精品解析：新疆生产建设兵团第二师华山中学、乌鲁木齐八一中学2025～2026学年第二学期高一期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期八一中学·华山中学期末考试 高一年级数学试卷 （考试时长：120分钟满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由为纯虚数，则，可得. 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 3. 若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 则圆锥的侧面积为， 由题意可得，得， 所以过轴的截面面积为， 所以侧面积与过轴的截面面积之比为. 4. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 5. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）nmile A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 6. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底表示向量和，再根据数量积公式和运算律，即可求解. 【详解】， ， 所以， . 7. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 由余弦定理可知 即， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以是等腰或直角三角形. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，， ，，，证明平面平面，由点在正方体的表面上运动可得点在线，， ，上运动，再由求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值即可求解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差、标准差公式和折线图，逐项判断即可. 【详解】将这组数据按照从小到大排列为：52，52，53，54，55，56，56. A项，这组数据的中位数为54，平均数为，中位数等于平均数，故A正确； B项，，则这组数据的第60百分位数为55，故B错误； C项，根据折线图可知，第5年（2022年）的污水净化量小于第4年（2021年）的污水净化量，故C错误； D项，2018年的污水净化量数据是这组数据的最小值，去掉此数据后，新数据分布更集中，即数据的标准差会变小，故D正确. 10. 若平面向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算、平行与垂直判定、投影向量、向量夹角条件及基本不等式求最值，逐项分析即可判断． 【详解】选项A：由，得， 解得，故，， 因，所以与不平行，故A错误； 选项B：因在上的投影向量为，而， 则，依题意，， 解得，故，即B正确； 选项C：由，即，又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D：由，则， 又， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为2，故D正确． 11. 在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. 点的轨迹的长度为 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，作出判断；B先根据题意判定出点Q的轨迹，再求弧长即可；C通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值； D作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最小值； 【详解】A，由正方体性质，易得，， 因为平面， 所以平面.因为平面，所以，故A正确； B，因为，在正方形中，，. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 根据弧长公式，这里，，所以轨迹长度为，故B错误； C，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内 由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故C错误. D，如图连接交于， 因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最大时最小，即P与B重合，时，最大. 可得， 此时，故的最小值为， 直线与平面所成角的最小值是，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（其中为虚数单位），则__________． 【答案】3 【解析】 【详解】， ， ， . 13. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点，连接、，利用三角形中位线定理将异面直线、平移至中，结合余弦定理求解的长． 【详解】取的中点，连接、． 因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 则，且． 同理，因为、分别为、的中点， 所以为的中位线，则，且． 因为，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 又因为异面直线与所成角的大小为， 所以或． 在中，由余弦定理得：． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 综上所述，的长为或． 14. 在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出的最小值. 【详解】 在中，因为， 所以. 又，，所以. 因为E为的中点，所以. 因为M、E、N三点共线，所以，即， 复数，所以， 令， 故当，取最小值. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，的面积为6． （1）证明：为锐角； （2）求； （3）求的外接圆面积． 【答案】（1）证明：注意到， 由，得或， 而，由，得， 由于，显然不满足题意， 则，故C为锐角，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由结合正弦函数的性质可得或，由结合余弦函数的性质可得，进而得到即可求证； （2）先根据平方关系求出，，再根据两角和的正弦公式求解即可； （3）结合三角形的面积公式及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，为锐角，而，， 则，， 于是. 【小问3详解】 记的外接圆半径为R， 注意到的面积 ， 于是由正弦定理得的外接圆面积为. 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】（1），90 （2）86 （3）平均数为91，方差为22． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． 【小问2详解】 前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． 【小问3详解】 样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 17. 如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的体积与表面积； （2）求图中所示圆锥的内切球体积． 【答案】（1）旋转体的体积为，旋转体的表面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）先分析该旋转体的组成部分，再利用圆柱与圆锥的体积公式求旋转体的体积，以及该旋转体的表面积公式计算即可； （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，设球切于点，连接，求出内切球半径代入球体积公式计算即可. 【小问1详解】 由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得：， ，所以， 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积， 因为旋转体的表面积， 所以. 【小问2详解】 设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接，如图所示： 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球的体积为：. 18. 如图所示，已知三棱锥中，，，，. （1）在棱AB上取点E使，证明：. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解出角的大小进而确定等腰与等边三角形，通过三线合一的性质证明线面垂直，最终可得到线线垂直的结论， （2）在棱上取点构造二面角的平面角，通过解三角形求出该角的余弦值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，且，所以是等边三角形， 取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 在中，已知，所以是等腰三角形，故， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 在棱上取点，连接，使得， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以， 在平面内，过作交于点，连接， 因为，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中， ， 所以二面角的余弦值为. 19. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C； （2）①为中点，将表示为 ，对其平方后结合余弦定理、基本不等式即可求 的最小值； ②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. 【小问2详解】 ①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八一中学·华山中学期末考试 高一年级数学试卷 （考试时长：120分钟满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 3. 若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 5. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）nmile A. B. 8 C. D. 6. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 10. 若平面向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为2 11. 在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. 点的轨迹的长度为 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（其中为虚数单位），则__________． 13. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 14. 在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，的面积为6． （1）证明：为锐角； （2）求； （3）求的外接圆面积． 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 17. 如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的体积与表面积； （2）求图中所示圆锥的内切球体积． 18. 如图所示，已知三棱锥中，，，，. （1）在棱AB上取点E使，证明：. （2）求二面角的余弦值. 19. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $