分班考专项精练：立体图形（专项练习）-2025-2026学年数学六年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦立体图形空间观念与转化推理，通过分层题型构建“观察-建模-应用”方法体系，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间想象|选择1/6④|三视图“底层+上层”分析法、小正方体最少数量确定|从平面视图到立体构建，培养空间观念| |公式应用|填空7-10/判断13-17|圆柱侧面积/体积、圆锥体积转化（1/3关系）、缩放比规律|概念（棱长/底面积）→公式推导→变式应用| |综合实践|解答20-25|等积变形（沙堆）、组合体表面积/体积拆分法|实际问题→数学建模→运算推理，发展应用意识|

分班考专项精练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册北师大版 一、选择题 1．一个立体图形从上面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体。 A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列问题的解决，运用“转化”策略的是（    ）。 A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．淘淘给明明出了一道题，下面不能用方程求解的是（    ）。 A． B． C． D． 4．木匠叔叔正在做雕刻，他把一个圆柱形木头削成一个最大的圆锥，削去的部分重12千克，这个圆柱形木头重（    ）千克。 A．12 B．18 C．24 D．36 5．如图，等腰直角三角形ABC和正方形ACDE组成一个多边形。已知厘米。小明将这个多边形绕着其中一条边旋转一周，得到一个立体图形，并计算了它的体积，算式为“”。这个立体图形是绕着哪一条边旋转得到的？（    ） A．AE B．AB C．BD D．AC 6．下面的描述中，正确的有（    ）个。 ①从1、2、3、4、5这5张数字卡片中任意抽出一张，抽到的合数的可能性最小。 ②某商品的售价在原价基础上优惠了30%，也就是按原价的七折出售。 ③把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。 ④一个物体由若干个小正方体拼成，从上面和前面看到的都是，拼成这个物体至少需要5个小正方体。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．一台压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2m，直径1.2m，前轮转动一周，压路的面积是( )m2。 8．棱长总和是84cm的正方体，它的表面积是( )，体积是( )。 9．圆柱的底面半径是5分米，若高增加2分米，则侧面积增加( )平方分米。 10．将一个正方体按1∶2缩小，缩小后正方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和的比是( )，表面积之比是( )，体积之比是( )。 11．现有以下几种规格的长方形和正方形铁皮若干张。 (1)李师傅用6张①号规格的铁皮。可以焊接成一个( )体油箱，这个油箱的表面积是( )dm2。（焊接处忽略不计） (2)如果李师傅还想焊接一个长方体油箱，可以怎样选择？（注意：在方案中写明所选择的铁皮规格编号和所需的张数） 李师傅的方案：( )。 12．如图，一个底面内直径是6cm的瓶子里装满水，小亮喝了一些后，这时瓶子里水的高度是15cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm，这个瓶子的容积是( )mL。 三、判断题 13．把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷和竖着卷所得圆柱的体积一样。( ) 14．一个圆锥的底面周长是6.28分米，高是5分米，体积是15.7立方分米。( ) 15．一个长方体，底面是正方形，侧面展开也是正方形，那么这个长方体的底面积是其表面积的。( ) 16．一个圆柱的侧面展开，如果是正方形，那么它的底面周长、高及其展开后的正方形侧面的边长相等。( ) 17．把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。( ) 四、计算题 18．计算下图的体积。（单位：厘米） 19．计算下面组合图形的表面积。 五、解答题 20．一个长2.5米，宽2米的长方体沙坑内均匀地铺着1米厚的沙子。将这些沙子全部挖出后，堆成了一个高是0.6米的近似圆锥形沙堆，该沙堆占地面积大约是多少平方米？ 21．如图形状的陀螺，上面呈圆柱形，下面呈圆锥形。圆柱的底面半径为4厘米，高5厘米；圆锥部分的高为6厘米。 (1)给陀螺的圆柱形部分涂红色，涂红色部分的面积有多大？ (2)这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 22．一个圆柱形容器从里面量底面直径是8分米，高是9分米，容器中装有的水，现将一个高是6分米的圆锥形零件放入容器中全部浸没，这时容器里的水面高度是分米，这个圆锥形零件的底面积是多少平方分米？ 23．林叔叔做了一个圆柱形的灯笼，上下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的口，他用了多少彩纸？ 24．某零件如图所示，是从圆柱的一个底面向内挖去一个最大的圆锥形成的。 (1)这个零件的体积是多少立方厘米？（得数保留一位小数） (2)如果给这个零件做一个长方体形状的硬纸盒作为包装盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计） 25．劳动基地是校园里一道亮丽的风景，同学们在那里学会了好多劳动技能和科普知识。宁城县某中心校的劳动基地是近似的半圆柱体形状（如图所示），基地里有各种各样的蔬菜、无土栽培作物，还有有趣的科普展示区、农机具展示区呢。经测量，有关数据如示意图所示。 请根据图示，解答以下问题。 (1)基地占地面积是多少？ (2)基地所占空间有多大？ (3)现要更换钢管支架（沿半圆所在的弧），若每隔5米一根，需要至少购买多少米钢管？（两端都有，且埋入地下部分忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《分班考专项精练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D B C C 1．B 【分析】先根据从上面看到的图形确定底层有4个小正方体，再结合从右面看到的图形得知立体有两层，上层最少摆放1个小正方体，把两层数量相加，即可解答。 【详解】4＋1＝5（个） 至少要用5个小正方体。 2．D 【分析】①将圆柱平均分为无数份时，就会无限接近长方体（把圆柱转化为长方体）。圆柱的体积等于长方体的体积，长方体的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，把圆柱转化为长方体。 ②沿着平行四边形的高剪开，平移到右边，拼成一个长方形（把平行四边形转化为长方形），长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形面积＝长×宽，长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形面积＝底×高。 ③将小数乘法“转化”为整数乘法（通过移动小数点）或将异分母分数“转化”为同分母分数再进行计算。 ④借助三角形内角和（180°）将多边形“转化”成若干个三角形来求和。 【详解】①把圆柱转化为长方体； ②把平行四形转化为长方形； ③把小数转化为整数； ④把多边形转化成若干个三角形来求和。 综上，①②③④都运用了“转化”策略。 3．D 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 A．将长线段看作单位“1”，短线段是长线段的，短线段＝长线段×对应分率；根据等量关系“长线段＋短线段＝总长”列出方程； B．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。将圆柱体积看作单位“1”，圆锥的体积＝圆柱的体积×；根据等量关系“圆柱的体积＋圆锥的体积＝总体积”列出方程； C．将甲的数量看作单位“1”，乙比甲多的数量＝甲的数量×对应分率，根据等量关系“甲的数量＋乙比甲多的数量＝乙的数量”列出方程； D．把总面积平均分成3份，将其中2份的面积看作单位“1”，剩下1份的面积是单位“1”的，即剩下1份的面积＝单位“1”的对应面积×对应分率，根据等量关系“单位“1”的对应面积＋剩下1份的面积＝总面积”列出方程。 【详解】A．由图可列方程：，该选项正确； B．由图可列方程：，该选项正确； C．由图可列方程：，该选项正确； D．由图可列方程：，该选项错误。 4．B 【分析】在圆柱里削一个最大的圆锥，那么这个圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆锥体积是圆柱的，因此可得到削去部分的体积是这个圆柱的（1-）。削去部分重量除以（1-），即可求出圆柱总重量。 【详解】 （千克） 5．C 【分析】圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，因为＝，所以得到的立体图形是一个底面半径是4厘米，高也是4厘米的圆柱体和一个底面半径是4厘米，高也是4厘米的圆锥体，据此分析。 【详解】结合分析可知：这个体积的算式可得这个立体图形是由一个圆柱和一个圆锥组成的，而且圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米，圆锥与圆柱等底等高，所以这个立体图形是绕着线段BD旋转得到的。 6．C 【分析】先明确质数、合数、1的分类，统计5个数中各类数的数量，比较各类数量占比判断可能性大小； 因为优惠30%意味着现价是原价的，所以对应折扣就是现价占原价的十分之几，判断是否为七折； 因为要计算至少数，所以用总数除以抽屉数，若有余数则至少数为商加1，验证是否为3； 先根据上面视图确定底层最少小正方体数量，再结合前面视图确定上层最少需要添加的小正方体数量，求和后判断是否为5。 【详解】①1~5中，2、3、5是质数，有3个，只有4是合数，共1个；1既不是质数也不是合数，也只有1个，因此抽到合数和抽到1的可能性相等，都是最小，并非“抽到合数的可能性最小”，①错误； ②优惠30%，说明现价是原价的130%＝70%，即按原价七折出售，②正确。 ③7÷3＝2……1，总有一个抽屉至少放2＋1＝3本书，③正确。 ④从上面看可确定底层至少需要4个小正方体，从前面看可知只需要在中间位置加1个上层小正方体即可满足条件，总共至少4＋1＝5个，④正确。 正确的有3个。 7．7.536 【分析】压路的面积等于前轮的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝（是前轮直径，是轮宽）。 【详解】3.14×1.2×2 ＝3.768×2 ＝7.536（） 8． 294 343 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用84除以12算出棱长；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长计算即可。 【详解】84÷12＝7（cm） 表面积： 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm2） 体积： 7×7×7 ＝49×7 ＝343（cm3） 9．62.8 【分析】侧面积＝底面周长×高，圆柱的高增加2分米，则侧面积增加的面积＝圆柱的底面周长×增加的高，底面周长＝，代入数据计算即可。 【详解】2×3.14×5×2 ＝6.28×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（平方分米） 圆柱的底面半径是5分米，若高增加2分米，则侧面积增加62.8平方分米。 10． 1∶2 1∶4 1∶8 【分析】用特殊值法：假设原来正方体的棱长是2。用原来正方体的棱长÷2，求出缩小后正方体的棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出缩小后和缩小前正方体棱长总和，正方体表面积、正方体体积；再结合比的意义，分别填空即可。 【详解】假设原来的正方体棱长是2，则缩小后的小正方体棱长是2÷2＝1； 缩小后的小正方体棱长总和：1×12＝12；原来正方体的棱长总和：2×12＝24； 12∶24 ＝（12÷12）∶（24÷12） ＝1∶2 缩小后的小正方体的表面积： 1×1×6 ＝1×6 ＝6 原来的正方体的表面积： 2×2×6 ＝4×6 ＝24 6∶24 ＝（6÷6）∶（24÷6） ＝1∶4 缩小后的小正方体的体积： 1×1×1 ＝1×1 ＝1 原来的正方体的体积： 2×2×2 ＝4×2 ＝8 将一个正方体按1∶2缩小，缩小后正方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和的比是1∶2，表面积之比是1∶4，体积之比是1∶8。 11．(1) 正方 384 (2)选择②号规格的铁皮2张，③号规格的铁皮2张，④号规格的铁皮2张。 【分析】（1）规格①是边长8dm的正方形铁皮，正方体的6个面全部是大小相等的正方形，因此6张①号铁皮恰好能拼接成正方体油箱，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长8dm即可求出油箱表面积。 （2）长方体拥有三组完全相同的相对面，结合四种铁皮的长宽数据，规格②（6dm、8dm）、规格③（6dm、10dm）、规格④（8dm、10dm）的边长刚好对应长方体长10dm、宽8dm、高6dm的三组面，每种规格各选取2张，就能凑齐长方体6个面，据此解答。 【详解】（1）李师傅用6张①号规格的铁皮。可以焊接成一个正方体油箱。 表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（dm2） （2）略 12．706.5 【分析】因为瓶子倒置前后水的体积不变，无水部分的体积也不变，所以瓶子的容积等于正放时水的体积加上倒置时无水部分的体积；正放的水和倒置的无水部分都是底面直径为6cm的圆柱，可将两者的高度相加，得到等效的总圆柱高度。 用圆柱体积公式计算总容积，再进行单位换算，1立方厘米等于1毫升。 【详解】先算底面半径：（cm） 计算总高度：（cm） （cm3） 因为，所以瓶子容积是。 13．× 【分析】采用赋值法进行分析，假设长方形纸的长是25.12厘米，宽是12.56厘米，把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高；竖着卷，长方形的宽＝圆柱底面周长，长方形的长＝圆柱的高。底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱的体积＝底面积×高，据此分别计算出横着卷和竖着卷所得圆柱的体积，比较即可。 【详解】假设长方形纸的长是25.12厘米，宽是12.56厘米。 横着卷：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×12.56 ＝3.14×42×12.56 ＝3.14×16×12.56 ＝631.0144（立方厘米） 竖着卷：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×25.12 ＝3.14×22×25.12 ＝3.14×4×25.12 ＝315.5072（立方厘米） 631.0144立方厘米＞315.5072立方厘米，把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷和竖着卷所得圆柱的体积不一样，横着卷的体积大，所以原题说法错误。 故答案为：× 14．× 【分析】底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×5÷3 ＝3.14×12×5÷3 ＝3.14×1×5÷3 ≈5.23（立方分米） 一个圆锥的底面周长是6.28分米，高是5分米，体积是5.23立方分米，选项说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】假设这个长方体的底面边长是1厘米，侧面展开后的边长就是底面周长，即，根据，表面积等于侧面积加两个底面积，代入数据计算出底面积和表面积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。据此解答。 【详解】假设这个长方体的底面边长是1厘米。 （厘米） 底面积：（平方厘米） （平方厘米） 一个长方体，底面是正方形，侧面展开也是正方形，那么这个长方体的底面积是其表面积的。原题说法正确。 故答案为：√ 16．√ 【分析】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等；据此判断。 【详解】根据分析可知，一个圆柱的侧面展开，如果是正方形，那么它的底面周长、高及其展开后的正方形侧面的边长相等。 原题干说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，则原来的圆柱和削成的圆锥等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，可知最大的圆锥是圆柱的，减少的体积是圆柱的，把原来的圆柱体积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用36÷即可求出圆柱的体积，再减去减少的体积，即可求出圆锥的体积。 【详解】36÷ ＝36× ＝54（立方厘米） 54－36＝18（立方厘米） 把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。原题干说法正确。 故答案为：√ 18．113.04立方厘米 【分析】这个图形是圆柱＋圆锥的组合体，总体积等于圆柱体积加圆锥体积，根据圆柱体积公式：和圆锥体积公式：；将题干信息代入计算即可。 【详解】已知底面直径是6厘米，圆柱高＝3厘米，圆锥高＝3厘米。 底面半径：6÷2＝3（厘米） 圆锥体积：＝＝28.26（立方厘米） 圆柱体积：3.14×32×3＝3.14×9×3＝84.78（立方厘米） 体积和：28.26＋84.78＝113.04（立方厘米） 19．106.56cm2 【分析】圆柱的侧面积＝πdh，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，根据图可知：组合图形的表面积等于长是5cm、宽是3cm、高是4cm的长方体的表面积加上底面直径是2cm、高是2cm的圆柱的侧面积，据此列式计算。 【详解】（5×3＋5×4＋4×3）×2＋3.14×2×2 ＝（15＋20＋12）×2＋3.14×2×2 ＝47×2＋6.28×2 ＝94＋12.56 ＝106.56（cm2） 组合图形的表面积是106.56cm2。 20．25平方米 【分析】沙子的体积在形状改变前后保持不变，首先根据长方体体积公式计算出沙子的总体积，然后将沙子体积代入圆锥体积公式，已知圆锥的高，通过逆运算求出圆锥的底面积，即沙堆的占地面积。 【详解】沙子的体积：2.5×2×1 ＝5×1 ＝5（立方米） 沙堆的底面积：5÷0.6÷ ＝÷ ＝×3 ＝25（平方米） 答：该沙堆占地面积大约是25平方米。 21．(1)175.84平方厘米 (2)351.68立方厘米 【分析】（1）圆柱部分涂红色部分的面积等于圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积，圆柱的底面积S底＝πr2，圆柱的侧面积S侧＝2πrh，π取3.14，代入数据即可解答。 （2）陀螺的体积等于底面半径为4厘米，高5厘米的圆柱的体积与底面半径为4厘米，高6厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，π取3.14，代入数据即可解答。 【详解】（1）3.14×42＋2×3.14×4×5 ＝3.14×16＋2×3.14×4×5 ＝50.24＋125.6 ＝175.84（平方厘米） 答：涂红色部分的面积是175.84平方厘米。 （2）3.14×42×5＋×3.14×42×6 ＝3.14×16×5＋×3.14×16×6 ＝251.2＋100.48 ＝351.68（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是351.68立方厘米。 22．12.56平方分米 【分析】根据题意可知，把圆锥形零件放入圆柱形容器中完全浸没，水未溢出，上升部分水的体积就等于这个圆锥形零件的体积。用圆柱的底面积乘水上升的高度算出圆锥形零件的体积；根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【详解】9×＝6（分米） 8÷2＝4（分米） 3.14×42×（6.5－6）×3÷6 ＝3.14×16×（6.5－6）×3÷6 ＝3.14×16×0.5×3÷6 ＝12.56（平方分米） 答：这个圆锥形零件的底面积是12.56平方分米。 23．2355平方厘米 【分析】这个灯笼的表面积是圆柱形灯笼的侧面积加两个底面的面积，减去两个口的面积，由此根据圆的面积公式S＝πr2与圆柱的侧面积公式S＝πdh，π取3.14，列式解答即可。 【详解】[3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×30]－78.5×2 ＝[3.14×102×2＋3.14×20×30]－78.5×2 ＝[3.14×100×2＋3.14×20×30]－78.5×2 ＝[628＋1884]－157 ＝2512－157 ＝2355（平方厘米） 答：他用了2355平方厘米彩纸。 24．(1)2093.3立方厘米 (2)平方厘米 【分析】（1）零件的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3； （2）包装盒的长和宽＝圆柱底面直径，包装盒的高＝圆柱的高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出硬纸板的面积。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2×10－3.14×（20÷2）2×10÷3 ＝3.14×102×10－3.14×102×10÷3 ＝3.14×100×10－3.14×100×10÷3 ≈3140－1046.7 ＝2093.3（立方厘米） 答：这个零件的体积是2093.3立方厘米。 （2）（20×20＋20×10＋20×10）×2 ＝（400＋200＋200）×2 ＝800×2 ＝1600（平方厘米） 答：至少需要1600平方厘米的硬纸板。 25．(1)700平方米 (2)2747.5立方米 (3)235.5米 【分析】（1）半圆柱大棚的占地面积是地面接触的长方形区域，长方形的长为大棚的长度，宽为半圆柱横截面的直径，直接用长乘宽即可得到结果。 （2）求大棚占的空间，也就是求半圆柱的体积，体积等于对应完整圆柱体积的一半，完整圆柱体积公式＝底面积×高（这里的高就是大棚的长度），除以2就得到半圆柱的体积。 （3）首先算出单根沿半圆所在弧的钢管长度，也就是半径为5米的圆周长的一半，圆的周长C＝πd，除以2得到圆周长的一半；再根据两端都栽的植树问题规则，间隔数＋1＝钢管总根数，间隔数＝总长度÷间距，用单根长度乘总根数就得到需要的钢管总长度。 【详解】（1）70×10＝700（平方米） 答：基地占地面积是700平方米。 （2）3.14×（10÷2）2×70÷2 ＝3.14×52×70÷2 ＝3.14×25×70÷2 ＝78.5×70÷2 ＝5495÷2 ＝2747.5（立方米） 答：基地所占空间有2747.5立方米。 （3）3.14×10÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 70÷5＋1 ＝14＋1 ＝15（根） 15.7×15＝235.5（米） 答：需要至少购买235.5米钢管。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $