暑假培优：专题06 万有引力与宇宙航行 知识清单-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

暑假培优：专题06 万有引力与宇宙航行 知识清单 第一部分 知识构建 第二部分 知识点梳理 一、开普勒定律 1．开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方之比都相等．其表达式为＝k，其中r表示椭圆的半长轴，T表示行星的公转周期，比值k是一个与行星无关而与太阳有关的常量． 4．开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题 行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，如图所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．开普勒第一定律又叫轨道定律． 5．开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题 (1)如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．离太阳越远，行星速率越小．开普勒第二定律又叫面积定律． (2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点．同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小． 6．开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题 (1)如图所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长．比值k是一个与太阳有关而与行星无关的常量．开普勒第三定律也叫周期定律． (2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定． 二、万有引力定律的表达式 1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的．两个物体间引力的方向在它们的连线上．引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比． 2．表达式：F＝G. 3.G称为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国科学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出． 4．适用条件：适用于质点间的相互作用． 5.万有引力定律的得出过程 三、万有引力和重力的关系 1．地球表面处重力与万有引力的关系 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示． (1)当物体在两极时：mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝G. 方向与引力方向相同，指向地心． (2)当物体在赤道上时： F′＝mω2R最大，此时重力最小，mg1＝G－mω2R 方向与引力方向相同，指向地心． (3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大． 因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G. (4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G. 2．重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小． 四、计算中心天体质量的两种方法 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 五、宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度的推导： 已知地球质量M和半径R，航天器在地面附近绕地球的运动可视为匀速圆周运动，地球对航天器的引力提供航天器做圆周运动所需的向心力，轨道半径r近似认为等于地球半径R，由＝m，可得v＝. (2)定义：航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度7.9 km/s称为第一宇宙速度，也叫环绕速度． 2．第二宇宙速度 当发射速度大于等于11.2 km/s时，航天器会挣脱地球的引力绕太阳运动或飞向其他行星，人们将v＝11.2 km/s称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度． 3．第三宇宙速度 当发射速度大于等于16.7 km/s时，航天器会挣脱太阳的引力，飞出太阳系，这一速度称为第三宇宙速度． 六、人造地球卫星 1．人造地球卫星 (1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图所示． (2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以卫星圆轨道的圆心必定是地心． 2．近地卫星、同步卫星、极地卫星和月球 (1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、周期T＝≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大速度和最小周期． (2)同步卫星：位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星．同步卫星离地面高度约为36 000 km. (3)极地卫星：轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星，运行时能到达南北极上空． (4)月球绕地球的公转周期T＝27.3天，月球和地球间的平均距离约38万千米，大约是地球半径的60倍． 3.同步卫星的特点 (1)定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h. (2)定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东． (3)定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝－R≈3.58×104 km≈6R. (4)定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变． (5)定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变． 七、卫星相距“最近”“最远”问题 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb.若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示． 当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示． 当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近． 八、卫星的变轨问题 1．变轨问题概述 2．稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝m。 3．变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况： (1)当卫星的速度突然增大时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时减小了。 (2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时增大了。 卫星变轨原理图如图所示。 九、双星问题 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 G＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导) (1)轨道半径：r1＝L r2＝L。 (2)星体质量：m1＝ m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 5．多星系统 在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中： (1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同． (2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的． 第三部分 知识点应用 1.如图所示是中国“天问一号”探测器拍摄的火星影像图．已知火星绕日公转一年，相当于地球上的两年，假设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，则火星与太阳之间的距离约为地球与太阳之间距离的(　　) A. B. C.倍 D．2倍 2.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(图中A点为近日点)(　　) A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度 D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大 3．2021年10月16日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接．飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行．若将神舟十三号绕地球的运动视作匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是(　　) A．飞船发射速度大于11.2 km/s B．飞船绕地球飞行速度大于7.9 km/s C．飞船绕地球飞行周期小于24 h D．飞船绕地飞行过程中宇航员不再受重力作用 4.(多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(　　) A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 5．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位航天员连同航天服在地球上的质量为50 kg。求：(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)　 (1)在火星上航天员所受的重力为多少？ (2)航天员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？ 6．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度。 7.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放一个小球(引力视为恒力，阻力可忽略)，经过时间t落到地面．已知该行星半径为R，自转周期为T，引力常量为G. (1)求该行星的平均密度ρ； (2)求该行星的第一宇宙速度v； (3)如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度H为多少？ 知识点应用答案 1.答案　C 解析　设地球与太阳之间的距离和公转周期分别为r1、T1，火星与太阳之间的距离和公转周期分别为r2、T2，则根据开普勒第三定律有＝，解得＝，故选C. 2.答案　B 解析　地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，选项A错误；因轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项B正确；根据a＝可知，地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，地球逐渐远离太阳，速度逐渐减小，选项D错误． 3.答案　C 解析　第一宇宙速度7.9 km/s是绕地球做圆周运动的卫星的最大绕行速度，也是最小的发射速度，则飞船的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，飞船绕地球飞行速度一定小于7.9 km/s，故A、B错误；地球同步卫星的轨道高度大约为地球半径的6倍，大于飞船的远地点高度，因为“越高越慢”，飞船绕地球飞行的周期小于24 h，故C正确；飞船飞行过程中仍受地球引力作用，宇航员仍受重力作用，故D错误． 4.BD　[由G＝m(R＋h)得卫星距地面的高度为h＝－R，选项A错误；第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，是卫星最大的环绕速度，选项B正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G，选项C错误；由G＝ma得卫星运行的向心加速度为a＝，由G＝mg得地球表面的重力加速度为g＝，选项D正确。] 5.[解析]　(1)由mg＝G，得g＝ 在地球上有g＝，在火星上有g′＝ 所以g′＝ m/s2 那么航天员在火星上所受的重力mg′＝50× N≈222.2 N。 (2)在地球上，航天员跳起的高度为h＝ 即1.5＝ 在火星上，航天员跳起的高度为h′＝ 联立以上两式得h′＝3.375 m。 [答案]　(1)222.2 N　(2)3.375 m 6.[解析]　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。 (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝。 (3)月球的密度ρ＝＝＝。 [答案]　(1)　(2)　(3) 7.答案　(1)　(2)　(3)－R 解析　(1)设行星表面的重力加速度为g，对小球，有h＝gt2 解得g＝ 对行星表面的物体m，有G＝mg 故行星质量M＝ 故该行星的平均密度ρ＝＝ (2)对处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星m′，由牛顿第二定律有： m′g＝m′ 故该行星的第一宇宙速度v＝＝. (3)同步卫星的运动周期与该行星的自转周期相同，均为T，设同步卫星的质量为m″，由牛顿第二定律有G＝m″(R＋H) 联立解得同步卫星距行星表面的高度H＝－R. 学科网（北京）股份有限公司 $