8.1平方根(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

8.1平方根 板块一：知识精讲 1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 板块二：典题精练 一、单选题 1．已知，，且，那么等于（　　） A．2或8 B．或8 C．或 D．2或 2．下列说法错误的是（） A．1的平方根是 B．-1是1的平方根 C．1是1的平方根 D．-1的平方根是1 3．16的平方根是（ ） A．2 B．4 C．﹣2或2 D．﹣4或4 4．4的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 5．实数3的平方根是（　　） A．±3 B． C． D． 6．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的值的个位数字为(    ) A．0 B．4 C．6 D．8 8．在，，π， ， 3.14，中，有理数个数有（      ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．面积为4的正方形的边长是（    ） A．4的算术平方根 B．4的平方根 C．4的立方根 D．4的平方 10．3的平方根是（    ） A． B． C．9 D． 二、填空题 11．已知x，y满足+│x-y+2│=0，则y-x的平方根为 12．对于实数a，b，若有，则 ． 13．若正数m的两个平方根是2a-1和a-5,则a= ,m= 14．一个正数的平方根分别是和，则这个正数是 ． 15．若，其中，均为整数，则符合题意的有序数对的组数是 ． 16． 的算术平方根是 的平方根是 三、解答题 17．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 18．已知和︱2b－3︱互为相反数，求的平方根． 19．已知与是同一个正数的平方根． (1)求k的值； (2)求这个正数的值． 20．计算： 21．某公路段规定汽车的行驶速度每小时不得超过70km．当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离来估计车辆行驶的速度，所用的公式是v=16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．经测定，某肇事汽车刹车后车轮滑过的距离d=20m，已知f=1.2，该肇事汽车当时是否超速？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题主要考查了有理数的计算，绝对值的性质，代数式求值，先根据题意结合求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，. ∵， ∴， ∴当，时，； 当，时，． 所以等于2或8． 故选：A． 2．D 【分析】根据平方根的定义即可判断. 【详解】A. 1的平方根是，正确；     B. -1是1的平方根，正确； C. 1是1的平方根，正确；     D. -1没有平方根，故错误； 选D. 【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知非负数才有平方根. 3．D 【分析】根据平方根的定义，即可解答． 【详解】解：16的平方根是±4． 故选D． 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 4．A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：A． 5．B 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，直接根据平方根的概念即可求解． 【详解】∵（）2＝3， ∴3的平方根是为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，熟记平方根的定义是解题的关键． 6．D 【分析】根据二次根式的性质分别计算，即可判断． 【详解】解：A．，因此选项A不正确； B．，因此选项B不正确； C．，因此选项C不正确； D．，因此选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的化简方法是正确计算的前提． 7．D 【分析】此题主要考查了算术平方根，得出的近似值是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即其个位数字为8， 故选D． 8．D 【分析】先化简各数，再利用有理数的定义判断即可． 【详解】∵ =﹣7， =7， ∴有理数有：， ，3.14，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的定义、算术平方根，熟记有理数的定义是解答的关键． 9．A 【分析】因为正方形的面积等于边长乘以边长，即边长的平方，根据正方形面积是4，可得：正方形边长的平方等于4，即边长等于，即的算术平方根． 【详解】解：设正方形的边长为x， 根据题意可得：x2=4， 所以x=，即边长为4的算术平方根． 故选A． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，解决本题主要熟练掌握算术平方根的定义． 10．D 【分析】根据平方根定义判断即可. 【详解】解:∵ ∴3的平方根是 故选D. 【点睛】此题考查的是求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解决此题的关键. 11． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵+│x-y+2│=0， ∴， 解得：， ∴y-x=-1-（-3）=2， ∴y-x的平方根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质和平方根以及二元一次方程组，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12．/ 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟知两个非负数相加为0，那么这两个非负数都为0是解题的关键． 13． 2 9 【详解】由题意可知：2a−1+a−5=0， 解得：a=2， 2a−1=3， 即这个正数是9. 故答案为2,9. 14．36 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意知， 解得：， ， ∴这个正数是36， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 15．5 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b所有的可能值，即可得到答案． 【详解】解：∵，且，均为整数， 又∵，， ∴可分为以下几种情况： ①，， 解得：，； ②，， 解得：或，； ③， 解得：或，； ∴符合题意的有序数对共由5组； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题． 16． +3，-3 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 的算术平方根是 ， ∵ ，9的平方根是 ∴ 的平方根是． 故填：  (1). ；(2). +3，-3. 【点睛】本题主要考查了平方根与算术平方根的定义，若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，a的非负的平方根就是a的算术平方根． 17．（1）；（2）；（3） 【分析】根据平方根和算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，根据定义内容计算是解题关键． 18． 【分析】根据非负数的性质，由二次根式有意义的条件求得a的值，再根据绝对值的意义求出b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题得+︱2b－3︱=0， ∴=0，且︱2b－3︱=0， ∴1-3a=0，2b-3=0； 解得：a=，b=， ∴=+2=+2= ∴的平方根是 【点睛】此题主要考查了非负数的意义，关键是明确几个非负数的和为0的条件是让各部分分别为0．熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 19．(1)k的值为3或5； (2)这个正数的值为1或25． 【分析】（1）根据平方根的意义，分两种情况讨论，然后进行计算即可解答； （2）把k的值代入进行计算即可解答． 【详解】（1）解：分两种情况： 当2k-5+3k-10=0， 解得：k=3； 当2k-5=3k-10时， 解得：k=5， ∴k的值为3或5； （2）解：当k=3时，； 当k=5时，， ∴这个正数的值为1或25． 【点睛】本题考查了实数，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 20． 【分析】先求绝对值和算术平方根，再加减． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根，正确进行绝对值和算术平方根的计算是求解本题的关键． 21．超速 【分析】直接用题目中的速度公式即可求出． 【详解】解：v=16=16× ≈78.38（km/h）＞70（km/h）． 答：该肇事汽车当时超速． 【点睛】本题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$