综合专题05 几何提升题（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 几何提升题（陕西专用） 考点1 几何填空压轴题 1．（2021·陕西·中考）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 2．（2022·陕西·中考）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 3．（2023·陕西·中考）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    4．（2023·陕西·中考）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 5．（2024·陕西·中考）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 6．（2025·陕西·中考）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 考点2 解直角三角形的应用 7．（2021·陕西·中考）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 8．（2022·陕西·中考）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 9．（2023·陕西·中考）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    10．（2023·陕西·中考）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 11．（2024·陕西·中考）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    12．（2025·陕西·中考）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 考点3 圆解答题 13．（2021·陕西·中考）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 14．（2022·陕西·中考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 15．（2023·陕西·中考）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． ； 16．（2023·陕西·中考）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（2024·陕西·中考）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 18．（2025·陕西·中考）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点4 几何证明压轴题 19．（2021·陕西·中考）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 20．（2022·陕西·中考）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 21．（2023·陕西·中考）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    22．（2023·陕西·中考）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点P到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段在上，此时，线段是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答） 23．（2024·陕西·中考）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 24．（2025·陕西·中考）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 考点1 几何填空压轴题 1．（2025·陕西西安交大附中·六模）如图，矩形中，，，点E是对角线上一点，且，点F是上一点，若，则的长为 ． 2．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·七模）如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为 ． 3．（2025·陕西西安航天城二中·四模）如图，在边长为4的菱形中，，点O是两条对角线的交点，过点O的直线分别与交于点E，F，于点G，连接，则的最小值是 ． 4．（2025·陕西西安高新一中·八模）如图，线段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为 ． 5．（2025·陕西西安陕西师大附中·八模）如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为 ．    6．（2025·陕西咸阳永寿渡马九年制学校·五模）如图，正方形的边长为4，是边上一动点(不与点重合)，过点作，连接．若，则的最小值是 ． 考点2 解直角三角形应用题 7．（2025·陕西汉中西乡三中·中考模拟）在水平面上，有两座大楼，分别是，且满足，秋山澪伫立在上．在C处和A处分别有一盏灯，打开灯后秋山澪的影长分别是和，她的身高为，连接，经测量．已知，则秋山澪的身高为多少m？（结果精确到）（参考数据：） 8．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 9．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 10．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·二模）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，是中国现存规模最大、形制最完整的古代钟楼之一．周末，小明及他所在的数学兴趣小组开展测量钟楼高度的实践活动．方案如下：如图所示，小明先在点处放置一个平面镜，站在点处恰好在平面镜中看到钟楼的顶端，此时测得；同时小明测得钟楼顶端的仰角为，已知小明的眼睛与地面间的距离为，求钟楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 11．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·中考模拟）“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 12．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·七模）2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他看钟楼顶端的仰角是，他往前走了38米（米），转身拍照，发现此时钟楼影子的顶端和他的影子的顶端重合，已知此时他的影长是米，小明的身高是米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼的高度．（参考数据：） 考点3 圆解答题 13．（2025·陕西西安爱知初级中学·中考最后一次模拟）已知：如图，中，，以为直径作交于D、F两点，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．（2025·陕西西安工大附中·中考适应性训练）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）如图，在中，，D为边上一点，且，以为直径作，E为上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 16．（2025·陕西西安交大附中·六模）如图，是的直径，是的弦，连接，过点C作的切线交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 17．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）如图，为的外接圆，点C在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 18．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·中考一模）如图，内接于，，连接，，延长交于点，交的切线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点4 几何证明压轴题 19．（2025·陕西西安爱知初级中学·中考最后一次模拟）问题提出： (1)如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得，请求出的面积． (2)某加工厂有一块四边形工件，其中，，，，点C到的距离为，Q为边上一点，若平分四边形的面积，求的长． 20．（2025·陕西咸阳旬邑郑家镇中学·六模）问题提出 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究 （2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决 （3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 21．（2025·陕西咸阳永寿·中考二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 22．（2025·陕西西安新城区校联考·八模）（1）如图①，在中，，，，D是边上一点，，过点D作直线，作点B关于直线l的对称点E，作的垂直平分线m交于点F，连接，，，求的面积； （2）如图②，现有一张锐角纸片，，，，小明进行以下操作： ①作的垂直平分线分别交，于点E，F； ②作的平分线交于点G； ③以G为顶点，为边，作相等的角，交于点D． 小明按上述操作完成后，认为D是的外心，你认为他的想法正确吗？若正确，请加以证明，并求出的长；若不正确，请说明理由． 23．（2025·陕西铜川·二模）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，连接，点为的中点，连接、，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，，点为边上的动点，连接，点、分别为、的中点，点为内一点，连接、、，，求的最小值； 【问题解决】 （3）第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办．为了激发青少年的创新热情，某校计划修建校园科创角，其平面图如图3所示，、是校园内两条互相垂直的小路（宽度不计），相交于点处，矩形的顶点、分别在小路、上，米，米，上的点处有一个出入口，米，以点为圆心，3米为半径的区域为储物区，学校计划在上取点，小路上取点，使得，将四边形区域规划为研发区，在上取点，取的中点，沿规划为输送通道，为了节省输送成本，要求输送通道的长度尽可能小，请问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 24．（2025·陕西西安陕西师大附中·七模）问题情境 如图1，在中，，，将线段绕点C逆时针旋转，得线段CD（旋转角为），连接，直线与的角平分线所在直线交于点P． 猜想证明 （1）如图2，当时，______，______． （2）如图3，当时，探究线段之间的数量关系，并证明． 拓展延伸 （3）如图4，N为的中点．M为上的动点，已知，当时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何提升题（陕西专用） 考点1 几何填空压轴题 1．（2021·陕西·中考）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 【答案】 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 2．（2022·陕西·中考）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【答案】 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 3．（2023·陕西·中考）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 4．（2023·陕西·中考）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， 是的中点， ； ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·陕西·中考）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 6．（2025·陕西·中考）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 【答案】5 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 考点2 解直角三角形的应用 7．（2021·陕西·中考）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 【答案】 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】先设，再通过x表示出BD，最后利用三角函数关系建立方程即可完成求解． 【详解】解：在中，设． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， 即． 解之，得 ∴ ∴钢索的长度约为． 8．（2022·陕西·中考）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 9．（2023·陕西·中考）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 10．（2023·陕西·中考）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．过点作于，过点作于，根据正切的定义分别求出，，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， 得矩形，矩形， ，， 在中，，， 则， ， 在中，，， 则， ， ， 在中，，， 则， ， ， 答：楼与的高度差约为． 11．（2024·陕西·中考）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 12．（2025·陕西·中考）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 考点3 圆解答题 13．（2021·陕西·中考）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】（1）取的中点M，连接、，由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，由（1）知，则有，然后由相似三角形的性质可得，则，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点M，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 14．（2022·陕西·中考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 15．（2023·陕西·中考）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，   则， ， ， ． ； （2）如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 16．（2023·陕西·中考）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】（1）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据证明即可解决问题； （2）过点作于点，先求出，证明求出，求出，从而，证明求出，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：如上图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴同上可得：， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 17．（2024·陕西·中考）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 18．（2025·陕西·中考）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 考点4 几何证明压轴题 19．（2021·陕西·中考）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为． 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【详解】解：（1）在中，设边上的高为h． ∵，，∴ ∵，∴点到的距离为． ∴ ． （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则 ， ， ，． 由题意，易知， ∴ ． ∴当时，． ，． ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为， 这时，点N到点A的距离为． 20．（2022·陕西·中考）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)符合要求，理由见解析 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，连接．       图2 ∵， ∴四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：符合要求． 由作法，知． ∵， ∴． 如图3，以为边，作正方形，连接．         图3 ∴． ∵l是的垂直平分线， ∴l是的垂直平分线． ∴． ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∴． ∴裁得的型部件符合要求． 21．（2023·陕西·中考）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【详解】解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 22．（2023·陕西·中考）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点P到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段在上，此时，线段是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答） 【答案】（1）的最小值为；（2）这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【详解】（1）解：作于点，于点，则，   ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于， 点是拱桥的中点，， ，，共线，， 设半径为，则， 在中，， ， 解得， 圆弧型拱桥所在圆的半径为米； 如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于，则四边形是矩形， ，且， ， ， ， ， ， 即照明灯距离水面的高度为米； 当整个水面都被灯光照到时， ①与重合，与重合，如图所示， 由（2）可得， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ，即， ， 同理可得，即， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②当与重合，与重合时，如图： ， ， ， ， ， ， 根据对称性可得， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 23．（2024·陕西·中考）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 24．（2025·陕西·中考）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 考点1 几何填空压轴题 1．（2025·陕西西安交大附中·六模）如图，矩形中，，，点E是对角线上一点，且，点F是上一点，若，则的长为 ． 【答案】 【来源】2025年陕西省西安市西安交通大学附属中学中考六模数学试卷 【详解】解：如图：连接，作于点H，则， 四边形是矩形，，， ，，， ， 点E是上一点，且， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·七模）如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县马坊中学中考第七次中考模拟数学试题 【详解】解：如图1，∵四边形是正方形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，点在上，延长交于点G，作于点H， 则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·陕西西安航天城二中·四模）如图，在边长为4的菱形中，，点O是两条对角线的交点，过点O的直线分别与交于点E，F，于点G，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【来源】2025年陕西省西安市航天城第二中学中考数学四模试卷 【详解】解：如解图，连接， ∵，即， ∴点在以为直径的半圆上运动， 设该半圆的圆心为点，连接，，， 四边形是边长为4的菱形，， ，，， ， ， 在中，， 在中，， 当且仅当点在上时，取得最小值， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（2025·陕西西安高新一中·八模）如图，线段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】2025年陕西省西安市高新第一中学中考数学八模试卷 ∴，， 延长交于点，连接，则，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴交于点， 当点重合时，点为的中点，当点重合时，点为的中点， ∴点的运动轨迹是的中位线， 作点关于直线的对称点，连接，则，连接，则有， 当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为， 作于点，则, ∴， 在中，． 即的最小值为， 故答案为：． 5．（2025·陕西西安陕西师大附中·八模）如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为 ．    【答案】 【来源】2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考八模数学试卷 【详解】解：如图所示，连接，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点D作的垂线，垂足为T， ∵在菱形中，点O为其对称中心， ∴点O是的交点，     ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    6．（2025·陕西咸阳永寿渡马九年制学校·五模）如图，正方形的边长为4，是边上一动点(不与点重合)，过点作，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县渡马九年制学校中考第五次模考数学试题 【详解】解：∵，， ∴， ∴的角度是定值，即点在直线上运动， 设直线与交于点G，作于点H，则， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴，即， 故答案是：． 考点2 解直角三角形应用题 7．（2025·陕西汉中西乡三中·中考模拟）在水平面上，有两座大楼，分别是，且满足，秋山澪伫立在上．在C处和A处分别有一盏灯，打开灯后秋山澪的影长分别是和，她的身高为，连接，经测量．已知，则秋山澪的身高为多少m？（结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【来源】陕西省汉中市西乡县第三中学2025年中考数学模拟卷 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．连接，设，依次求出．，．．得到方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，设， 在中，， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，，     ∴． ∵     ∴ 解得 即秋山澪的身高为． 8．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市乾县吴店九年制学校中考第二次模拟预测数学试题 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 9．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 【答案】米 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题 【详解】解：设信号塔的高度为x米． ∵，，， ∴，， ∴， ，即，解得． 过点C作于点H，则，． ∵在点C处测得信号塔顶端A处的仰角为， ∴，又， ∴是等腰直角三角形，即，故． ∴． ∴ 解得． 答：这座信号塔的高度为米． 10．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·二模）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，是中国现存规模最大、形制最完整的古代钟楼之一．周末，小明及他所在的数学兴趣小组开展测量钟楼高度的实践活动．方案如下：如图所示，小明先在点处放置一个平面镜，站在点处恰好在平面镜中看到钟楼的顶端，此时测得；同时小明测得钟楼顶端的仰角为，已知小明的眼睛与地面间的距离为，求钟楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考二模数学试题 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，． 设，则． 在中，，即． ，， ， ， ，即， ， 解得． 答：钟楼的高度约为． 11．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·中考模拟）“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考考前模拟预测数学试题 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点F， ∵点B，D在同一水平线上，， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意知，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：“生命之树”主体的高度约为． 12．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·七模）2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他看钟楼顶端的仰角是，他往前走了38米（米），转身拍照，发现此时钟楼影子的顶端和他的影子的顶端重合，已知此时他的影长是米，小明的身高是米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼的高度．（参考数据：） 【答案】36米 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县马坊中学中考第七次中考模拟数学试题 【详解】解：如图，过点作于点，易得过点． ，，， 四边形、四边形、四边形为矩形， 米． 设米，在中，， ， 米． ∵，， ∴， ， 即， 解得， （米）， 答：钟楼的高度约为36米． 考点3 圆解答题 13．（2025·陕西西安爱知初级中学·中考最后一次模拟）已知：如图，中，，以为直径作交于D、F两点，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2025年陕西省西安爱知初级中学中考最后一次模拟考试数学试题 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2025·陕西西安工大附中·中考适应性训练）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【来源】2025年陕西省西安市工业大学附属中学第九次中考适应性训练数学试题 【分析】（）连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，通过圆周角定理得，所以，则有，可得是中位线，故有，又是的切线，可得，然后通过平行线的性质即可求证； （）由（）得，，则有，，由，可得，则，再由勾股定理得，最后代入即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的中点，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如上图，由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，中位线定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）如图，在中，，D为边上一点，且，以为直径作，E为上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年陕西省咸阳市乾县吴店九年制学校中考第二次模拟预测数学试题 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，再根据，得出，即可证明； （2）设与交于点，连接，根据圆周角定理可推导出，再根据三线合一得到．利用勾股定理求得；证明求得，设，则，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，． 在中，， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，设与交于点，连接． 是的直径， ，即， ，且为的中点． 的半径，， ，． 在中，根据勾股定理得， 又， ， ， ， ，即， ． 设，则， ， 由（1）知， 在中，根据勾股定理得， ， 解得：， ． 16．（2025·陕西西安交大附中·六模）如图，是的直径，是的弦，连接，过点C作的切线交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年陕西省西安市西安交通大学附属中学中考六模数学试卷 【分析】（1）由切线的性质得，而，则，所以，则，因为，所以； （2）连接，则，由，且，，推导出，由的半径为5，，得，求得，由，，，求得，，则，求得 【详解】（1）证明：与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， 的半径为5，， ， ， ，，， ，， ， ， 的长为． 【点睛】此题重点考查切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 17．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）如图，为的外接圆，点C在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵为的直径， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去）， 答：的长为 4 ． 18．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·中考一模）如图，内接于，，连接，，延长交于点，交的切线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考一模数学试题 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点． 与相切于点， ， ， ， ， ， ． （2）解：且， ， 由勾股定理，得， ， ， ，即， ， ， ，． ， ， 在中，， ． 考点4 几何证明压轴题 19．（2025·陕西西安爱知初级中学·中考最后一次模拟）问题提出： (1)如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得，请求出的面积． (2)某加工厂有一块四边形工件，其中，，，，点C到的距离为，Q为边上一点，若平分四边形的面积，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年陕西省西安爱知初级中学中考最后一次模拟考试数学试题 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 根据旋转可得， ∴． （2）解：如图，过点作，过点作，连接， 则， ∵， 将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∴． 20．（2025·陕西咸阳旬邑郑家镇中学·六模）问题提出 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究 （2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决 （3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【来源】2025年陕西省咸阳市旬邑县郑家镇中学中考第六次模考数学试题 【详解】解：（1）如答案图①，即为所求；（答案不唯一）； （2）如答案图②，作的外接，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， 过点O作于点E， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， ， ，即， ， 当点共线时，即点E与点D重合时，取到最小值， 的最小值为； （3）如答案图③，连接，过点P分别作的垂线，垂足记为， ，点P在的平分线上，且， ， ， 同理可得， ． 要使剩余板材的面积最大，则裁下的板材的面积需要取得最小值， 如答案图③，将绕点P逆时针旋转得到，作的外接圆，连接，过点O作于点M，设的半径为r， 为定值，为定值， 板材的面积取得最小值时，值最小， ， ， ， ， ， 如答案图④，当且仅当三点共线时，即点G与M重合时，取得最小值， ， ， ， 五边形板材面积的最大值为． 21．（2025·陕西咸阳永寿·中考二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）的最小值为；（3）存在，的最小值为 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县中考二模数学试题 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长， ， ， ，， 解得， ， ， ， ，即， 解得， ， 的最小值为； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点， 由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ，则是的中点，， ， 点是的中点，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 最小值为． 22．（2025·陕西西安新城区校联考·八模）（1）如图①，在中，，，，D是边上一点，，过点D作直线，作点B关于直线l的对称点E，作的垂直平分线m交于点F，连接，，，求的面积； （2）如图②，现有一张锐角纸片，，，，小明进行以下操作： ①作的垂直平分线分别交，于点E，F； ②作的平分线交于点G； ③以G为顶点，为边，作相等的角，交于点D． 小明按上述操作完成后，认为D是的外心，你认为他的想法正确吗？若正确，请加以证明，并求出的长；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）；（2）正确，证明见解析； 【来源】2025年陕西省西安市新城区校联考中考八模数学试卷 【详解】解：（1），，， 在中，， ， ， 点，关于直线对称， ，， 直线垂直平分， ，， ， ， ， 设，则， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ； （2）正确，证明如下： 如图，连接，，， 垂直平分， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 如图，作的外接圆， ， 外接圆的圆心在的垂直平分线上，即在上，且所对的圆心角为， 点为的外接圆的圆心，即是的外心， ， 过点作于点， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， ，即， ． 23．（2025·陕西铜川·二模）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，连接，点为的中点，连接、，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，，点为边上的动点，连接，点、分别为、的中点，点为内一点，连接、、，，求的最小值； 【问题解决】 （3）第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办．为了激发青少年的创新热情，某校计划修建校园科创角，其平面图如图3所示，、是校园内两条互相垂直的小路（宽度不计），相交于点处，矩形的顶点、分别在小路、上，米，米，上的点处有一个出入口，米，以点为圆心，3米为半径的区域为储物区，学校计划在上取点，小路上取点，使得，将四边形区域规划为研发区，在上取点，取的中点，沿规划为输送通道，为了节省输送成本，要求输送通道的长度尽可能小，请问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）2；（3）米． 【来源】陕西省铜川市2025年初中毕业模拟考试数学试题（二） 【详解】解：（1）∵，点P为的中点， ∴． ∵，点P为的中点， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）以为圆心，2为半径作分别交、于点、，如图2． ∵，， ∴点在上运动，， ∴当、、三点共线，且取得最小值时，的值最小． ∵点、分别为、的中点，， ∴为的中位线，， ∴． 过点作于点，交于点，如图2， 则的最小值为的长，的最小值为的长，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为2； （3）连接、、，作的垂直平分线交的延长线于点，交直线于点，连接，如图3． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴和均为直角三角形． ∵点为的中点， ∴， ∴点始终在的垂直平分线上． 连接、，如图3，则米，， ∴当、、三点共线，且取得最小值时，的值最小． 过点作于点，交于点，如图3， 则、的最小值分别为、的长，米． ∵垂直平分，米， ∴． 在中，， 解得米． ∵米， ∴米． ∵米，米， ∴米， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米，即长度的最小值为米． 24．（2025·陕西西安陕西师大附中·七模）问题情境 如图1，在中，，，将线段绕点C逆时针旋转，得线段CD（旋转角为），连接，直线与的角平分线所在直线交于点P． 猜想证明 （1）如图2，当时，______，______． （2）如图3，当时，探究线段之间的数量关系，并证明． 拓展延伸 （3）如图4，N为的中点．M为上的动点，已知，当时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的最小值为． 【来源】2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考七模数学试卷 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下， 连接， 同（1）理，，， ∵是的平分线， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，即， 在中，由勾股定理得， 即； （3）由题意得， ∴点在以为直径的上， 取的中点，连接，， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵，，， ∴，， 作点关于的对称点， ∵， ∴点在直线上， 连接，，，交于点， ∴， 当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，且， ∵点与点关于的对称，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $