分班考暑假专题提优：应用题综合（专项练习）-2025-2026学年数学六年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦分班考高频应用题，以真实情境为载体，系统整合分数、比例、方程等核心方法，强化量率对应、模型构建等解题逻辑，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分数比例|1-4、7-9题|单位“1”确定、量率对应、比与分率转化|从分数意义到比例关系，构建“总量-分量-分率”逻辑链| |方程与比例|2、5、8题|等量关系建模、正反比例判定|通过实际问题抽象数学关系，培养代数推理意识| |几何综合|10、16、19题|圆柱表面积体积公式、不规则体积转化|从平面到立体，结合空间观念解决组合图形问题| |经济与实际|11、17、20题|分段计费、方案优化、利率计算|联系生活场景，强化数据意识与优化思维| |数学思想|21题|高斯求和公式、数形结合|通过规律探究，渗透转化与建模思想|

分班考暑假专题提优：应用题综合-2025-2026学年数学六年级下册北师大版 1．六（2）班图书角共有故事书、漫画书182本，其中故事书的本数是漫画书的，这两种书各有多少本？ 2．二十四节气中“冬雪雪冬小大寒”的第二个“冬”代表“冬至”，是北半球一年中黑夜最长，白昼最短的一天。这一天某地区的黑夜时间比白昼时间多，那么该地区冬至这一天白昼和黑夜各多少小时？（用方程解） 3．在“庆六一”文艺汇演中，六年级有75人参加合唱团，占六年级人数的。参加舞蹈队的人数与六年级学生人数的比是1∶15，参加舞蹈队的有多少人？ 4．某小学六年级报名参加课后服务的学生人数与未参加的人数比是9∶1，后来又有30名六年级学生参加，此时参加课后服务的人数与六年级学生总人数的比是19∶20，六年级一共有多少名学生？ 5．“探秘古建，传承匠心”，某小学开展古建筑研学活动，同学们组队绘制《榫卯结构图鉴》。李明小组计划每天绘制18幅图，20天完成全部图鉴绘制。如果每天绘制24幅图，可以提前多少天完成绘制任务？（用比例解） 6．近年来，我市积极推动文旅数字化转型，仰韶文化博物馆增设球幕影院、AR考古体验项目，科技＋文化推动遗产资源向公共产品转化。清明节期间，博物馆球幕影院每日9：00－17：00播放史前文明主题影片。9：00准时开播第一场，单场影片时长25分钟，每隔20分钟开播一场。 (1)影院一天开放时段一共能播放多少场完整的影片？ (2)游客下午2：30到达影院，最早能赶上几点几分开场的影片？ 7．垃圾分类对守护生态环境意义重大，能助力降低污染、优化环境品质。明星小学积极推进“垃圾分类进校园”实践活动，五年级学生一个月累计回收旧电池228节，五年级收集的旧电池比六年级的多14%。六年级收集了多少节旧电池？ 8．一辆搭载AI自动驾驶系统的无人车在路上行驶，根据车辆安全测试数据：在干燥平整路面，车速每小时千米数的平方与车辆刹车距离的米数成正比例。例如：车速每小时20千米时，刹车距离为5米，此时（20×20）∶5＝80（比值一定）。根据车速和刹车距离的关系，当车辆行驶速度为每小时60千米时，它的刹车距离是多少米？（用比例解答） 9．光明学校到极地海洋世界开展研学活动，五（1）班参加研学游的学生人数是六（1）班的，已知两个班参加研学的总人数是80人。两个班参加研学活动的分别有多少人？ 10．榫卯（sǔn mǎo）结构是我国传统建筑、家具等木制器物的一种精妙的连接方式，具有稳固可靠、灵活多变等优点。木工社团课上，妙想先制作出圆柱体毛坯，再从圆柱体毛坯中冲压出一个底面为正方形的长方体空隙，做成一个简单的榫卯零件（如图）。 (1)这个圆柱体毛坯的表面积为多少平方厘米？ (2)这个榫卯零件的体积是多少立方厘米？ 11．代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 行驶里程时间 7千米及以内 超过7千米的部分 7：00～21：59 45元 每千米3.5元 22：00～次日6：59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米按1千米计算。 (1)赵伟20：00下班，为了赶在21：00前回家，他在该平台预约了代驾服务。已知从公司到家的行驶路程为12.5千米，按平台计费规则，他需要支付多少元代驾费？ (2)周阿姨在饭店参加聚会，22：30聚会结束，她在该平台预约了代驾服务。服务结束后，周阿姨支付了122元代驾费，这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 12．明明把5000元压岁钱存入银行，存期为三年定期，年利率为1.25%，到期后可得到利息多少元？ 13．小明看一本童话书，第一天看了总页数的30%，第二天看了总页数的，第一天比第二天少看了3页。这本童话书一共有多少页？ 14．一批零件，甲单独需要8天完成，乙单独需要10天完成，甲乙合作2天后还剩440个零件，这批零件一共有多少个？ 15．甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，相遇后，甲再行3小时到达B地，乙又行21.6千米到达A地。已知甲的速度是6千米/时，则乙的速度是多少？ 16．一种圆柱形鼓的底面直径是6分米，高2.5分米，侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做一个这样的鼓，至少需要铝皮多少平方分米？用一个长方体包装箱包装这个鼓，包装箱的容积至少是多少立方分米？ 17．某市推行居民参加医疗保险，购买医保的居民住院治疗可按规定标准报销部分医疗费用。下表是保险公司制定的住院医疗费用报销细则。 (1)李阿姨住院的医疗费是2860元，她可以报销多少元？ (2)王叔叔住院治疗后一共报销了1540元，那么他住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费 报销率 不超过500元（含500元） 自费（不报销） 500－1000元（含1000元） 60% 1000－3000元（含3000元） 80% 3000元以上 85% 18．“五一”小长假期间，重庆欢乐谷第一天的门票收入为720万元，第二天的门票收入比第一天多，由于下雨，第三天的门票收入比第二天少，重庆欢乐谷“五一”小长假第三天的门票收入是多少万元？ 19．有一个圆柱形玻璃容器，从里面量它的底面直径是6厘米，高是20厘米。乐乐往玻璃容器里注入了一些水，测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2；乐乐把一块不规则形状的石头放入水中并完全浸没，此时测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶1。石头的体积是多少立方厘米？ 20．张老师是学校足球队教练，他负责给学校采购60个足球，有甲、乙、丙三家体育用品店，足球的单价都是80元，促销方式不同，分别如下： 甲店 乙店 丙店 买十送二 七五折 满100元返还现金20元 请你帮张老师算一算，去哪家体育用品店购买比较合算？（请写出计算过程） 21．阅读故事。 高斯是一位伟大的数学家，有“数学王子的美誉”。 小时候，有一次老师让全班同学求算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的结果。同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔，他思考了一会儿后写出了答案：5050，你知道高斯是怎么计算的吗？ 高斯告诉大家，他先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。 计算推导 （1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多（    ），相邻两数的差都（    ）。高斯求和公式就是为这类题目打造的专用工具。 （2）结合图形推导：将1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，看作由若干个小圆堆成如图①的三角形图案，最上面一层有一个圆，以下每层均比上一层多一个圆，一共有100层。再将图①倒置后与原图拼成图②的形状。 计算出小圆的个数是1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050（个）。 得出结论 （1）一组自然数相加，若相邻两数的差都（    ），则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。 （2）高斯的做法利用的运算律是（           ）。 结论应用：计算1＋3＋5＋…＋95＋97＋99。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《分班考暑假专题提优：应用题综合-2025-2026学年数学六年级下册北师大版》参考答案 1．故事书有65本；漫画书有117本 【分析】把漫画书的本数看作单位“1”，故事书本数对应分率是，两种书总和对应的分率为（1＋），根据“总量÷对应总分率”，求出单位“1”的量（漫画书的本数），再根据“部分量＝单位“1”的量×对应分率”，用漫画书的本数乘，求出故事书的本数。 【详解】182÷（1＋） ＝182÷ ＝182× ＝117（本） 117×＝65（本） 答：故事书有65本，漫画书有117本。 2． 白昼 10 小时；黑夜 14 小时 【分析】已知一天总时间是24小时，且黑夜时间比白昼时间多。把白昼时间看作单位“1”，则黑夜时间是白昼时间的。根据等量关系“白昼时间 ＋ 黑夜时间＝24小时”，设白昼时间为小时，列出方程求解即可得出白昼时间，再用总时间减去白昼时间得到黑夜时间。 【详解】解：设该地区冬至这一天白昼有小时。 黑夜时间：（小时） 答：该地区冬至这一天白昼有10小时，黑夜有14小时。 3．20人 【分析】把六年级总人数看作单位“1”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出六年级总人数。再将舞蹈队人数与六年级总人数的比转化为分数，即舞蹈队人数占六年级总人数的，利用求一个数的几分之几是多少，用乘法求出舞蹈队人数。 【详解】 （人） 答：参加舞蹈队的有20人。 4．600名 【分析】把六年级学生总人数看作单位“1”，总人数不变。原来参加的人数与未参加的人数比是9∶1，则原来参加的人数占总人数的；后来参加的人数与总人数的比是19∶20，则后来参加的人数占总人数的。增加的30名学生对应的分率是后来参加人数占总人数的分率与原来参加人数占总人数的分率之差，根据分数除法的意义，用对应量除以对应分率即可求出单位“1”的量。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝30×20 ＝600（名） 答：六年级一共有600名学生。 5．5天 【详解】设x天完成绘制任务。因为绘制的总数量一定，根据每天绘制幅数与完成时间成反比例，列出比例式，求出x的值，再用20减去x的值即可解答。 【解答】解：设x天完成绘制任务。 24×x＝18×20 24x＝360 24x÷24＝360÷24 x＝15 20－15＝5（天） 答：可以提前5天完成绘制任务。 6．(1)11场 (2)15：00（或下午3：00） 【分析】（）根据结束时间减去开始时间等于经过时间，再算出一共有多少分钟，一轮电影需要的时间等于播放的时间加间隔时间，先用总分钟减去第一场电影播放的时间，求出剩下的时间，再用剩下的时间除以一轮电影的时间，算出能放多少场，再加上最开始的一场即可。 （）用开始时间加分钟，看加几个分钟会到下午时分后面。 【详解】（）时时时 （分） （分） （分） （场） （场） 答：影院一天开放时段一共能播放场完整的影片。 （）时分时分 时分分时分 时分分时分 时分分时 时分时分 时分分时分 时分分时分 时分分时 答：最早能赶上开场的影片。 7．200节 【分析】把六年级收集的旧电池的节数看作单位“1”，则五年级收集的旧电池是六年级的（1＋14%），已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用228除以（1＋14%）即可求解。 【详解】228÷（1＋14%） ＝228÷1.14 ＝200（节） 答：六年级收集了200节旧电池。 8．45米 【分析】根据题意，车速每小时千米数的平方与车辆刹车距离的米数成正比例，这意味着车速的平方与刹车距离的比值是一个定值。首先根据已知条件（车速20千米/时，刹车距离5 米）确认这一关系，然后设车速为每小时60千米时的刹车距离为米，利用正比例关系列出比例方程，最后解方程求出的值。 【详解】解：当车辆行驶速度为每小时60千米时，设它的刹车距离是米。 答：它的刹车距离是45米。 9．35人；45人 【分析】把六（1）班参加研学游的学生人数看作单位“1”，则五（1）班参加研学游的学生人数为，用总人数除以（1），求出六（1）班参加研学游的学生人数，进而求出五（1）班参加研学游的学生人数。 【详解】80÷（1） ＝80 ＝80× ＝45（人） 80－45＝35（人） 答：五（1）班参加研学游的学生人数是35人，六（1）班参加研学游的学生人数是45人。 10．(1)351.68平方厘米 (2)412.4立方厘米 【分析】（1）毛坯的表面积即为圆柱的表面积，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）榫卯零件的体积＝圆柱体毛坯的体积－长方体（空隙部分）的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（1）3.14×8×10＋3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×8×10＋3.14×42×2 ＝3.14×8×10＋3.14×16×2 ＝251.2＋100.48 ＝351.68（平方厘米） 答：这个圆柱体毛坯的表面积为351.68平方厘米。 （2）3.14×（8÷2）2×10－3×3×10 ＝3.14×42×10－3×3×10 ＝3.14×16×10－3×3×10 ＝502.4－90 ＝412.4（立方厘米） 答：这个桦卯零件的体积是412.4立方厘米。 11．(1) 66 元 (2) 19 千米 【分析】（1）赵伟20：00下班，为了赶在21：00前回家，所以是在20：00前找的代驾，7千米所收费用45元，用12.5－7计算出超了7千米的路程为5.5千米，0.5千米不满1千米按1千米计算，所以多出部分按6千米计算，用6乘3.5元计算出超出7千米的路程所收费用，两次收费相加即为所求； （2）因为22：30聚会结束周阿姨才约的代驾，所以7千米按68元计算，超出部分每千米按4.5元计算，用122减去7千米的费用68元，然后除以4.5求得超出7千米的路程，再与7千米相加，求得最多行驶路程。 【详解】（1）7千米收费45元； 超出7千米收费： 12.5－7＝5.5（千米） 5.5千米按6千米计算： 6×3.5＝21（元） 45＋21＝66（元） 答：他需要支付66元代驾费。 （2）超出7千米收费： 122－68＝54（元） 超出的路程： 54÷4.5＝12（千米） 这次代驾服务的行驶里程： 12＋7＝19（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是19千米。 12．187.5元 【分析】根据利息的计算公式：，将数据代入公式计算即可求出到期后的利息。 【详解】 ＝ （元） 答：到期后可得到利息187.5元。 13．90页 【分析】把这本童话书的总页数看作单位“1”。已知第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，且第一天比第二天少看了页，这意味着第二天比第一天多看了页。这页的具体数量对应的是第二天与第一天看的分率之差。根据分数除法的意义，利用“量率对应”的关系，用具体数量除以对应的分率即可求出单位“1”的量，即总页数。 【详解】 ＝3÷（） ＝3×30 （页） 答：这本童话书一共有页。 14．800个 【分析】将这批零件的总数看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率，相加求出合作效率，再用合作效率乘2求出甲乙合作2天完成的工作量占总数的几分之几，进而求出剩下的工作量占总数的几分之几；最后根据分数除法的意义，用剩下的零件数量除以对应的分率，即可求出这批零件的总数。 【详解】 440÷[1－（＋）×2] ＝440÷[1－（＋）×2] ＝440÷[1－×2] ＝440÷[1－] ＝440÷ ＝440× ＝800（个） 答：这批零件一共有800个。 15．5千米/时 【分析】依据相遇前两人行走时间相等，时间一定，路程与速度成正比例。设乙速度为x千米/时，相遇前甲路程21.6km，乙路程6×3＝18km，因此甲路程∶乙路程＝甲速度∶乙速度，列比例方程求解。 【详解】解：设乙的速度是x千米/时。 相遇时乙走的路程：6×3＝18（千米） 答：乙的速度是5千米/时。 16．47.1平方分米；90立方分米 【分析】根据题意，做一个这样的鼓，侧面由铝皮围成，要求至少需要铝皮多少平方分米，也就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh进行解答；用一个长方体包装箱包装这个鼓，这个长方体的长与宽都等于圆柱的直径，高是圆柱的高，然后再根据长方体的体积公式V＝abh进行解答。 【详解】3.14×6×2.5 ＝18.84×2.5 ＝47.1（平方分米） 6×6×2.5 ＝36×2.5 ＝90（立方分米） 答：至少需要铝皮47.1平方分米，包装箱的容积至少是90立方分米。 17．(1)1788 元 (2)2550 元 【分析】第（1）小题，已知总医疗费，求报销金额。需要根据表格确定的分段标准，将2860元拆分为不同区间，分别计算各段的报销金额，最后求和。 第（2）小题，已知报销金额，求总医疗费。属于逆向思考。先计算各分段区间最多能报销的金额，判断1540元落在哪个区间，再反推该区间对应的医疗费用，最后加上前几段的固定费用。 【详解】（1）李阿姨的医疗费为2860元，介于1000元至3000元之间，需分三段计算报销金额。 500元以内部分不报销； 500元至1000元部分报销金额： （元） 1000元至2860 元部分报销金额： （元） 合计报销金额： （元） 答：她可以报销1788元。 （2）王叔叔报销了1540元，先判断其医疗费所在的区间。 500元至1000元部分最多报销金额：（元） 1000元至3000元部分最多报销金额：（元） 前两段累计最多报销：（元） 因为 ，所以王叔叔的医疗费在1000元至3000元之间。 超过1000元部分的报销金额：（元） 超过1000元部分的医疗费：（元） 总医疗费：（元） 答：他住院的医疗费是2550元。 18． 660万元 【分析】首先，第一天的门票收入是已知量，将其看作单位“1”，第二天比第一天多，即第二天收入是第一天的；求出第二天收入后，将其看作新的单位“1”，第三天比第二天少，即第三天收入是第二天的。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，依次列综合算式求解。 【详解】 （万元） 答：重庆欢乐谷“五一”小长假第三天的门票收入是660万元。 19．84.78立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱形玻璃容器，从里面量它的底面直径是6厘米，高是20厘米。测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2，那么原来水的高度是（）厘米，乐乐把一块不规则形状的石头放入水中并完全浸没，此时测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶1，那么放入石头后水的高度是（）厘米。上升部分水的体积就是这块不规则形状的石头的体积，用放入石头的水的高度减去原来水的高度求出水升高的高度，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出不规则形状的石头的体积即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×（20×－20×） ＝3.14×32×（20×－20×） ＝3.14×9×（20×－20×） ＝3.14×9×（15－12） ＝3.14×9×3 ＝28.26×3 ＝84.78（立方厘米） 答：石头的体积是84.78立方厘米。 20．乙店 【分析】分别计算三家店购买60个足球的总价： （1）甲店：（买十送二）买10个送2个，也就是花10个的钱可以得到12个： 需要凑够60个，一共需要 60÷（10＋2）＝5 组，也就是计算买50个的价钱即可。 （2）乙店：七五折就是按原价的75%付钱。 （3）丙店：（满100元返20元现金）先计算原价总金额，再看其中有几个100，就减去几个20元，即为最后的实际付款的钱数。 【详解】甲店： 60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5 （组） 5×10＝50（个） 所以花：50×80＝4000（元） 乙店：60×80×0.75 ＝4800×0.75 ＝3600（元） 丙店：60×80＝4800（元） 4800÷100＝48 48×20＝960（元） 4800－960＝3840（元） 3600＜3840＜4000 答：去乙店购买比较合算。 21． （1）1；相等 （1）相等 （2）加法交换律和加法结合律 2500 【分析】计算推导：（1）在算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100中，我们通过依次比较相邻两个数的差值来确定规律。用后一个数减去前一个数，如2－1＝1 ，3－2＝1 ，以此类推，可以发现从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1 ，所以相邻两数的差都相等，差值为1 。 得出结论：（1）通过前面对于1＋2＋3＋…＋98＋99＋100这种有规律的自然数相加算式的分析，我们发现其求和方法是（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里的规律就是相邻两数的差都相等时，都可以使用这个求和公式。 （2）在高斯的做法里，把1和100组合、2和99组合等。首先，将2和99等数的位置进行交换，这符合加法交换律a＋b＝b＋a ；然后把交换后的数两两结合起来先进行计算，像（1＋100） 、（2＋99）等，这符合加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 。所以利用的运算律是加法交换律和加法结合律 。 结论应用：对于1＋3＋5＋…＋95＋97＋99，这是一个首项为1 ，末项为99 ，相邻两数差值为2的数列。根据前面得出的结论，当相邻两数差相等时，和＝（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里首数是1 ，尾数是99 ，总个数是50 ，据此代入公式计算。 【详解】计算推导 （1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1，相邻两数的差都相等。 得出结论 （1）一组自然数相加，若相邻两数的差都相等，则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。 （2）高斯的做法利用的运算律是加法交换律和加法结合律。 1＋3＋5＋…＋95＋97＋99 ＝（1＋99）×50÷2 ＝100×50÷2 ＝5000÷2 ＝2500 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $