26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的性质逐步导入，以平移规律为支架，构建从基础到复杂形式的知识脉络。 其亮点在于通过列表描点画图培养几何直观，对比表格归纳性质发展推理意识，喷水池问题体现模型意识。采用动手操作与归纳总结结合的教学方法，小结结构化呈现规律，帮助学生形成空间观念，教师可高效开展教学。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 学习目标 学习重难点 会画二次函数y=ax²+k的图象；理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 掌握二次函数y=ax²+k的性质并会应用. 难点 重点 （1）会画二次函数y=ax2+k的图象. （2）掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. （3）理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 课时导入 前面我们已经学习了二次函数 y=ax2 的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗? 今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 导入新知 知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) ① 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象. 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 5 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 解析式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1 向上 直线x=0 (0,0) (0,1) 抛物线 (0,-1) 6 思考2 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 y = 2x2 观察图象可发现： 把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1. 向上 1 向下 1 所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到. 向下 2 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 思考3 知识点2 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) ② 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通 过怎样的平移可得到抛物线 . -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 二次函数y = ax2 +k的图象和性质: 巩固练习 1.二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. D 11 2. 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 归纳 3.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 随堂演练 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 y = 2x2－４ 2.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 3.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 14 4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) D 5.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 8 15 Administrator (A) - 课堂小结 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 16 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 学习目标 学习重难点 会用描点法画二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象； 能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的开口方向、对称轴、顶点. 能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的关系. 难点 重点 （1）会画二次函数y=a(x-h)2的图象. （2）掌握二次函数y=a(x-h)2的性质. （3）比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系. 导入新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 ① 解：先分别列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 19 然后描点画图： -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 抛物线 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 向下 直线x=-1 直线x=1 向下 ( 1, 0 ) ( -1 , 0 ) 20 思考2 向左平移 1个单位长度 向右平移 1个单位长度 抛物线y=-(x+1) 2 ，y=-(x-1) 2 与抛物线 y=-x2 有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 y=(x+1) 2 y=-x2 y=-(x-1) 2 思考3 抛物线y = a(x-h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？ 向左平移 h 个单位长度时 y=a(x+h)2 向右平移 h 个单位长度时 y=ax2 左右平移规律：左加右减 y=a(x-h)2 知识点2 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) ② 在同一平面坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通过怎样 的平移可得到抛物线 . -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 归纳 a，h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 直线 x=h （h，0） 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>h 时，y 随 x的增大而增大 当 x<h 时，y 随 x的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x的增大而减小 x=h 时，y最小值=0 x=h 时，y最大值=0 O x y O y x O y x O y x 巩固练习 1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到． 2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.要得到抛物线y= (x－4)2，可将抛物线y= x2( ) A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位 右 2 向下 （1，0） x=1 C 25 3.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数解析式． 分析：y＝ax2向右平移3个单位后的解析式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数解析式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数解析式为y＝ (x－3)2. 随堂演练 1.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2( ) A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最高点 2.抛物线y= x2向左平移3个单位所得抛物线是( ) A.y= (x+3)2 B.y= (x-3)2 C.y= (x+3)2 D.y= (x-3)2 3.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线____，顶点是________. A A 27 4.已知函数 y=-(x-1)2 图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)， 其中 a>2，则 y1 与 y2 的大小关系是y1 y2(填“<” “>”或“＝”). ＞ 解：因为函数 y=-(x-1)2， 所以函数图象的对称轴是直线 x=1，开口向下. 因为函数图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，a＞2， 所以 y1＞y2. 28 Administrator (A) - 课堂小结 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 29 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 学习目标 学习重难点 掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象和性质并会应用. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 难点 重点 （1）会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. （2）掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象和性质并会应用. （3）理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 导入新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 ① 画出函数y=-(x+1)2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 先列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2-1 … … -5.5 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 32 再描点、连线： 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=-1 开口方向向下；对称轴是直线 x = -1；顶点坐标是 ( -1，-1). y=-(x+1)2-1 33 向左平移1 个单位长度 怎样移动抛物线y=-x2可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？ 平移方法1 向下平移1 个单位长度 y=-x2 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-(x+1)2-1 平移方法2 向左平移1个单位长度 向下平移 1个单位长度 怎样移动抛物线y=-x2可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？ y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-(x+1)2-1 归纳 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 归纳 典型例题 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ O A 3 1.6 B C 3.6 ？ 我们可以先根据题意画出示意图. 解:如图建立直角坐标系, 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3.6,0)， ∴ 0=a(3.6－1.6)2＋3. 解得: 因此抛物线的解析式为: y=a(x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6). 当x=0时,y=1.08. 答:水管长应为1.08 m. 3 4 a=－ ， y= (x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6). 3 4 － O A 3 1.6 B C (3.6,0) (1.6,3) y x 巩固练习 将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为(　　) A．y＝2(x＋2)2 ＋ 3 B．y＝2(x－2)2＋3 C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x＋2)2＋3 B 40 随堂演练 1.下列关于二次函数y＝-2(x-2)2＋1图象的叙述,其中错误的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝2 C．此函数有最小值是1 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 C 2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是___________________. 3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________. 41 课堂小结 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象 特点 当 a>0时，开口向上； 当 a<0时，开口向下. 对称轴是 x=h. 顶点坐标是（h,k). 平移 规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 42 $