专题7.6 相交线与平行线（章节复习）（知识荟萃+37个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共89题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了相交线与平行线的知识体系，将相交线、垂线、平行线判定与性质、平移等8个核心知识点按逻辑关系整合，用思维导图呈现三线八角、平行公理及推论等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型分类+分层训练”设计，如通过“对顶角相等求角度”“平行线性质探究角的关系”等37个题型讲练，结合中考真题和基础夯实、培优拔高分层练习，培养学生推理意识与几何直观。每个题型配典例与变式训练，帮助不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题7.6 相交线与平行线（章节复习） （知识荟萃+37个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共89题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：垂线 3 知识点梳理03：平行线的定义及画法 3 知识点梳理04：三线八角 4 知识点梳理05：平行公理及推论 4 知识点梳理06：平行线判定 4 知识点梳理07：平行线性质 5 知识点梳理08：平移 5 题型讲练 6 题型1：对顶角的定义 6 题型2：对顶角相等 7 题型3：邻补角的定义理解 8 题型4：找邻补角 9 题型5：利用邻补角互补求角度 10 题型6：垂线的定义理解 11 题型7：画垂线 12 题型8：垂线段最短 14 题型9：点到直线的距离 14 题型10：同位角、内错角、同旁内角 16 题型11：平面内两直线的位置关系 17 题型12：用直尺、三角板画平行线 18 题型13：平行公理的应用 19 题型14：平行公理推论的应用 20 题型15：同位角相等两直线平行 22 题型16：内错角相等两直线平行 23 题型17：同旁内角互补两直线平行 24 题型18：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 25 题型19：两直线平行同位角相等 26 题型20：两直线平行内错角相等 27 题型21：两直线平行同旁内角互补 29 题型22：根据平行线的性质探究角的关系 30 题型23：根据平行线的性质求角的度数 35 题型24：平行线的性质在生活中的应用 36 题型25：根据平行线判定与性质求角度 39 题型26：根据平行线判定与性质证明 41 题型27：判断是否是命题 43 题型28：写出命题的题设与结论 43 题型29：判断命题真假 44 题型30：举例说明假(真)命题 45 题型31：举反例 46 题型32：逻辑推理与论证 47 题型33：生活中的平移现象 48 题型34：图形的平移 49 题型35：利用平移的性质求解 50 题型36：利用平移解决实际问题 52 题型37：平移(作图) 53 中考真题 55 分层训练 59 基础夯实 59 培优拔高 61 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点梳理02：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点梳理03：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 题型1：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古阿拉善盟·期中）下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【规范解答】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型2：对顶角相等 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角的性质，是解题的关键． 根据对顶角相等，得出即可． 【规范解答】解：∵直线，相交于点O，， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【思路点拨】本题考查对顶角及邻补角的定义及性质，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．结合已知条件易求得∠AOC的度数，然后根据邻补角的定义即可求得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3：邻补角的定义理解 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【规范解答】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 【变式训练】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【规范解答】解： 平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 题型4：找邻补角 【典例精讲】（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【思路点拨】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【规范解答】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【思路点拨】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【规范解答】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 题型5：利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A．20° B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了邻补角，邻补角‌是指两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为的几何关系． 【规范解答】解：∵直线相交于点O，， ∴． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（1）根据对顶角的意义，邻补角的意义求解； （2）先利用对顶角相等求得，再利用求解，然后利用邻补角的意义求得的度数． 【规范解答】（1）解：图中的对顶角为，的补角为， 故答案为：，． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴． 题型6：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江丽水·月考）如图，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平角定义和已知易得：，从而利用对顶角相等可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式训练】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，相交于点O，，且平分．若，求的大小． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差；先根据垂直定义得，再结合已知得，然后根据角平分线定义得，最后根据得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型7：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线和平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段最短即可得解答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：由垂线段最短得，． 【变式训练】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【思路点拨】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【规范解答】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 题型8：垂线段最短 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【规范解答】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 【变式训练】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【思路点拨】本题主要考查点到直线的距离．把看作直线，是的垂线，由此即可求解． 【规范解答】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 题型9：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【答案】 【思路点拨】本题考查 点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题的关键．根据点到直线的距离的定义，即可得到答案． 【规范解答】解：因为，垂足是， 所以点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【规范解答】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 题型10：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的位置关系判断，熟悉掌握同位角的位置关系是解题的关键． 根据同位角的位置关系特点逐一判断即可． 【规范解答】解：A：与为同位角，故A不符合题意； B：与为同位角，故B不符合题意； C：与没有公共边，不为同位角，故C符合题意； D：与为同位角，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【规范解答】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 题型11：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级下·广西桂林·期中）在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【思路点拨】本题考查直角的交点个数问题，当三条直线平行时，三条直线没有交点，三条直线两两相交时至少有一个交点，至多有3个交点，即可得出结果． 【规范解答】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点， 三条直线两两相交时，如图： 可能有1个，2个或3个交点， 故选D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【规范解答】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 题型12：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查平行线的画法．利用三角尺，从边平移直到直线过P点，做出平行线，同理做出的平行线． 【规范解答】解：如图所示，，，直线即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在正方形网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，三角形中，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)图（1）中画出的邻补角； (2)图（2）中画射线使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图，应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据邻补角的定义画出图形； （2）利用平行线的性质解决问题． 【规范解答】（1）解：作图如下： 即为所求； （2）取格点，作射线，作图如下： 射线即为所求． 题型13：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】A 【思路点拨】根据经过经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据经过经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系，平面内，两条直线只有平行和相交两种位置关系，那么同一平面内，一条直线和两条平行线的位置关系要么都相交，要么都平行，据此可得答案． 【规范解答】解：A、一条直线和两条平行线不一定都平行，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，一条直线和两条平行线可能与两条平行线都相交或都平行，原说法正确，符合题意； C、一条直线和两条平行线不一定与都相交，原说法错误，不符合题意； D、一条直线不可能和两条平行线中的一条平行或相交，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型14：平行公理推论的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【思路点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 题型15：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点、分别在、的延长线上，不添加其他角与线的前提下，写出一个条件 ，使得．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【规范解答】解：添加，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【规范解答】解：由“同位角相等，两直线平行”可知当时，， 由“内错角相等，两直线平行”可知当时，， 若，由题可知，由此可得，则， 综上，可添加的条件为：或或等． 故答案为：（答案不唯一）． 题型16：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定，是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【规范解答】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 题型17：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要使，必须使 （写出你认为正确的一个条件即可）． 【答案】或或或（任选一个） 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可求解，掌握平行线的判定是解题的关键． 【规范解答】解：要使，则必须使或或或， 故答案为：或或或（任选一个）． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用． 利用平行线的判定定理进行分析即可． 【规范解答】解：A、当时，根据内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，根据同位角相等，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，根据同旁内角互补，两直线平行得，故C不符合题意； D、与不属于同位角或内错角，故不能判定，故D符合题意， 故选：D． 题型18：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【规范解答】解：∵过直线外一点作的垂线， ∴ ∵过点作的垂线， ∴ ∴ 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【思路点拨】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 题型19：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质及对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴； 故选A． 【变式训练】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 题型20：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）完成下面推理过程： 如图，，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（______________________） ∴（______________________） ∵（______________________） ∴ （______________________） ∴（______________________）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【思路点拨】本题考查直线平行的判定与性质，根据直线平行的判定定理与性质定理即可求解． 【规范解答】解：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式训练】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线的性质，余角． 由，可得和互余，由平行线的性质，可得，从而可得的度数． 【规范解答】解：∵，垂足为B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型21：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【规范解答】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型22：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【规范解答】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又 ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图①，过点作， ， ， ，， ； （2）解：如图②，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． 题型23：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键； 【规范解答】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵. 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，因为，所以，又因为已知，则的度数可求． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型24：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【规范解答】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为 ． 【答案】125°/125度 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答． 【规范解答】解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型25：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【思路点拨】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【规范解答】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式训练】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点到直线的距离为 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，等面积法．熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）由平分，即可证明； （2）由（1）的，可以求出，再由即可求出的度数； （3）先求出，根据等面积法，即可求出点到直线的距离． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 题型26：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，点B在AC上，，．试说明：． 思路一：利用同位角相等说明． 思路二：利用同旁内角互补说明． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 先利用得到直角，再结合平角性质或已知角的关系，分别通过同位角相等、同旁内角互补的平行线判定规则，证明． 【规范解答】解：思路一：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 思路二：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可； （2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 题型27：判断是否是命题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 【答案】C 【思路点拨】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断即可． 【规范解答】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意； B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意； C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意； D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意． 故选C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【规范解答】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 题型28：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【思路点拨】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【规范解答】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【思路点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【规范解答】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 题型29：判断命题真假 【典例精讲】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查真假命题的判定，涉及平行线的性质、点到直线的距离、垂线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据平行线的性质、点到直线的距离、垂线的性质逐项判断即可， 【规范解答】解：A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意； B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不符合题意； C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·四川泸州·月考）下列命题中是真命题的是（ ） A．有公共顶点且相等的两个角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离 【答案】C 【思路点拨】根据对顶角的概念、平行公理及推论、点到直线的距离的定义判断． 本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【规范解答】解：A、有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，故命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题是假命题，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到已知直线的垂线段的长度，就是该点到直线的距离，故命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 题型30：举例说明假(真)命题 【典例精讲】（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【规范解答】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【规范解答】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故选：B． 题型31：举反例 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“ ”． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、假命题的概念解答． 【规范解答】解：当时，， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【规范解答】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 题型32：逻辑推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【答案】共有种方法． 【思路点拨】本题考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩12个小球，利用隔板法分为三堆放入即可． 【规范解答】解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩12个小球， 三个盒内每个盒子至少再放入1个，将12个球排成一排， 有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中， 共有种方法． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是 ． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0518 【思路点拨】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【规范解答】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、4、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 题型33：生活中的平移现象 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平移作图， 根据平移的定义“ 平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换 ”解答即可． 【规范解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到； B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．小明在荡秋千 B．拉开抽屉 C．行驶中的车轮滚动 D．运动的钟摆 【答案】B 【规范解答】本题考查生活中的数学现象，熟记平移概念是解决问题的关键．平移是指物体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状和大小不变，且无旋转，结合选项中描述的现象逐项判断即可得到答案． 【思路点拨】解：A、荡秋千时，秋千绕固定点摆动，轨迹为圆弧，属于旋转而非平移，不符合题意； B、拉开抽屉时，抽屉整体沿直线移动，各点运动方向、距离相同，无旋转，属于平移，符合题意； C、行驶中的车轮滚动时，车轮绕轴旋转，各点轨迹为圆周运动，属于旋转非平移，不符合题意； D、钟摆绕支点往复摆动，轨迹为圆弧，属于旋转非平移，不符合题意； 故选：B． 题型34：图形的平移 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】 解：由平移得到 故选：C 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·月考）将下图的箭头平移后可能得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质判断即可． 【规范解答】解：根据平移的性质，平移后的图形为： ， 故选：B． 题型35：利用平移的性质求解 【典例精讲】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【思路点拨】本题考查了平移的性质，掌握相关知识是是解决问题的关键．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． （1）根据平移的性质和平行的性质得到，然后利用互余计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，，所以，然后利用可计算出的长． 【规范解答】（1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，将沿着射线方向平移，得，若，，，则阴影部分的周长为 ．    【答案】18 【思路点拨】本题主要考查了利用平移的性质求解计算，准确理解平移性质进行求解是解题的关键． 由平移可得，，，再计算周长即可； 【规范解答】由平移可知：，， ， ， 阴影部分的周长为； 故答案是． 题型36：利用平移解决实际问题 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【思路点拨】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【规范解答】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图所示的是某台阶的一部分，各级台阶的高度为1分米，宽度为2分米．如果点的坐标为，点的坐标为． (1)根据，两点坐标建立平面直角坐标系，并直接写出，，三点坐标； (2)在平面直角坐标系中，请你从平移的角度说明点可以看作是点通过怎样平移得到的； (3)已知这个台阶共有14级台阶，每级台阶的长度为米，要在台阶（包括水平面，竖直面）上铺设地毯，所需地毯的面积至少为多少平方米？ 【答案】(1)平面直角坐标系见解析；，， (2)点可以看作是点向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到 (3)平方米 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系，坐标平移，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点． （1）根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系即可，根据平面直角坐标系写出点，，坐标； （2）根据平移的特点，进行求解即可； （3）根据各级台阶的高度为1分米，宽度为2分米，每级台阶的长度为米，求出所需要地毯的面积即可． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示： ，，； （2）解：点可以看作是点向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到； （3）解：（平方米）， 答：所需地毯的面积至少为平方米． 题型37：平移(作图) 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）作图题： 是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标． 【答案】图见解析，、、 【思路点拨】本题考查坐标与图形变化——平移，解题关键是根据已知点的平移规律，求出各顶点的坐标，再进行作图．已知中任意一点经过平移后对应点为，说明是由向左平移3个单位，向下平移5个单位得到的，由坐标平移变化规律得出新坐标即可． 【规范解答】解：如图所示，、、 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【思路点拨】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 1．（2024·全国·中考真题）下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题考查对顶角，余角，补角． 根据对顶角，余角，补角的定义，对各说法进行分析判断即可． 【规范解答】解：和为的两个角互为补角，故原说法不正确； ，那么是的补角，故原说法不正确； 互为补角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法不正确； 有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故原说法不正确； 等角的余角相等，故原说法正确； ∴说法正确的有个． 故选：A． 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据，得出，再利用平角等于求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据得，，可得，最后利用平行线的性质可得答案． 【规范解答】解：过点作，过点作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 4．（2024·宁夏吴忠·中考真题）如图，将直角梯形沿平移得直角梯形，若，，，，求图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，，则可证明四边形是梯形，再根据图形之间的关系可推出，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：由平移的性质可得，，， ∴，，四边形是梯形， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）如图，．求的度数． 【答案】，， 【思路点拨】本题考查根据平行线的性质求角的度数，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，由此求解． 【规范解答】解： ， ， ， ，， ． 综上可得，，，． 基础夯实 1．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的性质，邻补角． 由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【思路点拨】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【规范解答】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点． 根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 【答案】 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换 【思路点拨】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，根据平行线的性质，得，，再根据，等量代换即可使题目得证． 【规范解答】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）．      故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换． 培优拔高 6．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【规范解答】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 7．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【规范解答】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将沿着射线的方向平移，得到，已知之间的距离是，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平移的性质，熟悉掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，即可根据运算求解． 【规范解答】解：∵沿着射线的方向平移，得到，且之间的距离是， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 9．（23-24七年级下·山东济南·开学考试）老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并能灵活作辅助线是解题的关键． 通过作辅助线，利用平行线的性质，将和与三角板的角建立联系，进而求解． 【规范解答】解：过三角板的角的顶点A作直线． 由题意可得, ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米 【思路点拨】本题主要考查点到直线的距离，垂线的定义，比例尺，理解相关知识是解答的关键． （1）根据题意和图，测量出线段的长度即可求解； （2）先过点作于点，再测量出线段的长度即可求解； （3）根据图上距离实际距离比例尺，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意和图可得， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （2）解：如图， 过点作于点， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （3）解：由题意得， （厘米），厘米千米； （厘米），厘米千米． 答：（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 相交线与平行线（章节复习） （知识荟萃+37个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共89题） 【原卷版】 知识荟萃 3 知识点梳理01：相交线 3 知识点梳理02：垂线 3 知识点梳理03：平行线的定义及画法 3 知识点梳理04：三线八角 4 知识点梳理05：平行公理及推论 4 知识点梳理06：平行线判定 4 知识点梳理07：平行线性质 5 知识点梳理08：平移 5 题型讲练 6 题型1：对顶角的定义 6 题型2：对顶角相等 6 题型3：邻补角的定义理解 7 题型4：找邻补角 7 题型5：利用邻补角互补求角度 8 题型6：垂线的定义理解 8 题型7：画垂线 9 题型8：垂线段最短 10 题型9：点到直线的距离 10 题型10：同位角、内错角、同旁内角 11 题型11：平面内两直线的位置关系 11 题型12：用直尺、三角板画平行线 11 题型13：平行公理的应用 12 题型14：平行公理推论的应用 12 题型15：同位角相等两直线平行 13 题型16：内错角相等两直线平行 14 题型17：同旁内角互补两直线平行 14 题型18：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 14 题型19：两直线平行同位角相等 15 题型20：两直线平行内错角相等 15 题型21：两直线平行同旁内角互补 16 题型22：根据平行线的性质探究角的关系 16 题型23：根据平行线的性质求角的度数 17 题型24：平行线的性质在生活中的应用 18 题型25：根据平行线判定与性质求角度 18 题型26：根据平行线判定与性质证明 19 题型27：判断是否是命题 20 题型28：写出命题的题设与结论 20 题型29：判断命题真假 21 题型30：举例说明假(真)命题 21 题型31：举反例 21 题型32：逻辑推理与论证 22 题型33：生活中的平移现象 22 题型34：图形的平移 22 题型35：利用平移的性质求解 23 题型36：利用平移解决实际问题 24 题型37：平移(作图) 24 中考真题 25 分层训练 26 基础夯实 26 培优拔高 28 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点梳理02：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点梳理03：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 题型1：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古阿拉善盟·期中）下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 题型2：对顶角相等 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 题型3：邻补角的定义理解 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 题型4：找邻补角 【典例精讲】（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 题型5：利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A．20° B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 题型6：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江丽水·月考）如图，，若，则的度数为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，相交于点O，，且平分．若，求的大小． 题型7：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【变式训练】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 题型8：垂线段最短 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【变式训练】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ． 题型9：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 题型10：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型11：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级下·广西桂林·期中）在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 题型12：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【变式训练】（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在正方形网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，三角形中，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)图（1）中画出的邻补角； (2)图（2）中画射线使． 题型13：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【变式训练】（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 题型14：平行公理推论的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【变式训练】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 题型15：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点、分别在、的延长线上，不添加其他角与线的前提下，写出一个条件 ，使得．（写一个即可） 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 题型16：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 题型17：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要使，必须使 （写出你认为正确的一个条件即可）． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 题型18：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 题型19：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型20：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）完成下面推理过程： 如图，，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（______________________） ∴（______________________） ∵（______________________） ∴ （______________________） ∴（______________________）． 【变式训练】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型21：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 题型22：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 题型23：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，．求的度数． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线．求的度数． 题型24：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【变式训练】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为 ． 题型25：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【变式训练】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 题型26：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，点B在AC上，，．试说明：． 思路一：利用同位角相等说明． 思路二：利用同旁内角互补说明． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 题型27：判断是否是命题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 题型28：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 题型29：判断命题真假 【典例精讲】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 【变式训练】（24-25七年级下·四川泸州·月考）下列命题中是真命题的是（ ） A．有公共顶点且相等的两个角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离 题型30：举例说明假(真)命题 【典例精讲】（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 题型31：举反例 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“ ”． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型32：逻辑推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是 ． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 题型33：生活中的平移现象 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．小明在荡秋千 B．拉开抽屉 C．行驶中的车轮滚动 D．运动的钟摆 题型34：图形的平移 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·月考）将下图的箭头平移后可能得到的图形是（　　） A． B． C． D． 题型35：利用平移的性质求解 【典例精讲】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，将沿着射线方向平移，得，若，，，则阴影部分的周长为 ．    题型36：利用平移解决实际问题 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图所示的是某台阶的一部分，各级台阶的高度为1分米，宽度为2分米．如果点的坐标为，点的坐标为． (1)根据，两点坐标建立平面直角坐标系，并直接写出，，三点坐标； (2)在平面直角坐标系中，请你从平移的角度说明点可以看作是点通过怎样平移得到的； (3)已知这个台阶共有14级台阶，每级台阶的长度为米，要在台阶（包括水平面，竖直面）上铺设地毯，所需地毯的面积至少为多少平方米？ 题型37：平移(作图) 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）作图题： 是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 1．（2024·全国·中考真题）下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 4．（2024·宁夏吴忠·中考真题）如图，将直角梯形沿平移得直角梯形，若，，，，求图中阴影部分的面积是 ． 5．（2024·上海·中考真题）如图，．求的度数． 基础夯实 1．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 培优拔高 6．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将沿着射线的方向平移，得到，已知之间的距离是，，则的长为 ． 9．（23-24七年级下·山东济南·开学考试）老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $