第七章 万有引力与宇宙航行（单元知识清单）物理人教版必修第二册

第七章 万有引力与宇宙航行（知识清单） 【思维导图】 【知识清单】 第1节　行星的运动 一、开普勒定律 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。当行星离太阳较近的时候，运行速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。 3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。公式为：＝k。比值k是一个对所有行星都相同的常量。 二、行星运动的近似处理 1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 2.对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。 3.所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。 第2节 万有引力定律 一、月—地检验 1.假设 (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G。 上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得＝。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。 2.结论：月球绕地球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 二、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离。 3.引力常量 (1)引力常量的测定 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值。 (2)引力常量测定的意义 ①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 4.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 第3节 万有引力理论的成就 一、万有引力与重力 1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝。 二、天体质量(密度)的估算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 第4节　宇宙航行 一、宇宙速度 1.环绕速度 一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球的质量为m地，卫星的质量为m，向心力由地球对它的万有引力提供，即G＝m，则卫星在轨道上运行的线速度v＝。 2.第一宇宙速度 (1)定义：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度。 (2)大小：v＝7.9 km/s。 3.第二宇宙速度 在地面附近发射飞行器，如果速度大于7.9km/s，又小于11.2 km/s，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2km/s叫作第二宇宙速度。 4.第三宇宙速度 在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。 二、卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 2.地球同步卫星 (1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。 (2)特点：六个“一定” ①转动方向一定：和地球自转方向一致； ②周期一定：和地球自转周期相同，即T＝24 h； ③角速度一定：等于地球自转的角速度； ④轨道平面一定：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合； ⑤高度一定：离地面高度固定不变(约3.6×104 km)； ⑥速率一定：线速度大小一定(约3.1×103 m/s)。 三、近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别 1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 2．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大 为v＝7.9 km/s。 四、卫星变轨与追及问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…) 第5节 相对论时空观与牛顿力学的局限性 一、相对论时空观 1.电磁波与光速 英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速。1887年迈克耳孙——莫雷实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的。 2.爱因斯坦假设 (1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。 (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。 3.时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝ 由于1－<1，所以总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 4.长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0由于1－<1，所以总有l<l0，此种情况称为长度收缩效应。 二、牛顿力学的成就与局限性 1.牛顿力学的成就 从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。 2.牛顿力学的局限性 (1)牛顿力学不适用于高速运动。 (2)物理学研究深入到微观世界，发现了电子、质子、中子等微观粒子，而且发现它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。 3.牛顿力学的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。 【题型剖析及针对训练】 题型一：开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 注意： ①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； ②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； ③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。 【例1】如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，bd为其轨道长轴，半长轴为r，周期为T，图示中S1、S2两个面积大小相等。则（　　） A．行星从a到b的过程中加速度逐渐减小 B．卫星从a到b的速率逐渐增大 C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的时间 D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 【答案】B 【详解】A．行星从a到b的过程中，卫星距离行星越来越近，可知引力逐渐增加，则加速度逐渐增加，A错误； B．卫星从a到b引力做正功，则速率逐渐增大，B正确； C．因S1、S2两个面积大小相等，根据开普勒第二定律可知，卫星从a到b的运行时间等于从c到d的时间，C错误； D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与行星的质量有关，与卫星的质量无关，D错误。 故选B。 【针对训练1】海王星是太阳系八大行星之一，其绕太阳公转一周大约需要165年，轨道呈椭圆形。海王星绕太阳逆时针运行的轨迹如图所示，若只考虑太阳对海王星的万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星与太阳间的距离小于地球与太阳间的距离 B．海王星在D点的加速度与在B点的加速度相同 C．海王星从C点运动到D点所用的时间大于从A点运动到B点所用的时间 D．海王星在从D点运动到A点的过程中速度增大，故其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积增大 【答案】C 【详解】A．由开普勒第三定律有，海王星的运行周期更大，则海王星到太阳的距离更大，选项A错误； B．海王星在D点和B点受到太阳的万有引力均指向太阳，则加速度方向也指向太阳，加速度方向不一样，故B错误； CD．根据开普勒第二定律可知，海王星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，海王星离太阳越近，线速度越大，海王星在AB段的平均速率大于在CD段的平均速率，则，故C正确、D错误。 故选C。 题型二：天体质量密度估算 1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　　 2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 【例2】“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已知万有引力常量为G，忽略火星自转，若探测器绕火星做匀速圆周运动，火星认为是质量分布均匀的球体，要想估测火星的平均密度，还需要测量（　　） A．探测器的运行周期与轨道半径 B．探测器的运行速度与轨道半径 C．火星表面的重力加速度与火星半径 D．探测器的轨道半径与火星表面的重力加速度 【答案】C 【详解】要估算火星的平均密度，需通过公式 ，其中为火星质量，为火星半径。结合万有引力定律分析各选项： A．由 可得 但密度公式中需，而选项未提供，无法直接计算，故A错误。 B．由 可得。同样缺少，无法计算，故B错误。 C．已知火星表面重力加速度则 解得 代入密度公式得，仅需和即可计算，故C正确。 D．已知，但探测器的轨道半径与无直接关联，无法消去或，故D错误。 故选C。 【针对训练2】已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球球心之间的距离为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．地球的质量为 B．月球的质量为 C．地球的密度为 D．月球运动的加速度为 【答案】C 【详解】AC．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力解得地球的质量为又知地球的体积则地球的密度为故A错误，C正确。 B．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出月球的质量，故B错误； D．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力 解得月球运动的加速度为故D错误。故选C。 题型三：不同位置重力加速度 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得 所以。 【例3】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．地球上物体的向心加速度都指向地心 B．地球在赤道处的向心加速度大小为g C．地球表面赤道处的物体随地球自转的线速度为 D．地球的第一宇宙速度为 【答案】D 【详解】A．地球自转的向心加速度方向指向物体所在纬度的地轴垂点，只有赤道处的向心加速度指向地心，其他纬度不指向地心，故A错误； B．赤道处的重力加速度满足因此向心加速度大小为，故B错误； C．赤道处物体的线速度地球半径满足代入得，故C错误； D．根据可知第一宇宙速度结合解得，故D正确。故选D。 【针对训练3】如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为2g，则E处的自转线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，在北极点A处有在赤道上D处有联立解得，该星球自转的角速度 因此E处的自转线速度大小 ACD错误，B正确。 故选B。 题型四：不同轨道卫星参量及同步静止卫星 1.不同轨道人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系 G＝ 2.宇宙速度 （1）第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得v1＝ 方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，对于人造地球卫星而言，最小周期：Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。 （2）宇宙速度与人造地球卫星运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 3.同步静止卫星的6个“一定” 【例4】三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，下列关系正确的是（　　） A．运行线速度关系为 B．运行周期关系为 C．向心力大小关系为 D．运行半径与周期关系为 【答案】A 【详解】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得，由于，则有，，故A正确，B错误； C．根据由于，，则有，，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，运行半径与周期关系为，故D错误。 故选A。 【针对训练4】2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用谷神星一号运载火箭，以一箭八星方式，成功将“云遥一号”卫星送入预定轨道。“云遥一号”卫星在轨道上的运动可视为匀速圆周运动，已知该卫星运行周期为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（   ） A．估算地球的质量为 B．“云遥一号”在轨运行的加速度等于 C．“云遥一号”轨道的离地高度为 D．“云遥一号”在轨运行的线速度大于 【答案】C 【详解】A．根据估算地球的质量为，选项A错误； B．根据， “云遥一号”在轨运行的加速度小于，选项B错误； C．根据 解得“云遥一号”轨道的离地高度为，选项C正确； D．根据可得可知“云遥一号”在轨运行的线速度小于，选项D错误。 故选C。 【例5】如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为离地面400km高的低轨道卫星，c为离地面36000km高的地球同步卫星，下列说法中正确的是（　　） A．线速度的大小关系为 B．向心加速度的关系为 C．周期关系为 D．同步卫星c的发射速度要大于11.2km/s 【答案】C 【详解】D．同步卫星c的发射速度小于11.2km/s，因为发射速度大于11.2km/s会脱离地球，D错误； C．因为a和c同步，所以根据开普勒第三定律得周期关系为，C正确； A．根据得， 根据牛顿第二定律得解得轨道半径越大，线速度越小，所以线速度的大小关系为，A错误； B．根据得根据牛顿第二定律得解得轨道半径越大，向心加速度越小，所以向心加速度的关系为，B错误。故选C。 【针对训练5】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星（轨道半径小于静止轨道半径），下列说法正确的是（    ） A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止 B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等 C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度立方之比 D．北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小 【答案】B 【详解】A．北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可得由于北斗—G4和北斗—IGSO2的周期相等，则北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等，故B正确； C．根据开普勒第三定律可知北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于轨道半径立方之比，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得由于中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道半径，则北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度大，故D错误。故选B。 题型五：卫星的变轨及追及相遇问题 1、 卫星的变轨问题 1.两类变轨简介 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与 向心力的 大小关系 G<m G>m 2.变轨前后各运行物理参量的比较 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 2、 天体追及相遇问题 绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…) 【例6】2025年3月26日23时55分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将第二代地球同步轨道数据中继卫星天链二号04星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。天链二号04星的发射过程如图所示，先将天链二号04星发射到低空圆轨道，在P点变轨到椭圆转移轨道，在Q点再次变轨到同步轨道。已知地球自转周期为24小时，下列说法正确的是（　　） A．天链二号04星在转移轨道上运行的周期大于24小时 B．天链二号04星在转移轨道运行时，经过Q点时的速度大于经过P点时的速度 C．天链二号04星在低空轨道经过P点时的加速度大于在转移轨道经过P点时的加速度 D．天链二号04星从转移轨道进入同步轨道，需在转移轨道的Q点点火加速 【答案】D 【详解】A．天链二号04星在同步轨道的运行周期和地球自转周期相等，根据开普勒第三定律可知，天链二号04星在转移轨道上运行的周期小于24小时，故A错误； B．由开普勒第二定律可知，天链二号04星在转移轨道运行时，经过近地点P时的速度大于经过远地点Q时的速度，故B错误； C．天链二号04星在低空轨道和在转移轨道经过P点受到的万有引力相同，故加速度相等，故C错误； D．天链二号04星从转移轨道变轨到同步轨道是做离心运动，所以需在Q点点火加速，故D正确。 故选D。 【针对训练6】神舟十九号载人飞船入轨后顺利完成入轨状态设置，采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口。对接过程的示意图如图所示，神舟十九号飞船处于半径为的圆轨道，运行周期为，线速度为，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到处与天和核心舱对接，轨道II上点的线速度为，运行周期为；天和核心舱处于半径为的圆轨道II，运行周期为，线速度为，则神舟十九号飞船（　　）    A． B． C．在轨道II上点处的加速度大于轨道III上点处的加速度 D．沿轨道II从运动到对接点过程中，速率不断增加 【答案】A 【详解】A．飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以经过A点时 在圆轨道上做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力 可得 可知轨道越高运行速度越小，有 故，故A正确； B．根据开普勒第三定律可知轨道半径越大，周期越大，由图可知 故，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可知同一点处的加速度应该相等，则在轨道II上点处的加速度大于轨道III上点处的加速度，故C错误； D．根据开普勒第二定律，沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断减小，D错误。故选A。 【例7】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由开普勒第三定律得设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，即 又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得，故选C。 【针对训练7】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示（表格中是一种长度单位，是一种质量单位）。 地球 火星 木星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 19 30 质量 1.0 0.1 317.8 14.5 17.1 根据题中信息，则相邻两次冲日时间间隔最长的地外行星是 A．火星 B．木星 C．天王星 D．海王星 【答案】A 【详解】设相邻两次冲日时间间隔为t，则有解得 要求t最大，则须最小，根据开普勒第三定律有 则须R最小，即相邻两次冲日时间间隔最长的地外行星是火星。故选A。 【课堂巩固】 1．2025年4月24日17时，我国神舟二十号载人飞船成功发射并与空间站进行对接。假定对接前飞船在椭圆轨道Ⅰ上无动力运行，如图所示，空间站在圆轨道Ⅱ上，A为两轨道交点，B为Ⅰ轨道近地点。已知地球表面重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．飞船发射速度大于11.2km/s B．空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度大于g C．飞船和空间站在A处所受的万有引力相同 D．飞船在椭圆轨道Ⅰ上的B点线速度大小大于A点线速度大小 【答案】D 【详解】A．11.2km/s是卫星脱离地球束缚的发射速度，则飞船的发射速度必定小于11.2km/s，故A错误； B．根据 解得，近地卫星的加速度为g，则空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度小于g，故B错误； C．根据，可知万有引力与飞船和空间站质量有关，则万有引力不一定相同，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，飞船在椭圆轨道I上的B点线速度大小大于A点线速度大小，故D正确。 故选D。 2．卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力，有 又 联立解得 所以， 联立解得 故选B。 3．“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 【答案】D 【详解】AB．小球竖直上抛最高点的位移为，时间为，根据 可得火星表面的重力加速度为 小球的初速度为 故AB错误； C．根据 可得第一宇宙速度的表达式为 可得第一宇宙速度之比为 地球的第一宇宙速度为7.9km/s，可得火星的第一宇宙速度约为，故C错误； D．根据黄金代换 又 可知星球密度为 火星与地球密度比为，故D正确。 故选D。 4．如图所示，A、、是地球表面上的三个不同位置，A在北极处，P在赤道上，Q的纬度为60°。质量为的物体分别放在A、、三处，如果把地球看成是一个质量分布均匀且半径为的球体，A处的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．该物体在A、、处所受重力大小相等，方向均指向地球球心 B．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小相等 C．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1 D．在赤道上方高处的重力加速度为 【答案】C 【详解】A．物体在A处所受重力与万有引力相等，、处所受重力大小等于万有引力的一个分力，A、处重力方向指向地心，处重力方向不指向地心，故A错误； B．该物体在、处角速度相等，根据 由于圆周运动半径不相等，则随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小不相等，故B错误； C．根据 由于 可知，该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1，故C正确； D．在赤道上方高处有，A处的重力加速度为，则有 解得，故D错误。故选C。 5．探测火星一直是人类的梦想，若在未来某一天，宇航员乘飞船绕火星做匀速圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H、环绕的周期为T及环绕的线速度为v，已知引力常量为G，不考虑火星的自转，则（　　） A．火星的半径为 B．火星的质量为 C．火星表面的重力加速度为 D．火星的第一宇宙速度为 【答案】C 【详解】A．由圆周运动知识可知解得故A错误； B．根据万有引力提供向心力所以故B错误； C．对于火星表面的物体有所以故C正确； D．根据可得，火星的第一宇宙速度故D错误。故选C。 6．在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其它在轨卫星，节省轨道资源。2022年1月22日，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。如图所示，已知同步轨道和“墓地轨道”的轨道半径分别为R1、R2，转移轨道与同步轨道、“墓地轨道”分别相切于P、Q点，地球自转周期为T0，万有引力常量为G。则（　　） A．由以上数据可求得地球的质量为 B．由以上数据可求得地球的质量为 C．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 D．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 【答案】C 【详解】AB．静止卫星的周期等于地球自转周期为，根据万有引力提供向心力可得解得故AB错误； CD．转移轨道的半长轴为根据开普勒第三定律可得解得故C正确；D错误。故选C。 7．将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断不正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的自转周期为 C．地球的平均密度为 D．地球同步卫星的高度为 【答案】B 【详解】A．在地球北极点时，物体受到的重力与万有引力大小相等解得故A正确； B．由于在地球赤道上该物体的重力为，则有解得故地球自转的周期为故B错误； C．地球的体积为则地球的平均密度为故C正确； D．由于地球同步卫星围绕地球转动的周期等于地球自转的周期，故由万有引力定律可得联立解得地球同步卫星的高度为故D正确。 本题选错误的，故选B。 8．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转。下列说法不正确的是（　　） A．月球的平均密度为 B．月球表面的重力加速度为 C．要使对接成功，飞机在接近B点时必须减速 D．对接前航天飞机的加速度大于空间站的加速度 【答案】D 【详解】A．设空间站质量为m，在圆轨道上，由，得，月球的平均密度为，选项A正确； B．月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有，可得，选项B正确； C．欲对接成功，需要飞机在接近B点时减速，否则飞机将做椭圆运动，选项C正确； D．对接前航天飞机距离月球的距离大于空间站的距离，故航天飞机的加速度小于空间站的加速度，选项D错误。本题选择错误的，故选D。 9．2023年8月13日1时26分，中国成功发射陆地探测四号01卫星，如图所示，C卫星是地球同步轨道卫星，A为赤道上的等待发射的陆地探测四号02卫星，B为5G标准近地轨道卫星，已知地表的重力加速度大小为g，则关于陆地探测四号01卫星、陆地探测四号02卫星、标准近地轨道卫星间的比较，下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度大小大于C B．A卫星的角速度小于B卫星 C．B、C两卫星在相等时间内与地心的连线扫过的面积相等 D．A、B两卫星均在地表附近，因此二者的向心加速度大小均为g 【答案】B 【详解】A．卫星A、C角速度相同，根据可知，由于C的转动半径大，所以C卫星的线速度大于A卫星的线速度，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，由于C的半径大于B的，则C的周期大于B的，又根据可知，C的角速度小于B的角速度，又卫星A、C角速度相同，则A卫星的角速度小于B卫星，故B正确； C．根据万有引力提供向心力有卫星与地心的连线在t时间内扫过的面积为联立解得可知，B、C两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积不相等，故C错误； D．B卫星为近地飞行，由重力提供向心力，其向心加速度等于重力加速度g，A为赤道上的等待发射的卫星，由重力和支持力的合力提供向心力，则A的向心加速度小于重力加速度g，故D错误。 故选B。 10．我国的天链一号卫星是地球同步卫星，可为中、低轨道资源卫星提供数据中继服务。图为天链一号卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球三者间的位置关系示意图，O为地心，卫星a的轨道半径是卫星b 的轨道半径的4倍。已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T。下列说法正确的是（    ） A．卫星a的线速度是卫星b的线速度的4倍 B．卫星a的线速度是卫星b的线速度的2倍 C．卫星a、b从相距最近到相距最远的最短时间为 D．卫星a、b从相距最近到相距最远的最短时间为 【答案】D 【详解】AB．设卫星a、b的轨道半径分别为和，地球半径为R，根据万有引力提供向心力有 则，而，卫星a的线速度是卫星b的线速度的，选项AB错误； CD．根据则可得卫星b的周期为，卫星a、b从相距最近到相距最远满足解得最短时间，选项C错误、D正确。 故选D。 11．2023年我国“天宫号”太空实验室实现了长期有人值守，我国迈入空间站时代。如图所示，“天舟号”货运飞船沿椭圆轨道运行，“天宫号”沿圆周轨道运行，两轨道相切于B点，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，则以下说法正确的是（　　） A．“天舟号”在A点比在B点运动得慢 B．“天舟号”与“天宫号”在B点的加速度大小相等 C．“天舟号”与地球的连线和“天宫号”与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．“天舟号”绕地球运动的周期比“天宫号”绕地球运动的周期长 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第二定律，“天舟号”与地球连线在相同时间内扫过的面积相等，则“天舟号”在A点比在B点运动得快，A错误； B．根据万有引力提供向心力可得则“天舟号”与“天宫号”在B点的加速度大小相等，B正确； C．“天舟号”与“天宫号”是不同轨道的卫星，不符合开普勒第二定律，C错误； D．根据开普勒第三定律“天舟号”轨道半长轴小于“天宫号”运动半径，则“天舟号”绕地球运动的周期比“天宫号”绕地球运动的周期短，D错误。故选B。 12．如图所示，卫星ＭＮ（可看作质点）绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星Ｎ为地球同步静止轨道卫星，是纬度为的地球表面上一点。若某时刻与地球自转轴在同一平面内，其中在一条直线上，且，地球自转周期为，则下列说法正确的是（　　） A．卫星Ｎ的周期大于地球表面上点绕地轴运动的周期 B．卫星Ｍ的线速度小于卫星Ｎ的线速度 C．卫星Ｍ与卫星Ｎ的运行轨道半径之比为 D．卫星Ｍ的周期为 【答案】D 【详解】A．卫星Ｎ是地球同步静止轨道卫星，则N的周期等于地球自转周期，即N的周期等于地球表面上点绕地轴运动的周期，选项A错误； B．根据 可得，可知卫星Ｍ的轨道半径小于卫星Ｎ的轨道半径，可知卫星Ｍ的线速度大于卫星Ｎ的线速度，选项B错误； C．由图可知 即卫星Ｍ与卫星Ｎ的运行轨道半径之比为，选项C错误； D．根据开普勒第三定律可知 解得卫星Ｍ的周期为，选项D正确。 故选D。 【课堂总结】 1.开普勒三定律的内容是什么？ 2.如何用万有引力定律估算天体的质量和密度？ 3.如何利用万有引力定律处理有关卫星的综合性问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 万有引力与宇宙航行（知识清单） 【思维导图】 【知识清单】 第1节　行星的运动 一、开普勒定律 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个 上。 2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等。当行星离太阳较近的时候，运行速度 ，而离太阳较远的时候速度 。 3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比都相等。公式为：＝k。比值k是一个对所有行星都 的常量。 二、行星运动的近似处理 1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在 。 2.对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做 运动。 3.所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都 ，即＝k。 第2节 万有引力定律 一、月—地检验 1.假设 (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝ 。根据 ，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝ 。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝ 。 上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得＝。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝ 。 2.结论：月球绕地球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。 二、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互 ，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的二次方成 。 2.表达式：F＝ 。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互 。 (2)距离r：公式中的r是两个 间的距离。 3.引力常量 (1)引力常量的测定 英国物理学家 在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值。 (2)引力常量测定的意义 ①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了 的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的 性成了万有引力定律正确性的有力证据。 4.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算 间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体 间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体 到质点的距离。 第3节 万有引力理论的成就 一、万有引力与重力 1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是 ，二是提供物体随地球自转的 ，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋ 。 (2)在两极上：G＝ 。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的 和。 越靠近南北两极g值 。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝ 。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝ 。 二、天体质量(密度)的估算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量 。 (2)天体密度ρ＝ ＝ ＝ 。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝ 。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝ 。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 天体半径R，则天体密度ρ＝ ，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 第4节　宇宙航行 一、宇宙速度 1.环绕速度 一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做 运动，设地球的质量为m地，卫星的质量为m，向心力由地球对它的 提供，即G＝m，则卫星在轨道上运行的线速度v＝ 。 2.第一宇宙速度 (1)定义：物体在地球附近绕地球做 运动的速度叫作第一宇宙速度。 (2)大小：v＝7.9 km/s。 3.第二宇宙速度 在地面附近发射飞行器，如果速度大于 ，又小于11.2 km/s，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开 。我们把 叫作第二宇宙速度。 4.第三宇宙速度 在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于 ，这个速度叫作第三宇宙速度。 二、卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做 运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为 。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做 运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 2.地球同步卫星 (1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同 的卫星，叫作地球同步卫星。 (2)特点：六个“一定” ①转动方向一定：和地球自转方向 ； ②周期一定：和地球自转周期相同，即T＝24 h； ③角速度一定：等于地球自转的角速度； ④轨道平面一定：所有的同步卫星都在赤道的 ，其轨道平面必须与 平面重合； ⑤高度一定：离地面高度固定 (约3.6×104 km)； ⑥速率一定：线速度大小一定(约3.1×103 m/s)。 三、近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别 1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 2．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大 为v＝ km/s。 四、卫星变轨与追及问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火 ，由于速度 ，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火 进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都 ，同理，经过B点时加速度也 。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝ (n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝ (n＝1,2,3，…) 第5节 相对论时空观与牛顿力学的局限性 一、相对论时空观 1.电磁波与光速 英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了 的存在，并证明电磁波的传播速度等于 。1887年迈克耳孙——莫雷实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是 的。 2.爱因斯坦假设 (1)在不同的 参考系中，物理规律的形式都是 的。 (2)真空中的 在不同的惯性参考系中大小都是 的。 3.时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的 上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在 完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝ 由于1－<1，所以总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 4.长度收缩效应 如果与杆相对 的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝ 由于1－<1，所以总有l<l0，此种情况称为长度收缩效应。 二、牛顿力学的成就与局限性 1.牛顿力学的成就 从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从 的规律。 2.牛顿力学的局限性 (1)牛顿力学不适用于 运动。 (2)物理学研究深入到微观世界，发现了电子、质子、中子等微观粒子，而且发现它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用 来说明。 3.牛顿力学的适用范围 只适用于 运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于 世界。 【题型剖析及针对训练】 题型一：开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 注意： ①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； ②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； ③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。 【例1】如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，bd为其轨道长轴，半长轴为r，周期为T，图示中S1、S2两个面积大小相等。则（　　） A．行星从a到b的过程中加速度逐渐减小 B．卫星从a到b的速率逐渐增大 C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的时间 D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 【针对训练1】海王星是太阳系八大行星之一，其绕太阳公转一周大约需要165年，轨道呈椭圆形。海王星绕太阳逆时针运行的轨迹如图所示，若只考虑太阳对海王星的万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星与太阳间的距离小于地球与太阳间的距离 B．海王星在D点的加速度与在B点的加速度相同 C．海王星从C点运动到D点所用的时间大于从A点运动到B点所用的时间 D．海王星在从D点运动到A点的过程中速度增大，故其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积增大 题型二：天体质量密度估算 1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　　 2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 【例2】“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已知万有引力常量为G，忽略火星自转，若探测器绕火星做匀速圆周运动，火星认为是质量分布均匀的球体，要想估测火星的平均密度，还需要测量（　　） A．探测器的运行周期与轨道半径 B．探测器的运行速度与轨道半径 C．火星表面的重力加速度与火星半径 D．探测器的轨道半径与火星表面的重力加速度 【针对训练2】已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球球心之间的距离为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．地球的质量为 B．月球的质量为 C．地球的密度为 D．月球运动的加速度为 题型三：不同位置重力加速度 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得 所以。 【例3】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．地球上物体的向心加速度都指向地心 B．地球在赤道处的向心加速度大小为g C．地球表面赤道处的物体随地球自转的线速度为 D．地球的第一宇宙速度为 【针对训练3】如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为2g，则E处的自转线速度大小为（　　） A． B． C． D． 题型四：不同轨道卫星参量及同步静止卫星 1.不同轨道人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系 G＝ 2.宇宙速度 （1）第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得v1＝ 方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，对于人造地球卫星而言，最小周期：Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。 （2）宇宙速度与人造地球卫星运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 3.同步静止卫星的6个“一定” 【例4】三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，下列关系正确的是（　　） A．运行线速度关系为 B．运行周期关系为 C．向心力大小关系为 D．运行半径与周期关系为 【针对训练4】2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用谷神星一号运载火箭，以一箭八星方式，成功将“云遥一号”卫星送入预定轨道。“云遥一号”卫星在轨道上的运动可视为匀速圆周运动，已知该卫星运行周期为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（   ） A．估算地球的质量为 B．“云遥一号”在轨运行的加速度等于 C．“云遥一号”轨道的离地高度为 D．“云遥一号”在轨运行的线速度大于 【例5】如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为离地面400km高的低轨道卫星，c为离地面36000km高的地球同步卫星，下列说法中正确的是（　　） A．线速度的大小关系为 B．向心加速度的关系为 C．周期关系为 D．同步卫星c的发射速度要大于11.2km/s 【针对训练5】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星（轨道半径小于静止轨道半径），下列说法正确的是（    ） A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止 B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等 C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度立方之比 D．北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小 题型五：卫星的变轨及追及相遇问题 1、 卫星的变轨问题 1.两类变轨简介 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与 向心力的 大小关系 G<m G>m 2.变轨前后各运行物理参量的比较 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 2、 天体追及相遇问题 绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…) 【例6】2025年3月26日23时55分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将第二代地球同步轨道数据中继卫星天链二号04星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。天链二号04星的发射过程如图所示，先将天链二号04星发射到低空圆轨道，在P点变轨到椭圆转移轨道，在Q点再次变轨到同步轨道。已知地球自转周期为24小时，下列说法正确的是（　　） A．天链二号04星在转移轨道上运行的周期大于24小时 B．天链二号04星在转移轨道运行时，经过Q点时的速度大于经过P点时的速度 C．天链二号04星在低空轨道经过P点时的加速度大于在转移轨道经过P点时的加速度 D．天链二号04星从转移轨道进入同步轨道，需在转移轨道的Q点点火加速 【针对训练6】神舟十九号载人飞船入轨后顺利完成入轨状态设置，采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口。对接过程的示意图如图所示，神舟十九号飞船处于半径为的圆轨道，运行周期为，线速度为，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到处与天和核心舱对接，轨道II上点的线速度为，运行周期为；天和核心舱处于半径为的圆轨道II，运行周期为，线速度为，则神舟十九号飞船（　　）    A． B． C．在轨道II上点处的加速度大于轨道III上点处的加速度 D．沿轨道II从运动到对接点过程中，速率不断增加 【例7】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【针对训练7】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示（表格中是一种长度单位，是一种质量单位）。 地球 火星 木星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 19 30 质量 1.0 0.1 317.8 14.5 17.1 根据题中信息，则相邻两次冲日时间间隔最长的地外行星是 A．火星 B．木星 C．天王星 D．海王星 【课堂巩固】 1．2025年4月24日17时，我国神舟二十号载人飞船成功发射并与空间站进行对接。假定对接前飞船在椭圆轨道Ⅰ上无动力运行，如图所示，空间站在圆轨道Ⅱ上，A为两轨道交点，B为Ⅰ轨道近地点。已知地球表面重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．飞船发射速度大于11.2km/s B．空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度大于g C．飞船和空间站在A处所受的万有引力相同 D．飞船在椭圆轨道Ⅰ上的B点线速度大小大于A点线速度大小 2．卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（          ） A． B． C． D． 3．“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 4．如图所示，A、、是地球表面上的三个不同位置，A在北极处，P在赤道上，Q的纬度为60°。质量为的物体分别放在A、、三处，如果把地球看成是一个质量分布均匀且半径为的球体，A处的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．该物体在A、、处所受重力大小相等，方向均指向地球球心 B．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小相等 C．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1 D．在赤道上方高处的重力加速度为 5．探测火星一直是人类的梦想，若在未来某一天，宇航员乘飞船绕火星做匀速圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H、环绕的周期为T及环绕的线速度为v，已知引力常量为G，不考虑火星的自转，则（　　） A．火星的半径为 B．火星的质量为 C．火星表面的重力加速度为 D．火星的第一宇宙速度为 6．在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其它在轨卫星，节省轨道资源。2022年1月22日，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。如图所示，已知同步轨道和“墓地轨道”的轨道半径分别为R1、R2，转移轨道与同步轨道、“墓地轨道”分别相切于P、Q点，地球自转周期为T0，万有引力常量为G。则（　　） A．由以上数据可求得地球的质量为 B．由以上数据可求得地球的质量为 C．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 D．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 7．将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断不正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的自转周期为 C．地球的平均密度为 D．地球同步卫星的高度为 8．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转。下列说法不正确的是（　　） A．月球的平均密度为 B．月球表面的重力加速度为 C．要使对接成功，飞机在接近B点时必须减速 D．对接前航天飞机的加速度大于空间站的加速度 9．2023年8月13日1时26分，中国成功发射陆地探测四号01卫星，如图所示，C卫星是地球同步轨道卫星，A为赤道上的等待发射的陆地探测四号02卫星，B为5G标准近地轨道卫星，已知地表的重力加速度大小为g，则关于陆地探测四号01卫星、陆地探测四号02卫星、标准近地轨道卫星间的比较，下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度大小大于C B．A卫星的角速度小于B卫星 C．B、C两卫星在相等时间内与地心的连线扫过的面积相等 D．A、B两卫星均在地表附近，因此二者的向心加速度大小均为g 10．我国的天链一号卫星是地球同步卫星，可为中、低轨道资源卫星提供数据中继服务。图为天链一号卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球三者间的位置关系示意图，O为地心，卫星a的轨道半径是卫星b 的轨道半径的4倍。已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T。下列说法正确的是（    ） A．卫星a的线速度是卫星b的线速度的4倍 B．卫星a的线速度是卫星b的线速度的2倍 C．卫星a、b从相距最近到相距最远的最短时间为 D．卫星a、b从相距最近到相距最远的最短时间为 11．2023年我国“天宫号”太空实验室实现了长期有人值守，我国迈入空间站时代。如图所示，“天舟号”货运飞船沿椭圆轨道运行，“天宫号”沿圆周轨道运行，两轨道相切于B点，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，则以下说法正确的是（　　） A．“天舟号”在A点比在B点运动得慢 B．“天舟号”与“天宫号”在B点的加速度大小相等 C．“天舟号”与地球的连线和“天宫号”与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．“天舟号”绕地球运动的周期比“天宫号”绕地球运动的周期长 12．如图所示，卫星ＭＮ（可看作质点）绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星Ｎ为地球同步静止轨道卫星，是纬度为的地球表面上一点。若某时刻与地球自转轴在同一平面内，其中在一条直线上，且，地球自转周期为，则下列说法正确的是（　　） A．卫星Ｎ的周期大于地球表面上点绕地轴运动的周期 B．卫星Ｍ的线速度小于卫星Ｎ的线速度 C．卫星Ｍ与卫星Ｎ的运行轨道半径之比为 D．卫星Ｍ的周期为 【课堂总结】 1.开普勒三定律的内容是什么？ 2.如何用万有引力定律估算天体的质量和密度？ 3.如何利用万有引力定律处理有关卫星的综合性问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $