1，求证； (2)如图2，点，分别在，上，连接，过点作交于点，求证． 【答案】(1)证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ； (2)证明：如图，过点作， ， ， ，， ， ，， ． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）过点作，由垂线的定义得到，证明，得到，，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，直线，一副直角三角板和中，，，，，． (1)把三角板如图摆放，当平分时，________； (2)把三角板和如图摆放，且点、、在一条直线上，求的度数； (3)将图中的三角板固定不动，三角板从图初始位置绕点顺时针匀速旋转，总用时4分钟．设旋转时间为分钟．若旋转过程中直线与三角板的边所在的直线互相平行，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1) (2) (3)符合条件的值有或或． 【分析】（1）过点作，利用角平分线定义，以及平行线性质推出，进而求出，再结合平行线性质和判定即可求出； （2）过作，类比于（1）结合平行线性质和判定求解，即可解题； （3）先算出每分钟旋转的角度，再分三种情况，当时，延长交于点，记交于点，当时，当时，延长交于点，过点，作，结合平行线性质和判定，以及三角板度数分析求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握平行线性质和判定，以及利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】（1）解：过点作， 平分时，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 当时，延长交于点，记交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时，延长交于点，过点，作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，符合条件的值有或或． 24．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质与角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质与角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差与数量关系，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 利用相交线的性质解决对顶角、邻补角问题 题型2 垂线的定义和画垂线 题型3 垂线段最短以及点到直线的距离 题型4 同位角、内错角、同旁内角 题型5 平行公理的应用 题型6 平行线的判定 题型7 平行线的性质 题型8 判定是否是命题、判定命题真假 题型9 命题的证明 题型10 逻辑推理与论证 题型11 平移的性质 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 相交线相关：邻补角、对顶角性质；垂直定义、垂线公理、垂线段最短；点到直线的距离 2. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角识别 3. 平行线判定定理、平行线性质定理 4. 平行线拐点模型（猪蹄、铅笔头、拐角模型）角度计算 5. 命题、定理与证明：区分题设与结论、真假命题判定 6. 平移的定义与性质；平移求线段、周长、面积 1. 题型分层命题 （1）基础层（选择、填空，6–10 分） 单一概念直接考查：对顶角角度计算、垂直辨析、三线八角识别、平移性质判断；陷阱集中在 “距离概念混淆”“三线八角误判”。 （2）中档解答（6–8 分，必考） 二合一综合：平行线判定 + 性质综合推理；角度等量转化；规范书写几何证明格式。 （3）拔高压轴（期中期末最后一题，8–10 分）三大压轴载体：①平行线拐点多步角度推导；②平行线结合动点角度探究；③折叠与平行线综合；少量新定义题型。 2. 命题四大固定趋势 （1）知识整合化，极少单一考点出题一道题融合 2–3 个模块：例如垂直→平行线性质→角度计算；平行线 + 平移串联命题。 （2）模型转化是核心区分拉分点高频考查场景：拐点无平行线时，需要过拐点作平行线构造三线八角；多折线连续角度推导。（3）弱化机械背诵，强化图形推理不直接默写定理，重在从图形提取角的位置关系；固定模型反复考查：猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿折线模型。4）重视逻辑规范书写与严谨性扣分重灾区：推理缺少依据、判定与性质混用、“垂直”“垂线段最短” 概念混淆、证明因果颠倒。 考情解码： 1. 理清定理逻辑：严格区分判定（由角的关系推线平行）与性质（由线平行推导角相等 / 互补），二者互为逆命题，禁止因果颠倒； 2. 拐点解题固定流程：遇折线拐角图形，优先过拐点作已知直线的平行线，转化出同位角、内错角； 3. 证明书写原则：每一步推理标注定理依据，杜绝跳步； 4. 概念辨析重点：区分 “垂线段” 和 “垂线段的长度（距离）”；三线八角识别只看截线与被截两条直线，不受图形摆放方向干扰。 知识点一 相交线 （1）邻补角的性质：邻补角互补.  （2）对顶角的性质：对顶角　相等　.  （3）垂线的性质：①在同一平面内，过一点　有且只有　一条直线与已知直线垂直；  ②两直线垂直，则它们的夹角为 90 °.  （4）垂线段的性质：垂线段 最短　.  （5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 三线八角 形状 图示 同位角 “F”字形 内错角 “Z”字形 同旁内角 “C”字形 知识点三 平行线的判定与性质 （1）基本事实：过直线外一点有且只有 一 条直线与已知直线平行. （2）推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相　平行　.  判定 性质 图示 同位角相等， 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 内错角相等， 两直线平行 两直线平行， 内错角相等 同旁内角互补， 两直线平行 两直线平行， 同旁内角互补 知识点四 平移的性质 （1）平移前后对应的线段　平行　（或在同一直线上）且　相等　.  （2）平移前后对应的角　相等　.  （3）连接平移前后各组对应点的线段　平行　（或在同一直线上）且　相等.  (1) 垂线段≠距离：垂线段是图形，距离是垂线段的长度。 (2) 三线八角前提：必须是两条直线被第三条直线所截形成。 (3) 判定、性质勿颠倒：由角定线是判定；由线定角是性质。 (4) 平行公理有限制：过直线外一点，才有且仅有一条直线与已知直线平行。 (5) 拐点辅助线规范：过拐点作已知直线的平行线。 (6) 平移不变形：平移只改变位置，不改变图形形状与大小。 知识点五 定义、命题 （1）定义：对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义. （2）命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题. （3）命题的形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式. （4）命题由　题设　　和　结论　两部分组成.  题设是已知事项。结论是由已知事项推出的事项。 （5）提示： ①命题是陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题； ②命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断. 题型1 利用相交线的性质解决对顶角、邻补角问题 【例1-1】下列四个图中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【例1-2】如图，将两根木条，钉在一起，得到一个相交线模型，固定木条，转动木条，当减小时，下列说法正确的是（     ） A．减小 B．增大 C．与的和增大 D．与的和增大 抓住核心：利用对顶角相等、邻补角之和为 180°建立等量关系，结合已知角度列式求解；遇到多条直线相交，逐层寻找等角、互补角转化角度。 【变式训练1-1】如图，直线，相交于点，平分． (1)的对顶角是___________，邻补角是___________； (2)若，求的度数． 【变式训练1-2】如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为___________． 【变式训练1-3】如图，直线与直线相交于点，若，则__________，__________． 题型2 垂线的定义和画垂线 【例2-1】如图，与相交于点，，垂足为．若，则的度数为____________． 【例2-2】如图，，，点B，O，D在同一条直线上，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 依据垂线定义，两直线夹角为 90° 即可判定垂直；作图保证直角标记清晰，牢记过一点（线上 / 线外）有且只有一条垂线。 【变式训练2-1】如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【变式训练2-2】已知：如图，直线相交于． (1)作图：过点作直线（不要求写作法，点在上方） (2)若，求、、的度数． 【变式训练2-3】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 题型3 垂线段最短以及点到直线的距离 【例3-1】如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印．若米，则李明的跳远成绩可能是（     ） A．2.71米 B．2.74米 C．2.77米 D．2.80米 【例3-2】如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 求最短路径直接选用垂线段；注意点到直线的距离特指垂线段的长度，并非垂线段本身。 【变式训练3-1】如图，三角形中，，， 点P是上的动点， 则的长度不可能是（     ） A．8 B．7 C．6.2 D．5 【变式训练3-2】如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 【变式训练3-3】如图，点是直线外一点，点A、B、C在直线上，若，，，则点到直线的距离可以是________．（写一个符合条件的值即可） 题型4 同位角、内错角、同旁内角 【例4-1】如图，已知直线a，b被直线c所截，那么的内错角是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】如图，下列种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同旁内角；⑤与是同位角；⑥与是内错角．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 找准截线与两条被截直线，依据位置特征识别三类角；判断时不受图形倾斜方向干扰，重点观察角在截线的同侧或两侧、被截两线之间或外部。 【变式训练4-1】如图所示，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式训练4-2】如图，有下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式训练4-3】如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角 题型5 平行公理的应用 【例5-1】下列说法中正确的个数有（     ）． ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5-2】下列说法正确的有（   ） ①相等的角叫对顶角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤在同一平面内的两条不重合的直线位置关系只有两种：平行或相交． A．个 B．个 C．个 D．个 平行公理核心：过直线外一点仅有一条平行线；推论可借助平行传递性（同平行于一线的两直线互相平行）进行直线位置关系推导。 【变式训练5-1】已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【变式训练5-2】下列说法正确的有（    ） ①不相交的两条直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练5-3】在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 题型6 平行线的判定 【例6-1】城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 【例6-2】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 先找同位角、内错角、同旁内角的等量 / 互补关系，由角的数量关系推导两直线平行，推理标注对应判定定理。 【变式训练6-1】如图，是上一点，是上一点，是的延长线上一点，下列条件中，能判断的是 （     ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，在下列条件中，不一定能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图，四边形，连结，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若平分，，则 题型7 平行线的性质 【例7-1】如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 【例7-2】一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为，灯杆与底部支架所成锐角α的度数为（     ） A． B． C． D． 已知两直线平行，直接推同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，步步标注性质定理，避免和判定混用。 【变式训练7-1】如图是某工地支架的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】小亮从图1的电动伸缩门抽象出图2所示的几何图形，已知，，平分，交于点G．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（     ） A． B． C． D． 题型8 判定是否是命题、判定命题真假 【例8-1】下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【例8-2】下列语句，是假命题的是（     ） A．如果，，那么 B．过一点作直线的垂线 C．同旁内角互补 D．与同一条直线平行的两条直线也平行 判断是否为命题看语句有无判断语义；分辨真假命题，真命题严谨推理，假命题只需举出一组反例即可推翻。 【变式训练8-1】下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【变式训练8-2】下列命题是真命题的是（     ） A．互补的两个角是邻补角 B．直线，，，若，，则 C．直线，，，若，，则 D．同旁内角相等，两直线平行 【变式训练8-3】命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 题型9 命题的证明 【例9-1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 先拆分命题的题设与结论，依据已知、定理逐步推导，每一步写明推理依据，逻辑不能颠倒。 【变式训练9-1】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【变式训练9-2】证明：两个奇数之和是偶数． 【变式训练9-3】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 题型10 逻辑推理与论证 【例10-1】甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【例10-2】某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 梳理条件与结论，按因果顺序推导，每一步匹配对应几何定理，杜绝判定、性质混用。 【变式训练10-1】当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【变式训练10-2】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【变式训练10-3】为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 题型11 平移的性质 【例11-1】如图所示是我国古代园林中常见的窗格图样的部分图形，它可以看作是由一个基本图形连续平移若干次得到的，这个基本图形是（     ） A． B． C． D． 【例11-2】下列图案可由基本图形平移得到的是（     ） A． B． C． D． 平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行（或共线）、对应角相等；平移距离为对应点连线的长度。 【变式训练11-1】河南省第十五届运动会系列资格赛已于2026年5 月集中完成，包括步手枪、游泳、场地自行车、田径、武术、垒球等项目．下列各组运动项目的图标中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-21】下列选项中，能通过下图平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】如图，将沿水平向右平移到的位置，若，则点之间的距离为（     ） A．3 B．5 C．4 D．6 【变式训练11-4】如图，将周长为的沿射线向左平移，得到．则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-5】如图，三角形沿方向平移得到三角形，已知，，那么平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】如图，在中，，，将沿着的方向平移到的位置，若平移的距离为2，则图中的阴影部分的面积为（     ） A．10 B．8 C．7 D．6 【变式训练11-7】如图，将三角形沿方向平移得到三角形，其中与相交于点，连接，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】如图，在一块长为 ，宽为的长方形草坪上，修筑了宽为的小路（阴影部分） ．已知草坪面积为，则（     ） A．122 B．102 C．123 D．104 1．如图所示，直线与直线相交于点为的角平分线，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，垂足为，直线经过点，，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 4．如图，直线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．小明骑自行车自处沿正北方向前进，到达处后，右拐继续行驶，若到达处后，想继续沿正北方向行驶，则他在处应（     ） A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐 6．下列命题是真命题的是（     ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角一定是对顶角 C．互补的两个角一定是一个锐角一个钝角 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．下列说法中，正确的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种 8．下列命题中，真命题的个数是（     ） （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （4）同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．中国文字博大精深，演变顺序大致为：甲骨文—金文—篆书—隶书—楷书—草书—行书．下列甲骨文中能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 10．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生裂缝的面积是（     ） A． B． C． D．无法计算 11．如图，直线相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示．的点在直线上，表示的点在直线上，则的度数为_____． 12．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数是________度． 13．如图，，，，分别在，，上，平分交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 14．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______． 15．如图所示，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，．若，则_______． 16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 17．如图，直线与相交于点O，，，，求的度数． 18．如图，直线，相交于点，平分，平分，．求的度数． 19．填空完成下面的证明过程和依据： 如图，已知，，求证：． 证明：∵ （ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴（ ）． 20．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 21．数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，且满足． (1)若， ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），，则_______； ②如图2，点B落在a上，作的平分线并反向延长交的平分线于点H，求的度数； (2)如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线、，分别交a于点D、E，P是边上的一点，连结，恰好平分，Q是射线上的一点，连结，若，设，，，试求出、、之间的数量关系． 22．已知：，分别平分和，且． (1)如图1，求证； (2)如图2，点，分别在，上，连接，过点作交于点，求证． 23．如图，直线，一副直角三角板和中，，，，，． (1)把三角板如图摆放，当平分时，________； (2)把三角板和如图摆放，且点、、在一条直线上，求的度数； (3)将图中的三角板固定不动，三角板从图初始位置绕点顺时针匀速旋转，总用时4分钟．设旋转时间为分钟．若旋转过程中直线与三角板的边所在的直线互相平行，请直接写出所有符合条件的值． 24．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $