计算题专项突破之一元二次方程 2026-2027学年人教版九年级数学上册（六大板块）

**基本信息** 聚焦一元二次方程四种解法，按“基础方法-指定应用-灵活选择”逻辑分层训练，强化运算能力与方法选择意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|5题|含平方项及变形方程|从特殊形式切入，建立降次思想| |配方法|5题|二次项系数不同的方程|转化思想，为公式法铺垫| |公式法|5题|一般形式及判别式应用|配方法的一般化，培养推理能力| |因式分解法|5题|可分解为乘积形式的方程|体现因式分解的降次应用| |指定方法|6题|明确解法要求的综合题|巩固单一方法，强化规范步骤| |合适方法|5题|需选择最优解法的方程|综合应用，发展数学思维的灵活性|

计算题专项突破之一元二次方程2026-2027学年 人教版九年级上册（六大板块） 板块一：直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列方程： (1) (2) 2.直接开平方法解下列方程： (1) ；(2) 3.用直接开平方法解下列方程： (1) ;(2) 4.用直接开平方法解下列一元二次方程： r-81=0,a4-7=0,g0-球=2,42x+6-8=0 ；(4) 5.直接开方法解方程， 9=25,@2x-98=0,g3-2=0,436r-l旷=27 板块二：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程：2-4x-5=0. 2.用配方法解方程：X+5什7=3什11. 3.用配方法解下列方程： (1) ;(2) (3) :(4) 4.用配方法解下列方程： (1) :(2) (3) ;(4) 5.用配方法解下列方程： (1) ;(2) (3) :(4) 板块三：公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程：3x2-5x=2 2.用公式法解下列方程： ()r-2x=4r-5.2r+3)=l2+8x 3.用公式法解方程： (1) ;(2) :(3) 4.用公式法解下列方程： (1) ;(2) :(3) 5.用公式法解下列方程. (1) ;(2) ;(3) 板块四：因式分解法解一元二次方程 1.解方程. (1)X=4x (2)x(x-2)=3x-6. 2.解方程： (1)x-2x=0:(2)3x（2x+1)=4+2. 3.解方程： (1)X-4x+3=0:（2)2（x-1)2=x-1. 4.解下列方程： (1)x-4x-5=0: ②)x+3y=2(x+3) 5.解方程 (1)+x-6=0;(2)x（x-2)+x-2=0. 板块五：按指定方法解一元二次方程 1.按要求解下列方程： (①312x-1?-12=0(直接开方法）：②》2X-4x-4048=0(配方法)· 2.解下列方程 (1)X-6x-16=0(配方法)；(2)2-2V2+1=0(公式法). 3.解一元二次方程： (1)x2-4x-7=0(公式法)；(2)xx-2+x-2=0(因式分解法)· 4.用指定方法解下列方程： (1)x2-6x+4=0;(配方法)(2)5x2-3x=x+1;(公式法) 5.按要求解下列关于x的一元二次方程： (1)2x2-4x-1=0（公式法)②3x-2=X-4(因武分解法) 6.按要求解一元二次方程 (1)4x°-8x+1=0(配方法)(2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法) (3)3x+5(2x+1)=0(公式法)(4)x2-2x-8=0.(因式分解法) 板块六：用合适方法解一元二次方程 1.用合适的方法解下列方程： (1)x2-6x+5=0(2)xx+3=2x+6 2.用适当的方法解下列方程： (1)x2-3x-2=0;(2)x2x-5=4x-10. 3.用合适的方法解方程： (10x-2x-1=0:②2x+12=-6x-3 4.用适当的方法解下列一元二次方程： (362-12x+1=0:②-×-3x+6=0,8x-5=25-x 5.用合适的方法解下列一元二次方程： (1Dx+2?-16=0:(②》x+1P=3x+1:(3)x-3X-28=0:(42X2-3x+2=0°计算题专项突破之一元二次方程2026-2027学年 人教版九年级上册（六大板块） 板块一：直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列方程： (1) (2) 【答案】解：(1) 9 所以 (2) 所以 2.直接开平方法解下列方程： (1) ；(2) 【答案】解：(1) 所以 (2) 所以 3.用直接开平方法解下列方程： (1) ;(2) 【答案】解：.(1) 则 解得： (2) 解得： 4.用直接开平方法解下列一元二次方程： 0r-81=0:a-7=0, 、31-x)2=12 (2x+6)2-8=0 ；(4 【答案】(1)x=9: 白+s6 2； =3-1 ； (④=-3+5=3-5 【详解】(1)解：x2-81=0, 即x2=81, 开方得：x=9; (2)4x2-7=0, 即r、7 4 开方得： tst分 2 30-x)2=12 (3) 即r-y2=4 开方得：x-1=±2， x=3x2=-1 解得： (2x+6)2-8=0 (4) 2x+6)2=8 即 开方得：2x+6=±22， 解得： x=-3+V2五=-3-V2 5.直接开方法解方程. 9r=25:②2r-98=0:g30x-2=0:④3-=27 【答案】() 5 3,6=-3: 包5=7书=-7 3)=5=2 (4=1+30 10,5=1-30 10· 【详解】(1)解：9x2-25, 开方得：3x=5或3x=-5, 5 5 解得：=3，名=3： (2)解：2x2-98=0, 方程变形得：x2=49, x=7x2=-7 开方得： (3)解： 3(x-2)}2=0 方程变形为： (x-2)'=0 方程开方得：x-2=0, 解得： =x2=2 3(x-1)2=2.7 (4)解： (x-1)=0.9 方程变形得： 开方得：x-1=±310 10, 解得：书=1+3 10,51-3f0 10. 板块二：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程：2-4x-5=0. 【答案】解： 所以 2.用配方法解方程：x+5种7=3+11. 【答案】解：原方程可化为 3.用配方法解下列方程： (1) ;(2) (3) :(4) 【答案】(1) (2) (3)原方程无解： (4) 【详解】解：(1) 移项得： 配方得： 即 开平方得： 解得： (2) 移项得： 配方得： 即 开平方得： 解得： (3) 移项得： 配方得： 即 原方程无解： (4) 原方程化为 配方得： 即 开平方得： 解得： 4.用配方法解下列方程： (1) :(2) (3) :(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】解：(1) 或 (2) 或 (3) ” 或 (4) 或 5.用配方法解下列方程： (1) ；(2) (3) :(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】解：(1) ，即 则 即 (2)配方得： 4 即 两边开平方，得 (3)去括号、移项、合并同类项，得 配方，得 ，即 开方，得 9 解得 (4)把常数项移到右边，并将两边同除以4，得 配方，得 ,即 开方得： 解得： 板块三：公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程：3x2-5x=2 1 【答案】x=2,为=3 【详解】解：3x2-5x=2, ,3x2-5x-2=0, 方程中的a=3,b=-5,c=-2 “方程根的判别式△=B-4ac=(-5-4×3x(-2)=49>0 x=btvF-4ae-5±495t7 2a 2×36, 1 则方程的解为x=2,x=一3： 2.用公式法解下列方程： (r-2x=4-5.2*(+3)=12+8x 【答案】)=5为=1 2 5+√73 5-√73 2， x2= 2 【详解】【小问1详解】 解：x2-2x=4x-5 移项、合并同类项得x2-6x+5=0 观察可得a=1,b=-6,c=5 ∴△=b2-4ac=(-6)}-4×1x5=16>0 x=-b±vB2-4ac 2a x=6)+16 2×1 5.5=-6)61 2×1 x=5,x2=1 故答案为： 【小问2详解】 解：(x+3)=12+8x 去括号得x2+3x=12+8x 移项得x2+3x-8x-12=0: 合并同类项得x2-5x-12=0 .△=(-5)-4×1×(-12)=73>0 :x=-b±VB2-4ac 2a ∴5=-(-+v厉5+厉 2×1 2, 3.用公式法解方程： (1) ；(2) :(3) 【答案】(1) (2)方程没有实数解： (3) 【详解】(1) △ (2) 方程化为一般式为 △ 方程没有实数解： (3) 方程化为一般式为 △ 4.用公式法解下列方程： (1) ;(2) ；(3) 【答案】(1) :(2) (3) 【详解】(1) △ (2) △ (3) △ 5.用公式法解下列方程. (1) ;(2) ;(3) 【答案】(1)去括号，移项方程化为一般式为： (2) (3) 板块四：因式分解法解一元二次方程 1.解方程， (1)=4x (2)x(x-2)=3x-6. 【答案】解：(1)，=4x .-4=0, 则x(x-4)=0, .=0或x-4=0 解得五=0，=4： (2),x(x-2)=3x-6, .x(x-2)-3(x-2)=0, 则(x-2)(x-3)=0, .x-2=0或x-3=0, 解得=2，=3. 2.解方程： (1)x-2x=0;(2)3x(2x+1)=4+2. 【答案】解：(1)，x-2r=0, x(x-2)=0, 则=0或x-2=0, 解得五=0，=2； (2),3x(2H1)=4+2, ∴.3x(2+1)-2(2+1)=0, .(2+1)(3x-2)=0, .2x+1=0或3x-2=0, 1 -2 解得五=立号 3.解方程： (1)-4+3=0:(2)2（x-1)2=x-1. 【答案】解：(1)：-4x3=0, ,(x-1)(x-3)=0, 则x-1=0或x-3=0, 解得五=1，=3： (2)2(x-1)2=x-1, ∴2(x-1)2-(x-1)=0, 则(x-1)(2r-3)=0, .x-1=0或2x-3=0, 解得五=1，=1.5. 4.解下列方程： (1)x2-4x-5=0; 2)x+3y°=2(x+3) x1=5,x2=-1 X1=-3x2=-1 【答案】(1) (2) 【详解】(1)解：，x2-4x-5=0, :x-5x+1)=0 .x-5=0,x+1=0, 5=5,52=-1 解得 2)(x+3=2(x+3). :[r+3)-2](x+3)=0 x+3=0,x+1=0. 1=-3,x2=-1 解得 5.解方程 (1)+x-6=0:(2)x(x-2)+x-2=0. 【解答】解：(1)+x-6=0, .(H3)(x-2)=0, 则料3=0或x-2=0, 解得五=-3,6=2： (2),x(x-2)+x-2=0, ,(x-2)（+1)=0, 则x-2=0或+1=0， 解得五=2，=-1. 板块五：按指定方法解一元二次方程 1.按要求解下列方程： (①312x-1P-12=0（直接开方法)：②)2X2-4x-4048=0(配方法)· 【容案1仙x是=@X=6,名=4 3 【详解】(1)解：原方程可变形为312x-1?=12 2x-12=41 开平方，得 2x-1=±2， 即2x-1=2,或2x-1=-2, (2)解：2x2-4x-4048=0 方程两边都除以2，得x2-2X-2024=0, 移项，得x-2x=2024, 配方，得x-2X+1=2025 x-12=20251 .x-1=±45， 即x-1=45,或x-1=-45, .X1=46,X2=-44 2.解下列方程 (1)-6r-16=0(配方法)；(2)2-2V2+1=0(公式法). 【解答】解：(1)-6x-16=0, -6x=16, -6+9=25,即(x-3)2=25, .x-3=±5， .五=8，=-2： (2)2f-2V2H1=0, :a=2,6=-2/2,c=1, .4=(-22)2-4×2×1=0, 2 =2 3.解一元二次方程： (1)x2-4x-7=0(公式法)；(2)xx-2+x-2=0(因式分解法)· 【答案】（①0x,=2-只11，X2=2+/1 (2)X1=2,X2=-1 【详解】(1)解：.'a=1,b=-4,c=-7, ∴.△=b2-4ac=-42-4×1×-7=44>0 x=4±V44 2×1 2±11， ∴.x1=2-/11,x2=2+V11 (2)解：，xx-2+X-2=0, .x-2x+1=0, ∴.x-2=0或x+1=0, .∴.X1=2,X2=-1. 4.用指定方法解下列方程： (1)x2-6x+4=0:(配方法)(2)5x2-3x=x+1;(公式法) 【答案】(10x,=5+3'X2=-V5+3 @X1考君 【详解】(1)解：x2-6x+4=0, x2-6x+9=5, (x-32=5 x-3=±9V5, 所以x,=5+3 x,=-5+3 (2)解：5x2-3x=X+1, 5x2-4x-1=0, .a=5,b=-4,c=-1, 4=b2-4ac=-42-4×-1×5=36>0° x=-4±8V362±3 2×5 5 .X1=1 5.按要求解下列关于x的一元二次方程： (①2X-4x-1=0(公式法)23x-2?=X-4(因式分解法) 2,16 【答案】(1)x1=1+ 2 (2)X1=2,x2=4 【详解】(1)解：2x2-4x-1=0 ∴a=2,b=-4,c=-1, .△=b2-4ac=16+8=24, ÷x=4±/24_2±6 2×2 2 解得：名=1+ 2,=1- 6 2 (2)3x-22=x2-4 因式分解得3x-2=x+2x-2 移项得3x-22-x+2x-2=0 提取公因式得13x-2-x+2川x-2=0 即2x-8x-2=0, 解得X1=2,x2=4 6.按要求解一元二次方程 (1)4x°-8x+1=0(配方法)(2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法) (3)3x2+5(2x+1)=0(公式法)(4)x2-2x-8=0.(因式分解法) 【答案】解：(1)4x2-8x+1=0(配方法) 1 移项得，x-2x=-4, 1 配方得，x2-2x+1=-4+1, 3 (x-1)2=4, 3 x-1=±2 ⑤ 3 x1+2,x=1-2. (2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法) 7x(5x+2)-6(5x+2)=0, (5x+2)(7x-6)=0, ∴.5x+2=0,7x-6=0, 26 ∴x1=-5,x2=7: (3)3x°+5(2x+1)=0(公式法) 整理得，3x+10x+5=0 :a=3,b=10,c=5b°-4a.c=100-60=40, -b±√b2-4ac-10±√40-5±10 ∴.X= 2a =2×3=3 -5+v/10 -5-10 x1=3,x=3 (4)x2-2x-8=0. (x+4)(x-2)=0, .x+4=0,x-2=0, .81=-4,8g=2. 板块六：用合适方法解一元二次方程 1.用合适的方法解下列方程： (1)x2-6x+5=0(2)xx+3=2x+6 【答案】(1)X1=1,X2=5(2)X1=-3,X2=2 【详解】(1)解：x2-6x+5=0 ∴.x-1x-5=0, ∴.x-1=0或x-5=0, .X1=1,X2=5: (2)xx+3=2x+6 整理得x+X-6=0, .x+3x-2=0, ∴.x+3=0或x-2=0, .∴.X1=-3,X2=2 2.用适当的方法解下列方程： (1)x2-3x-2=0;(2)x2x-5=4x-10. 【答案】(0)X=3+17 今，x,3-正@号 2 【详解】(1)解：x2-3x-2=0, a=1,b=-3,c=-2, ∴.4=b2-4ac=9+8=17>0, x=-b±8B-4ac_3±17， 2a 七=3+7 3-17 2 (2)解：x2x-5=4x-10, ∴.x2x-5-22x-5=0, ∴.2x-5川x-2=0, .∴.2x-5=0或x-2=0, x号2 3.用合适的方法解方程： (①0x-2x-1=0:22x+1P=-6x-3 【答案】（①x=1+2x,=1-2 @x=2义=-2 【详解】(1)解：x2-2x-1=0 移项，得x-2x=1, 配方，得x-2x+1=1+1, (x-1P=2 方程两边同时开方，得 x-1=±2， 则x-1=2,或x-1=-V2. x1=1+V2'x,=1-9V2 (2)解：2x+12=-6x-3 (2x+12+32x+1=0 2x+12x+1+3=0 2x+12x+4=0: 2x+1=0,或2x+4=0. x=2X,=-2. 4.用适当的方法解下列一元二次方程： 36x2-12x+1=0:@-2×-3x+6=0:@x-5P=215-x 【路案】@X=日 (②x,=-3+921'x=-3-821 (3)x1=5,x2=3 【详解】(1)解：方程可变为， 6x2-12x+1=0 ∴6x-12=0 .6x-1=0, 解得名=名合 (2)解：去分母整理得，x+6X-12=0, a=1,b=6,c=-12, 4=62-4×1×-12=84>0 x=-6±84=-6±2R21 2 2 x=-3+21'x2=-3-/21 (3)解：方程移项得，x-52+2x-5=0' 因式分解得，x-5x-3=0, 解得水1=5，X2=3. 5.用合适的方法解下列一元二次方程： (①x+2P-16=0(②1x+1P=3x+1:(3)x-3x-28=0:④2×2-3x+2=0 【答案】(1)X1=2,X2=-6: (2)X1=2,X2=-1 (3)X1=7,X2=-4 (4)方程没有实数根 【详解】1)解：(x+2-16=0 整理得x+22=16' 开方得x+2=±4， 解得X1=2,X2=-6: (2)解：(x+12=3x+1 整理得x+1P-3x+1=0 因式分解得x+1x+1-3=0 即x-2=0,x+1=0, 解得X1=2,X2=-1: (3)解：x2-3x-28=0, 因式分解得x-7x+4=0, 即x-7=0,x+4=0 解得X1=7,X2=-4: (4)解：2x2-3x+2=0, a=2,b=-3,c=2, △=b2-4ac=(-3)2-4×2×2=-7<0' ∴方程没有实数根。