精品解析：广东省佛山市禅城区2025-2026学年八年级第二学期期末考试数学试卷

2025—2026学年第二学期供题训练 八年级数学 说明：本卷分第I卷和第II卷两部分，共6页、满分120分，训练时间120分钟． 注意事项：1．训练卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能作答在训练卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第I卷（选择题） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，故选项A一定成立； ∵，两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加1得，故选项B不成立； ∵，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，∴，故选项C不成立； ∵，不等式两边同除以正数2，不等号方向不变，∴，故选项D不成立． 3. 图是楼梯扶手的侧面图，扶手可以抽象成图所示的，若其最大的两个角与满足关系，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对角相等，结合已知条件，即可求出 的度数 ． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形 ， ∴，  ∵， ∴， ∴． 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，是从整式乘积化为多项式和的形式，不属于因式分解； B、左边是单项式，因式分解的分解对象应为多项式，因此不属于因式分解； C、，等式变形错误，不属于因式分解； D、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解的定义． 5. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：A． 6. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在桥洞前方常有如图所示的标志，表示该桥洞允许通行的最大高度，则可安全通过该桥洞的车辆整车高度的范围应是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：∵如图所示的标志，表示该桥洞允许通行的最大高度，且， ∴车辆整车高度的范围应是． 7. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 8. 若长为、宽为的长方形周长为，面积为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到与的值，再对所求代数式因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形长为，宽为，周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 9. 如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数． 【详解】解：设网格小正方形的边长为， 由图可知，点、在同一条竖直格线上，且， 网格横向有个格，纵向有个格， 分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ②当时，点在以为圆心，为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上，  ③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有  个格点，除去与、共线的个点（即  中点），剩余个点满足条件， 综上所述，满足条件的点的个数是． 10. 直线和把平面分成①、②、③、④个部分（不包括边界），则满足且的点必在（ ） A. 第①部分 B. 第②部分 C. 第③部分 D. 第④部分 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，分别确定不等式  和  所表示的平面区域，找出它们的公共部分即可.  【详解】解：不等式表示直线左上方的平面区域， ∴满足的点在直线的左上方， ∵不等式， 表示直线右上方的平面区域， ∴满足的点在直线的右上方 由图象可知，同时满足且的区域是直线与直线上方的公共部分，即第①部分. 第II卷（非选择题） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡相应位置） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可得出． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0且x≠0， ∴x=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 12. 如图所示的是国家级非物质文化遗产——佛山六角彩灯，寓意六六大顺、顺遂安康，是佛山市民中秋、元宵、秋色巡游标配花灯，彩灯的主体外轮廓为图所示的正六边形，正六边形的内角和度数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可知， 边形的内角和，本题中，代入内角和公式中，即可求出答案． 【详解】解： 边形的内角和，本题中， 所以正六边形的内角和度数为： ． 13. 请写出一个能用提公因式法进行因式分解的多项式：______． 【答案】答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意写一个能用提公因式法进行因式分解的多项式即可． 【详解】， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14. 将个等重圆球放在天平左边托盘．当右边托盘放个砝码时，天平状态如图；当右边托盘放个砝码时，天平状态如图．则个圆球的重量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据两个图列不等式求解即可． 【详解】解：设1个圆球的重量为，则两个圆球总重为， 由图1可得不等式， 解得， 由图2可知，两个砝码总重为， 可得不等式， 解得， 综上，的取值范围是． 15. 如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由旋转的性质可知，，则为等腰直角三角形，故．要求的最小值，即求的最小值，根据垂线段最短，当时，最小，在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】解：连接、，如图， 由旋转的性质可知，，， ， 当的值最小时，的值最小， 为边上任意一点， 当时，的值最小， 在中，，，， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】先计算分式的加法，再将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 17. 如图，的三个顶点均在边长为个单位长度的小正方形组成的网格格点上． （1）将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度． （2）①仅用无刻度直尺在上作出点，使平分；（保留必要的作图痕迹） ②上述作图过程中涉及到哪些数学知识点？写出其中的两个． 【答案】（1）解：平移后的图形如图： （2）解：①点如图所示， ②矩形的对角线互相平分；全等三角形对应角相等． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律描点，连线即可； （2）如图所示，连接，交于点H，连接并延长即为所求，根据矩形的对角线互相平分得到点H是的中点，证明出，全等三角形对应角相等即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由网格可得，四边形是矩形， ∴点H是的中点，即， ∵，， ∴， ∴即 ∴是的角平分线． ②略． 18. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】； 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，再将解集正确标注在数轴上即可． 【详解】解：移项，得   合并同类项，得   不等式两边同时除以，不等号方向改变，得  四．解答题（二）（每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． （1）写出确定点的操作过程． （2）以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】（1）解：如图，过点D，作，交于E； （2）证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，点，在对角线上．现有三个选项： ①；②；③． 请从中选出一个作为条件，以“四边形为平行四边形”作为结论组成一个命题．先判断命题的真假性．若是真命题，写出其证明过程；若是假命题，举反例． 【答案】情况1：选择①，是真命题，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 情况2：选择②，是真命题，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 情况3：选择③，是假命题， 如图，此时，四边形不是平行四边形． 【解析】 【分析】选择①，证明，可得，，从而得到，进而得到，即可； 选择②，证明，可得，即可； 选择③，举出反例，即可． 【详解】略 21. 年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 （1）两种机车的进货价分别是多少？ （2）市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【答案】（1） 型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台 （2） 解：能确定，理由如下： 设购进型机车台，型机车台，其中均为非负整数， 由题意可得：， ∴， ∵均为非负整数， ∴； 故能确定型机车购进台. 【解析】 【分析】 （1）设出未知数，根据两种型号机车的数量关系列分式方程求解，检验根的有效性即可得到结果； （2）设出两种型号的进货台数，根据总费用列出二元一次方程，结合台数为非负整数的限制，即可求出唯一符合条件的解. 【小问1详解】 解：设型机车的进货价为万元/台，则型机车的进货价为万元/台， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台； 【小问2详解】 略 五．解答题（三）（第22题13分，23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22. 我们约定：如果一个自然数（零或正整数）能表示为的形式（、均为自然数，且仅当时），那么称这个自然数为完美数． 数字 自然数 分类 奇数 偶数 研判过程 不是完美数 不是完美数 不是完美数 ● ☆ … … （1）上表中，符号“●”与“☆”对应的算式是什么？按从小到大排列，第个完美数是哪一个数？（直接写出） （2）根据表中的数据，你能发现一些与完美数有关的结论吗？将结论写出来并证明． （3）若直角三角形的一直角边长，其余两边的长都是整数，求该三角形周长的最大值． 【答案】（1） ，，第16个完美数是； （2） 结论：当是奇数或是大于等于8且是的倍数时，自然数是完美数；证明如下： 当（为自然数）时， ∵， ∴任意奇数是完美数； 当（且为整数）时， ∵， ∴是大于等于8且是的倍数时，自然数是完美数； （3） 该三角形周长的最大值是. 【解析】 【分析】（1）根据表格信息作答即可； （2）观察可知所有的奇数都是完美数，4的倍数都是完美数，根据平方差公式进行证明即可； （3）设另一条直角边为，斜边为（为正整数），勾股定理得到，进而得到，得到当时，此时最大，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由表格可知：，； 故“●”与“☆”对应的算式为，； 由题意和表格可知，所有的奇数都是完美数，大于等于8且为4的倍数都是完美数， 故第16个完美数为23； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设另一条直角边为，斜边为（为正整数）， 由勾股定理得：， ∴ ∵和同奇偶，且均为正偶数，周长为， 当乘积固定时，越小，越大，周长越大， ∵ 最小的正偶因数为2， ∴当时，此时最大， ∴周长的最大值为. 23. 方寸纸张经翻折叠压，看似简单，实则暗藏精妙的数学知识，折叠过程中涵盖对称图形、等角、空间构造等内容，每一道折痕都对应数理逻辑，百变造型背后皆是趣味的数学奥秘． 【动手尝试】 将长方形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． 【特例发现】 （1）如图，当点与点重合，，，折痕的长度是多少？ 【深入探究】 （2）如图，将条件“长方形”变成“边长为的正方形”，其他条件不变． ①当点为的中点时，线段的长度是多少？ ②记为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得，即可求解； （2）①过点Q作于点M，作于点N，连接，则，证明四边形为正方形，再证明，从而得到为等腰直角三角形，，然后根据勾股定理可得，即可求解； ②如图，过点Q作于点M，作于点N，连接，则，设，同理①得：四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，在中，，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：在长方形中，，， ∴，， 如图，连接， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①如图，过点Q作于点M，作于点N，连接，则， 由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点Q作于点M，作于点N，连接，则， 由折叠的性质得：， 设， 同理①得：四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， ∴， ∵的面积为， ∴． 六、附加题（满分10分） 24. 某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 （1）如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ （2）若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 【答案】（1）每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台 （2）的最大值是107万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用． （1）设每周应组装型号①无人机台、②无人机台，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，可得：，故，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台． ， 解得， 所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台； 【小问2详解】 解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台． ， 解得， ∴， 由于，且， 所以， 当时，最大（万元）， 所以，的最大值是107万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期供题训练 八年级数学 说明：本卷分第I卷和第II卷两部分，共6页、满分120分，训练时间120分钟． 注意事项：1．训练卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能作答在训练卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第I卷（选择题） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 2. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 图是楼梯扶手的侧面图，扶手可以抽象成图所示的，若其最大的两个角与满足关系，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 6. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在桥洞前方常有如图所示的标志，表示该桥洞允许通行的最大高度，则可安全通过该桥洞的车辆整车高度的范围应是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 8. 若长为、宽为的长方形周长为，面积为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 直线和把平面分成①、②、③、④个部分（不包括边界），则满足且的点必在（ ） A. 第①部分 B. 第②部分 C. 第③部分 D. 第④部分 第II卷（非选择题） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡相应位置） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 12. 如图所示的是国家级非物质文化遗产——佛山六角彩灯，寓意六六大顺、顺遂安康，是佛山市民中秋、元宵、秋色巡游标配花灯，彩灯的主体外轮廓为图所示的正六边形，正六边形的内角和度数为_________ 13. 请写出一个能用提公因式法进行因式分解的多项式：______． 14. 将个等重圆球放在天平左边托盘．当右边托盘放个砝码时，天平状态如图；当右边托盘放个砝码时，天平状态如图．则个圆球的重量的取值范围是________． 15. 如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 三、解答题（一）（每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，的三个顶点均在边长为个单位长度的小正方形组成的网格格点上． （1）将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度． （2）①仅用无刻度直尺在上作出点，使平分；（保留必要的作图痕迹） ②上述作图过程中涉及到哪些数学知识点？写出其中的两个． 18. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 四．解答题（二）（每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． （1）写出确定点的操作过程． （2）以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 20. 如图，在中，点，在对角线上．现有三个选项： ①；②；③． 请从中选出一个作为条件，以“四边形为平行四边形”作为结论组成一个命题．先判断命题的真假性．若是真命题，写出其证明过程；若是假命题，举反例． 21. 年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 （1）两种机车的进货价分别是多少？ （2）市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 五．解答题（三）（第22题13分，23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22. 我们约定：如果一个自然数（零或正整数）能表示为的形式（、均为自然数，且仅当时），那么称这个自然数为完美数． 数字 自然数 分类 奇数 偶数 研判过程 不是完美数 不是完美数 不是完美数 ● ☆ … … （1）上表中，符号“●”与“☆”对应的算式是什么？按从小到大排列，第个完美数是哪一个数？（直接写出） （2）根据表中的数据，你能发现一些与完美数有关的结论吗？将结论写出来并证明． （3）若直角三角形的一直角边长，其余两边的长都是整数，求该三角形周长的最大值． 23. 方寸纸张经翻折叠压，看似简单，实则暗藏精妙的数学知识，折叠过程中涵盖对称图形、等角、空间构造等内容，每一道折痕都对应数理逻辑，百变造型背后皆是趣味的数学奥秘． 【动手尝试】 将长方形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． 【特例发现】 （1）如图，当点与点重合，，，折痕的长度是多少？ 【深入探究】 （2）如图，将条件“长方形”变成“边长为的正方形”，其他条件不变． ①当点为的中点时，线段的长度是多少？ ②记为，的面积为，求与之间的函数关系式． 六、附加题（满分10分） 24. 某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 （1）如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ （2）若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $