精品解析：新疆和田地区墨玉县2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量若，则（ ） A. B. C. D. 3. 中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题： ①；②；③；④其中正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的极差为8 C. 的平均数为7 D. 的方差为4 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件相互独立 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 两条异面直线和所成的角为 C. 直线BC与平面所成的角等于 D. 点D到面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，下图提供随机数表的第2行到第4行，若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是__________． 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 15 53 31 34 57 86 01 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 13. 已知，，与的夹角为，则________． 14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为__________，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，26，43． 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？ 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若面积为，，求的周长. 17. 已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的5名同学分别用A､B､C､D､E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 19. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面中对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2. 已知向量若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示计算求解. 【详解】因为向量又，则，即得. 3. 中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何图形和平面向量的线性定理进行求解即可. 【详解】， 故选：A． 4. 已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴截面为等边三角形，求出圆锥底面的半径，因为圆锥侧面展开图是扇形，利扇形面积公式求圆锥的侧面积，再求底面积，然后相加即可求解. 【详解】 如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1， 则该圆锥的侧面积为，底面积为， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 5. 已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角余弦值即可. 【详解】由图可得，在正六棱柱中，，连接， 则即为异面直线与所成角或其补角； ，, 同理可得，， 在中，,， , 由余弦定理可得：. 故选：C 6. 已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 7. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题： ①；②；③；④其中正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面垂直、面面平行的判定与性质，逐一判断四个命题的正误即可. 【详解】对于①，若，，由线面垂直的性质可知，或，故①错误； 对于②，若，由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，即，故②正确； 对于③，若，由面面平行的相关判定结论可得，垂直于同一直线的两个平面互相平行，即，故③正确； 对于④，若，则两个平行平面内的直线可能平行，也可能异面，故与不一定平行，故④错误. 综上，正确的命题为②③. 8. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的极差为8 C. 的平均数为7 D. 的方差为4 【答案】BC 【解析】 【详解】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误； 数据的极差为4，即. 由，可知，， ，故B正确； 由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确； 由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误. 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型概率的计算、事件的并集概率与交集概率及事件独立性的判断，准确运用相应的概率公式进行计算即可. 【详解】选项A：根据古典概型概率公式可知，，故A正确； 选项B：事件表示“第一次摸到红球或第二次摸到红球”，其对立事件为“两次都摸到黄球”. 两次都摸到黄球的概率：， 所以，故B正确. 选项C：事件表示“第一次摸到红球且两个球颜色相同”，即两次都摸到红球. 概率为：，故C正确. 选项D：第二次摸到红球分两种情况：第一次红第二次红、第一次黄第二次红. 两次都摸到红球的概率：. 若事件与事件相互独立，则需满足， ，故事件与事件不独立，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 两条异面直线和所成的角为 C. 直线BC与平面所成的角等于 D. 点D到面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接，把异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角，为正三角形，可判定B正确；证得平面，进而求得直线与平面所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到，进而可判定D错误. 【详解】对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误. 对于B中，如图所示，连接， 因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小， 又因为，则为正三角形，即，所以B正确； 对于C中，如图所示，连接，在正方形中，. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为， 所以C正确； 对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形， 所以, 又因为，根据等体积转换可知：， 即，即，解得，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，下图提供随机数表的第2行到第4行，若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是__________． 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 15 53 31 34 57 86 01 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 【答案】. 【解析】 【分析】根据所给数据依次找出前5个数即可. 【详解】从表中第3行第4列开始向右读取数据，依次为： 所以得到的第5个样本编号是 故答案为： 13. 已知，，与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，根据平面向量的数量积的运算即可求出的值，从而得出的值. 【详解】解：由题可知，，，与的夹角为， 则 即，. 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和向量的模的求法，考查了计算能力，属于基础题． 14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为__________，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】正四面体补形成一个正方体，利用正方体的对角线，求外接球的半径和表面积如；利用正四面体中心到底面的距离与棱长的关系，列方程求容器棱长的最小值. 【详解】由球心A，B，C，D构成的四面体是正四面体，其棱长为4， 将正四面体补形成一个正方体，正方体的棱长为，正四面体的棱是正方体各面的对角线，如图所示， 则正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即外接球的半径，外接球的表面积为. 对于正四面体中， 若边长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心，如图所示， 由于M为CD的中点，所以， 则，， 设外接球的半径为R，则， 中，，解得， 所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为， 半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内， 则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切， 设这个正四面体容器棱长为，则有， 解得，则该容器棱长的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：正四面体的外接球问题，经常把正四面体补形成正方体，利用正方体的对角线为外接球的直径，可减少运算量；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，找到等量关系列出算式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，26，43． 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？ 【答案】（1）乙种玉米苗长得高 （2）甲种玉米苗长得齐 【解析】 【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可； （2）计算甲乙是的方差，比较大小即可. 【小问1详解】 ， ， ． 乙种玉米苗长得高． 【小问2详解】 ， ， ． 甲种玉米苗长得齐． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若面积为，，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，化边为角，即可得出所求； （2）由，求出，再利用余弦定理即可求出，从而即可求出周长. 【详解】（1）由正弦定理有：， 而为的内角，∴， 即，由，可得. （2）的面积， 由 ，则， ∴的周长为. 17. 已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的5名同学分别用A､B､C､D､E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率. 【答案】（1）从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）①答案见解析；②0.2. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的概念，可得各年级抽取的人数. （2）①由题意列出所有可能的结果即可；②根据①的条件，结合古典概型的概念直接计算即可. 【详解】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为2∶2∶1 所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取2人，2人，1人 （2）①从抽出的5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为： {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}， {B，C}，{B，D}， {B，E}， {C，D}，{C，E}，{ D，E}共10种． ②不妨设抽出的5名同学中， 来自甲年级的是A，B，来自乙年级的是C ，D，来自丙年级的是E， 则从抽出的5名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为：{A，B}，{C，D}，共2种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． 【小问2详解】 证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． 【小问3详解】 取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 19. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1），85； （2）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $