26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，通过填空题复习\(y=ax^2\)等函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，结合选择题回顾平移知识，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于以探究活动为主线，通过列表描点画图、对比表格归纳性质，培养学生抽象能力与几何直观。例2结合具体点求参数、比较函数值大小，发展推理意识。平移规律总结为“左加右减，上加下减”，用数学语言简化表达，学生易理解，教师教学更高效。

26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第26章 二次函数 学习目标 1.会用描点法画出 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象； 2.掌握二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点） 3.理解二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点） 新课导入 1．填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y＝2x2 y＝－x2＋2 y＝3x2－5 y＝0.5(x－6)2 y＝－8(x＋4)2 向上 y轴或x＝0 (0，0) 最小值0 向下 y轴或x＝0 (0，2) 最大值2 向上 y轴或x＝0 (0，－5) 最小值－5 向上 x＝6 (6，0) 最小值0 向下 x＝－4 (－4，0) 最大值0 3 2. 把抛物线y＝－2x2向左平移1个单位长度得到的抛物线是 (　 　) A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2 C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1 A x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· ··· ··· -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 解：先列表： 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 探究 y =(x + 1)21 y=(x+1)21 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ ____________________________. 再描点、连线. 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 向下 直线 x = -1 (−1，−1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解： -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下. 直线x=-1. (-1,-1). 探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 知识点 1 7 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 探究新知 画一画，填写下表: 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 向下 向下 向下 直线x=0 直线x=0 直线x=－1 直线x=－1 （0,0） （0,－1） （－1,0） （－1,－1） 探究新知 探究： (1)画出函y=−(x+1)2−1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=−(x+1)2−1与抛物线y=−x2有什么关系？ 解：先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y= -(x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性： _________________________ __________________________. 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空. -2 2 x y O -2 4 6 -4 2 4 向上 直线 x = -1 (−1，-2) 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞-1时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 【归纳总结】 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，k) (h，k) 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 巩固练习 13 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 思考：抛物线y＝－(x＋1)2－1可以由抛物线y＝－x2经过怎样的变换得到？ y=- (x+1)2-1 y=- x2 y=-x2 向左平移1个单位 y=- (x+1)2 向下平移1个单位 还有其他的平移方法吗？ y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点 (1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限． A 利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象 素养考点 探究新知 B. D. A. C. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 向左平移一个单位 向下平移一个单位 向左平移一个单位， 再向下平移一个单位 探究新知 二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移 知识点 2 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ y=- x2 向下平移1个单位 y=- x2-1 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 y=-x2 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？ y = -(x+1)2-1 ①开口向下； ②对称轴为直线x=−1； ③顶点坐标为(−1，−1)； ④当x=−1时, y有最大值为−1； ⑤x<−1时，y随x增大而增大； x>−1时，y随x增大而减小. O 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 画一画，填出下表： -2 2 -2 -4 x y 想一想： 怎样移动可以得到 ？ 向下 向下 向下 向下 x = 0 x = 0 x = -1 x = -1 (0,0) (0,-1) (-1,0) (-1,-1) y=(x+1)21 y=x2 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 例3 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 向左平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 【思考】还可以怎样移动抛物线 来得到抛物线 ？ 平移方法： 向下平移 1个单位 探究新知 方法点拨 一般地,抛物线y=a(x－h) ²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(或向下)向左(或向右)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ²＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定. 向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位 向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位 y=ax2 y=a(x－h)2 y=a(x－h) 2+k y=ax2 y=a(x－h)2+k y=ax²+k 平移方法: 探究新知 向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位 向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位 请依据上述问题中的发现，说说抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？ 你能由此归纳出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的性质吗？ y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0) 或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 【归纳总结】 y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 探究新知 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k $