精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期八年级期末考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 3. 下列关系式中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 在上升或下降过程中，无人机的速度均为米/分钟 B. 无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 C. 无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 D. 第14分钟时无人机的飞行高度是米 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 7. 如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 某校举办运动会开幕式方阵评比活动，评比内容分为：队列整齐度、精神面貌、创意展示（每项满分均为10分），按照如图所示的占比计算最终成绩．已知九年级（1）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则九年级（1）班的最终成绩为______分． 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 11. 直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 __． 12. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 14. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了”航空航天“知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的统计表和箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 （1）上述表中，________，________，并补全七年级抽取学生成绩箱线图； （2）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图表进行说明． 15. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 16. 如图，已知在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 17. 近年来，中国传统服装备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4200元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大的销售利润，并求出最大的销售利润是多少元？ 18. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期末考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项 ，被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式，不符合题意； B选项 满足最简二次根式的两个条件，符合题意； C选项 ，被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；. D选项 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 3. 下列关系式中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义； 选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义． 4. 如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等角对等边得出，即可求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，可得是的中位线，根据中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 5. 无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 在上升或下降过程中，无人机的速度均为米/分钟 B. 无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 C. 无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 D. 第14分钟时无人机的飞行高度是米 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象获取关键点的坐标，利用速度路程时间计算无人机的上升和下降速度，进而求出各时间段的高度变化，逐一判断选项即可．  【详解】解：由图象可知，在分钟内，无人机上升的高度为（米），时间为分钟， 无人机的上升速度为（米/分钟）， 在分钟内，无人机下降的高度为（米），时间为分钟， 下降速度为米/分钟，故选项A说法正确； 无人机在米高的上空停留的时间为（分钟），故选项B说法正确； 由图象可知，无人机在米高的上空停留的时间是（分钟），故选项C说法不正确； 第分钟时，无人机处于下降过程，已下降时间为（分钟）， 下降高度为（米）， 此时飞行高度为（米），故选项D说法正确． 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点计算方法，以及一次函数图象的平移规律，逐一判断各选项的正误即可得出答案． 【详解】解：已知一次函数 对于A选项，∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确； 对于B选项，令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确； 对于C选项，∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，C结论正确； 对于D选项，将函数图象向下平移4个单位长度，根据平移规律可得新函数解析式为，不是，D结论错误． 7. 如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质和平行线的性质得到，结合折叠性质得到，从而证得，推出，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质可得：， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ． 8. 一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 某校举办运动会开幕式方阵评比活动，评比内容分为：队列整齐度、精神面貌、创意展示（每项满分均为10分），按照如图所示的占比计算最终成绩．已知九年级（1）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则九年级（1）班的最终成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】用各项得分分别乘以对应占比，再将结果相加，得到最终的加权平均数． 【详解】解：（分）． 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 【答案】北偏东50°（或东偏北40°） 【解析】 【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 11. 直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识点，能根据图象得出正确的信息（两函数的交点坐标和直线与轴的交点坐标）是解此题的关键． 根据图象得出两函数的交点坐标是，直线与轴的交点坐标是，再根据图象求出不等式组的解集即可． 【详解】解：从图象可知：两函数的交点坐标是， 直线与轴的交点坐标是， 所以不等式组的解集是． 故答案为：． 12. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，由点是的中点可得，当时，取得最小值，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，  ，，， 四边形是矩形，  ， 点是的中点，  ， 当时，取得最小值，此时也取得最小值， 在中，，，  ，  ，  ，  的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用完全平方公式把算式展开，再合并同类二次根式； （3）根据、的值可得：，再逆用完全平方公式求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：，， ， ． 14. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了”航空航天“知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的统计表和箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 （1）上述表中，________，________，并补全七年级抽取学生成绩箱线图； （2）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图表进行说明． 【答案】（1）90，93； （2）估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人 （3）八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出b，c，然后求出a，再补全箱线图即可； （2）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解； （3）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如图 【小问2详解】 解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人. 【小问3详解】 略 15. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 16. 如图，已知在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，D是的中点， ∴， ∴， ∴． 17. 近年来，中国传统服装备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4200元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大的销售利润，并求出最大的销售利润是多少元？ 【答案】（1）短款服装购进30件，长款服装购进20件 （2）当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600元 【解析】 【分析】（1）根据总件数和总进价的等量关系列方程组求解； （2）根据总进价的限制列不等式，结合一次函数的单调性求解最大利润． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意得， 解得， 即短款服装购进30件，长款服装购进20件； 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得，  解得：，  设总利润为w元，则，  ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时长款服装数量为（件），  即当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600元． 18. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①证明见解析； ②； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； 【小问3详解】 解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $