吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

东北师大附中2025—2026学年下学期高二年级期末考试数学科试卷 考试时长：120分钟  试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则的元素个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列说法正确的是 A．正态分布的图象越瘦高，越大 B．在残差图中，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域宽度越窄；其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越小，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 3．设，，，则是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，则 A．变量与独立 B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与不独立 D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 5．函数的大致图象为 A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D． 7．已知函数是偶函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．已知实数，分别满足，，且，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．已知函数，则函数 A．单调减区间为 B．在区间上的最小值为 C．图象关于点中心对称 D．极小值点是 10．已知正数，满足，则 A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则 A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12．若随机变量，且，则________． 13．已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则________． 14．已知函数，若存在实数，使得关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（10分） 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天中该作物的高度变化． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 （1）观察表格数据可知，天数与作物高度之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出作物高度关于天数的经验回归方程（其中，用分数表示）； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：，． 参考数据：，． 16．（10分） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（12分） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于，两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 18．（13分） 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 19．（13分） 已知函数，函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，，使成立，求的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求 实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $