3.4 圆周角（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角的定义及定理，通过运动员射门问题引入，结合圆心角知识回顾，搭建从圆心角到圆周角的认知支架，引导学生理解概念及数量关系。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过分类讨论圆心与圆周角位置关系发展推理能力，结合例题与练习强化应用意识。课堂小结结构化梳理知识，助力学生掌握核心，教师教学更高效。

3.4 圆周角（1） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解圆周角的定义，能准确判断一个角是否为圆周角． 掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 3 能运用圆周角定理进行简单的角度计算． 知识回顾 1．什么是圆心角？ 顶点在圆心的角叫作圆心角． O ● B A 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数之间有什么关系？ 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 问题引入 如图，当运动员分别在圆上的三处（ B、D、E ）射门时，三个射门点对球门（线段 AC）的张角相同．你知道为什么吗？ 这三个角有哪些共同的特征？ 顶点都在⊙O上 角的两边都和圆相交于A、C两点 概念学习 O A3 A1 C A2 B 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角 (angle in a circular segment)． 注意：两个条件必须同时具备，缺一不可． 如图，像∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C这样， 新知巩固 下列各图中的角是不是圆周角？为什么？ · O3 （3） · O4 （4） · O2 （2） · O1 （1） 顶点不在圆上 两边没有都和圆相交 顶点不在圆上 讨论交流 请说一说圆心角与圆周角的区别与联系． 圆心角 圆周角 区别 联系 角的顶点在圆心 角的两边是两条半径 角的顶点在圆上 角的两边是两条弦 一条弧所对的圆心角有且只有一个 一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都和圆相交 讨论交流 图中∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都对着． O A3 A1 C A2 B 还存在其他所对的圆周角吗？若有，可画出多少个？这些角之间有什么关系？ 圆心角的度数由其所对弧的度数决定，那么同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？ 新知探究 如图，点 A，B，C 在一个以点 O 为圆心的圆形轨道上，其中点A可以运动．让动点A 在 上运动，圆周角∠BAC和圆心角∠BOC 之间有什么关系？ ∠BAC始终等于∠BOC的一半． 你有什么猜想？ 怎样证实你的猜想呢？ O B C A 新知探究 在所有的所对的圆周角中，与圆心O有哪几种位置关系？ 圆心O在∠BAC的外部 圆心O在∠BAC的一条边上 A O B C 圆心O在∠BAC的内部 A O B C (1) (2) (3) 这种情况最特殊， 我们可以先研究它． 新知探究 证明：∵ OA＝OB， ∴ ∠A＝∠ABO． ∵ ∠BOC是△AOB的外角， ∴ ∠BOC＝∠A＋∠ABO． ∴ ∠BOC＝2∠A． 即 ∠A＝∠BOC． 圆心O在∠BAC的一条边上 O B C A A O B C 新知探究 圆心O在∠BAC的内部 D 证明： 作直径AD， ∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD． ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD＋∠COD ＝ (∠BOD＋∠COD) ＝∠BOC． A O B C 新知探究 圆心O在∠BAC的外部 D 证明： 作直径AD， ∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD． ∠BAC＝∠BAD－∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD－∠COD ＝ (∠BOD－∠COD) ＝∠BOC． 新知归纳 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 同弧或等弧所对的圆周角相等； 由同弧或等弧所对的圆心角相等，我们得到圆周角定理： 因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说， 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 尝试应用 O A B C D 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°．求∠BDC、∠BOC的度数． 解：∵ ∠BDC和∠BAC都是所对的圆周角， ∴ ∠BDC＝∠BAC＝35°． ∵ ∠BAC是 所对的圆周角， ∠BOC是 所对的圆心角， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°． 例题讲解 O A B C D E 例1 如图，∠E的两边与⊙O分别交于点 A，B 和点 C，D，，的度数分别为150°，70°．求∠E的大小． 分析： ① 由 ，的度数，你可以得到哪些角的度数？ ② 要求∠E的度数，能直接求吗？如果不能，放在哪个三角形中？ 例题讲解 O A B C D E 解： 如图，连接BD． ∵ ，的度数分别为150°，70°， ∴ ∠ABD＝75°，∠BDC＝35°． ∵ ∠ABD＝∠E＋∠BDC， ∴ ∠E＝∠ABD－∠BDC＝75°－35°＝40°． 例1 如图，∠E的两边与⊙O分别交于点 A，B 和点 C，D，，的度数分别为150°，70°．求∠E的大小． 新知巩固 1．如图，点A，B，C，D在同一个圆上．写出图中相等的圆周角． O A B C D 解：图中有4对相等的圆周角． ∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB， ∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD． 新知巩固 2．如图，⊙O 的两条弦AC，BD相交于点E，的度数分别为110°，30°．求∠AED的度数． O A B C D E 解：如图，连接AB． ∵，的度数分别为110°，30°， ∴∠ABD＝55°，∠BAC＝15°， ∴∠AED＝∠ABD＋∠BAC＝55°＋15°＝70°． 能力提升 1．如图，点A，B，C，D在 ⊙O上，∠ACB＝∠BDC＝60°， BC＝3． 求△ABC的周长． 解：∵∠BAC和∠BDC都是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠BDC＝60°． ∵∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC， ∴ AB＝BC＝AC． ∵ BC＝3， ∴ △ABC的周长为9． A O D B C 能力提升 2．如图,点A,B,C在⊙O上,D是的中点,∠B＝60°．求证：四边形ADCO是菱形． A O D B C 证明：如图，连接OD． ∵∠B是所对的圆周角，∠AOC是所对的圆心角， ∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝2×60°＝120°． ∵ D是的中点，∴ ＝＝． ∴ ∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝60°， ∵ OA＝OD＝OC， ∴ △AOD和△COD都是等边三角形， ∴ AD＝OA＝OD，CD＝OC＝OD， ∴ AD＝OA＝OC＝CD． ∴ 四边形ADCO是菱形． 课堂小结 3.4 圆周角（1） 圆周角定义：明晰顶点在圆上、两边与圆相交这两个核心要素 圆周角定理：同弧所对圆周角与圆心角的数量关系 核心数学思想：分类讨论；转化 解题关键：借助弧，实现圆心角、圆周角之间的角度转化 感谢聆听！ $