重难点专训03 指对幂函数的综合比较与不等式问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦指对幂函数综合比较与不等式，构建“方法提炼-题型通法-分层训练”体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4类核心方法|同底化、中间值法、换元法、构造函数法|从概念辨析到性质应用，形成“形式判断-转化比较-综合应用”逻辑链| |题型通法及变式提升|4题型，每题型含典例+变式|解不等式“定义域先行，单调定方向”；比较大小“单调定序，中间值架桥”|题型与方法对应，由基础到复杂，覆盖核心考法与易错点| |重难专题分层过关练|15题（巩固10+创新5）|综合应用前述方法，突出参数讨论与图像分析|从基础巩固到创新提升，适配一轮复习梯度需求|

重难点专训03 指对幂函数的综合比较与不等式问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 解指对不等式 2 题型2 指对幂函数值大小比较 5 题型3 已知等式、判断大小关系 7 题型4 已知范围、判断大小关系 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 15 解题方法及技巧提炼 1、指对幂综合比较与不等式问题的基本思路是： （1）明确所给数是指数式、对数式还是幂式，确定各自的底数、指数或真数； （2）利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，将不同形式的数转化为同底、同指或同结构进行比较； （3）对于不能直接比较的，借助中间量（如0、1、－1等）或图象进行过渡判断； （4）解不等式时，利用对应函数的单调性脱去指对幂符号，同时注意定义域的限制，将问题转化为代数不等式求解。 2、比较大小的常用策略： （1）同底或同指：直接利用对应函数的单调性比较； （2）异底异指：优先尝试化为同底或同指，若不可行则引入中间量（常见如0和1），或利用图象高低关系判断； （3）复杂结构：可同时取对数（或取指）转化为更易比较的形式，但需注意取对数后不等号方向是否改变； （4）多个数比较：先按正负、与1的大小分组，再在各组内精细化比较。 3、指对幂不等式的解法要点： （1）指数不等式：化为同底后，根据底数大于1或介于0、1之间确定单调性，脱去底数时不等号方向相应保留或反向； （2）对数不等式：先确保真数大于0，再化为同底，利用对数函数的单调性脱去对数符号，注意定义域与不等号方向的协调； （3）幂不等式：注意幂函数的定义域（如偶次根式、分母为偶数等）及单调性随指数正负、奇偶的变化，分段讨论； （4）混合型：通过换元（如令 ）转化为一元二次或分式不等式，或构造函数利用导数研究单调性。 4、综合与创新问题的处理技巧： （1）遇到含有参数的指对幂比较或不等式，常需分类讨论底数范围（大于1或介于0、1之间）； （2）结合图象的平移、对称变换，可直观判断大小关系或不等式解集； （3）对于抽象函数与具体指对幂函数结合的问题，优先利用已知函数的单调性、奇偶性等性质，将未知转化为已知； （4）注意积累常见的指对恒等式（如 、）和换底公式，灵活变形是解决问题的关键。 题型通法及变式提升 题型1 解指对不等式 【典例1-1】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 核心口诀：同底化标准，单调定方向，定义域先行，换元降次快。 高分技巧： 同底化法（首选策略）：将不等式两边化为同底数的指数或对数形式。指数不等式 ，当 时等价于 ；当 时等价于 ；对数不等式 ，当 时等价于 ；当 时等价于 。核心口诀：同底化标准，单调定方向，定义域先行； 换底公式转化：若底数不同，利用换底公式 ，将不同底对数化为同底，或统一化为常用对数（lg）或自然对数（ln），再按同底法处理； 换元法降次（复合型指对不等式）：对于形如 或含 的式子，令 （）或 ，将原不等式转化为关于 的一元二次不等式（或分式不等式），解出 的范围后再反解 ； 定义域优先原则：对数不等式必须保证真数大于0，即 且 ；偶次根式下指数函数的定义域需额外注意。解集必须与定义域取交集； 特殊值代入排除法：对于选填题，取区间内的特殊值（如0、1、-1、e等）代入原不等式，验证是否满足，快速排除错误选项，无需完整解不等式； 分段讨论法：当底数含参 时（如 ），需对底数 和 分类讨论，再分别求解后取并集； 指对互化法：对同时含有指数和对数的混合不等式，利用 和 进行互化，统一为同一种函数形式后再求解； 构造辅助函数法：对不可直接同底的指对不等式（如 ），构造函数 ，利用单调性和零点存在性判断解集（选填中通常结合图像快速判断）； 端点值检验法：解分式或复合指对不等式时，需检验区间端点是否满足不等式，尤其是对数型不等式需验证真数大于0。 易错警示：对数不等式解完后必须验证真数大于0；指数不等式若底数为 且未明确范围，需先讨论 与 两种情况；换元后需注意新变量 的取值范围（如 ）；取对数时需确保两边均为正数，若一边为负需先判断正负；解集最终需写成区间形式，注意开闭。 【典例1-2】（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及零点，结合条件分析可得，与的零点相同，可得的关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】，定义域为， 因为的解集为，所以在定义域内恒成立， 因为为单调递增函数，且零点为， 为单调递增函数，且零点为， 所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即， 所以，故A、B错误； ， 所以，故C正确，D错误. 【变式1-1】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 【变式1-2】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 【变式1-3】（25-26高三·北京·二轮复习）若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出两个函数的图象，结合图象即可求解. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而，因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 题型2 指对幂函数值大小比较 【典例2-1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 核心口诀：单调定序先，中间值架桥，图象比高低，特殊值排除妙。 高分技巧： 单调性直接定序：若底数在指数函数单调区间内，直接比较指数大小。如 与 ，底数 ，指数 ，则 ；对数函数同理，如 与 ，底数 ，真数 ，则 ；幂函数 在 上， 单调递增， 单调递减； 中间值法（0,1桥接法）：将待比较的数与0、1（或-1）比较大小，分组定位后再比较。如比较 与 ，前者 ，后者 ，再用其他方法细分。核心技巧：以0、1、-1为分界，先确定每个数落在哪个区间，再组内比较； 图象法（同一坐标系观察）：在草稿纸上画出指数函数 （ 递增， 递减）、对数函数 （ 递增， 递减）、幂函数 的图象，通过观察自变量对应函数值的高低判断大小关系，适用于选填快速判断； 特殊值代入排除法：选填中直接取特殊自变量（如 ）代入函数表达式，算出具体数值后代入选项逐一排除，是选填最快的方法； 取中间变量法：当两个数不易直接比较时，引入中间量 （如 、、 等特殊值），先比较 与 、 与 ，再传递大小关系； 同时乘方或取对数：对幂式比较大小，可同时取同底对数，将比较幂的大小转化为比较对数的大小。若比较 与 ，取常用对数得 与 ，比较这两个数即可。注意不等号方向取决于底数对数值的正负； 构造函数法（作差或作商）：对于两个同类型的函数值，构造函数 ，判断 在给定点的符号（作差法）。若均为正数，也可作商与1比较（作商法）； 利用中间单调性转化：对复合型比较（如 与 ），先比较 与 的大小，再根据底数 的单调性定序； 均值不等式与放缩法：利用 、、 等常见不等式对指数对数进行放缩，将复杂表达式转化为简单数值后比较； 估值法（取近似值）：利用常见的近似值（如 ，，，，，）对待比较数值进行估算，直接排出大小顺序。选填中可迅速定位。 易错警示：比较时需明确底数的范围——底数 > 1 与 0 < 底数 < 1 的单调性相反；取对数时若底数在0到1之间，不等号需反向；真数必须为正；幂函数比较时注意定义域（如 要求 ， 要求 ）；作差法需保持变量一致；估值法要保证精度足够区分选项。 【典例2-2】（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“”比较大小即可. 【详解】因为，所以 又，即； 因为， 所以，即， 综上，，即. 【变式2-1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 【变式2-2】（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数、指数函数和幂函数的单调性判断. 【详解】，因为在上递增， 且，所以，即，， 1，因为在上递增，且， 所以，即，所以 故选：D 【变式2-3】（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过比较与的大小关系，结合指数函数，三角函数，对数函数的性质，即可判断. 【详解】，因为在上单调递增，故，故； ，因为，在单调递减，故，故； ，因为在单调递增，故，故； 综上所述：. 题型3 已知等式、判断大小关系 【典例3-1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. 【典例3-2】（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 【变式3-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知且，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查对数的运算性质以及基本不等式的应用，解题的关键在于根据对数的运算法则对各选项进行化简，再结合已知条件且进行分析判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：取，，，，B错误； 对于C：因为，所以，因为，所以，当时，，此时，，选项C正确； 当时，，根据均值不等式，，因为，故，选项C正确； 对于D：因为，所以，因为，所以， ，选项D正确. 【变式3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）若实数、满足，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，分析该函数的单调性，可得出，结合零点存在定理得出，求出的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，则，， 故，故，A正确，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，，故，D正确； 故选：B. 题型4 已知范围、判断大小关系 【典例4-1】（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用对数性质取特殊值可排除A，根据单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由在上单调递增，结合得，确定D成立. 【详解】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 【变式4-1】（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 【答案】D 【详解】对A：当，时，不等式不能成立； 对B：当，时，不等式不能成立； 对C：当时，不等式不能成立； 对D：因为，所以函数在上单调递增，又，所以恒成立.故D正确. 【变式4-2】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将与化简，分别可得与，再利用充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】由，，若，则，故； 若，则，故； 取，，此时有，但，不能得到， 故“”不是“”的充分条件； 若，则，即， 故“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 2．（2026·安徽·模拟预测）已知，，，则x，y，z的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小. 【详解】构造函数，由换底公式，， 所以， 再令，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即在有， 所以在上单调递减， 又，， 由对数函数的单调性得，， 所以，所以. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 4．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 5．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 6．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 9．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 10．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 创新提升 11．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可． 【详解】，， 则， 设， ， 令，， 在上单调递增，则时，， 即，则， 在上单调递减， ，即， ， ，， 则． 12．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合已知条件判断的大小关系. 【详解】设，定义函数，， 由于对正实数恒成立，因此是单调递增函数， 其中对应 的参数分别为， 当时， 代入得， 因此，故选项D成立； 当时，此时所有，， 对相同的，参数越大，越小，需要更大的 才能让 ， 因此越大对应越大，由 ，得 ，故选项B成立， 当时， 此时所有 ，，对相同的，参数越大，越大， 需要更小的才能让，因此越大对应越小，由， 得 ，故选项A成立，综上，只有 不可能成立. 14．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 15．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【答案】 【分析】先设出幂函数的解析式，结合已知条件求其指数，再利用对数运算性质化简得到的解析式，最后通过换元结合指数函数单调性求解方程. 【详解】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，故， 因此 ， 由 ， 可得， 因为 在定义域上单调， 因此，又， 故 ， 将 代入得： ， 令 ，方程转化为： ， 化简得， 两边同除，得 当时，左边 ，满足等式， 设，由解析式可知其在上单调递减， 因此 有唯一解， 由 ，解得， 即方程的实数解为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 指对幂函数的综合比较与不等式问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 解指对不等式 2 题型2 指对幂函数值大小比较 3 题型3 已知等式、判断大小关系 4 题型4 已知范围、判断大小关系 5 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1、指对幂综合比较与不等式问题的基本思路是： （1）明确所给数是指数式、对数式还是幂式，确定各自的底数、指数或真数； （2）利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，将不同形式的数转化为同底、同指或同结构进行比较； （3）对于不能直接比较的，借助中间量（如0、1、－1等）或图象进行过渡判断； （4）解不等式时，利用对应函数的单调性脱去指对幂符号，同时注意定义域的限制，将问题转化为代数不等式求解。 2、比较大小的常用策略： （1）同底或同指：直接利用对应函数的单调性比较； （2）异底异指：优先尝试化为同底或同指，若不可行则引入中间量（常见如0和1），或利用图象高低关系判断； （3）复杂结构：可同时取对数（或取指）转化为更易比较的形式，但需注意取对数后不等号方向是否改变； （4）多个数比较：先按正负、与1的大小分组，再在各组内精细化比较。 3、指对幂不等式的解法要点： （1）指数不等式：化为同底后，根据底数大于1或介于0、1之间确定单调性，脱去底数时不等号方向相应保留或反向； （2）对数不等式：先确保真数大于0，再化为同底，利用对数函数的单调性脱去对数符号，注意定义域与不等号方向的协调； （3）幂不等式：注意幂函数的定义域（如偶次根式、分母为偶数等）及单调性随指数正负、奇偶的变化，分段讨论； （4）混合型：通过换元（如令 ）转化为一元二次或分式不等式，或构造函数利用导数研究单调性。 4、综合与创新问题的处理技巧： （1）遇到含有参数的指对幂比较或不等式，常需分类讨论底数范围（大于1或介于0、1之间）； （2）结合图象的平移、对称变换，可直观判断大小关系或不等式解集； （3）对于抽象函数与具体指对幂函数结合的问题，优先利用已知函数的单调性、奇偶性等性质，将未知转化为已知； （4）注意积累常见的指对恒等式（如 、）和换底公式，灵活变形是解决问题的关键。 题型通法及变式提升 题型1 解指对不等式 【典例1-1】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 核心口诀：同底化标准，单调定方向，定义域先行，换元降次快。 高分技巧： 同底化法（首选策略）：将不等式两边化为同底数的指数或对数形式。指数不等式 ，当 时等价于 ；当 时等价于 ；对数不等式 ，当 时等价于 ；当 时等价于 。核心口诀：同底化标准，单调定方向，定义域先行； 换底公式转化：若底数不同，利用换底公式 ，将不同底对数化为同底，或统一化为常用对数（lg）或自然对数（ln），再按同底法处理； 换元法降次（复合型指对不等式）：对于形如 或含 的式子，令 （）或 ，将原不等式转化为关于 的一元二次不等式（或分式不等式），解出 的范围后再反解 ； 定义域优先原则：对数不等式必须保证真数大于0，即 且 ；偶次根式下指数函数的定义域需额外注意。解集必须与定义域取交集； 特殊值代入排除法：对于选填题，取区间内的特殊值（如0、1、-1、e等）代入原不等式，验证是否满足，快速排除错误选项，无需完整解不等式； 分段讨论法：当底数含参 时（如 ），需对底数 和 分类讨论，再分别求解后取并集； 指对互化法：对同时含有指数和对数的混合不等式，利用 和 进行互化，统一为同一种函数形式后再求解； 构造辅助函数法：对不可直接同底的指对不等式（如 ），构造函数 ，利用单调性和零点存在性判断解集（选填中通常结合图像快速判断）； 端点值检验法：解分式或复合指对不等式时，需检验区间端点是否满足不等式，尤其是对数型不等式需验证真数大于0。 易错警示：对数不等式解完后必须验证真数大于0；指数不等式若底数为 且未明确范围，需先讨论 与 两种情况；换元后需注意新变量 的取值范围（如 ）；取对数时需确保两边均为正数，若一边为负需先判断正负；解集最终需写成区间形式，注意开闭。 【典例1-2】（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【变式1-2】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三·北京·二轮复习）若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型2 指对幂函数值大小比较 【典例2-1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 核心口诀：单调定序先，中间值架桥，图象比高低，特殊值排除妙。 高分技巧： 单调性直接定序：若底数在指数函数单调区间内，直接比较指数大小。如 与 ，底数 ，指数 ，则 ；对数函数同理，如 与 ，底数 ，真数 ，则 ；幂函数 在 上， 单调递增， 单调递减； 中间值法（0,1桥接法）：将待比较的数与0、1（或-1）比较大小，分组定位后再比较。如比较 与 ，前者 ，后者 ，再用其他方法细分。核心技巧：以0、1、-1为分界，先确定每个数落在哪个区间，再组内比较； 图象法（同一坐标系观察）：在草稿纸上画出指数函数 （ 递增， 递减）、对数函数 （ 递增， 递减）、幂函数 的图象，通过观察自变量对应函数值的高低判断大小关系，适用于选填快速判断； 特殊值代入排除法：选填中直接取特殊自变量（如 ）代入函数表达式，算出具体数值后代入选项逐一排除，是选填最快的方法； 取中间变量法：当两个数不易直接比较时，引入中间量 （如 、、 等特殊值），先比较 与 、 与 ，再传递大小关系； 同时乘方或取对数：对幂式比较大小，可同时取同底对数，将比较幂的大小转化为比较对数的大小。若比较 与 ，取常用对数得 与 ，比较这两个数即可。注意不等号方向取决于底数对数值的正负； 构造函数法（作差或作商）：对于两个同类型的函数值，构造函数 ，判断 在给定点的符号（作差法）。若均为正数，也可作商与1比较（作商法）； 利用中间单调性转化：对复合型比较（如 与 ），先比较 与 的大小，再根据底数 的单调性定序； 均值不等式与放缩法：利用 、、 等常见不等式对指数对数进行放缩，将复杂表达式转化为简单数值后比较； 估值法（取近似值）：利用常见的近似值（如 ，，，，，）对待比较数值进行估算，直接排出大小顺序。选填中可迅速定位。 易错警示：比较时需明确底数的范围——底数 > 1 与 0 < 底数 < 1 的单调性相反；取对数时若底数在0到1之间，不等号需反向；真数必须为正；幂函数比较时注意定义域（如 要求 ， 要求 ）；作差法需保持变量一致；估值法要保证精度足够区分选项。 【典例2-2】（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型3 已知等式、判断大小关系 【典例3-1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知且，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）若实数、满足，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 题型4 已知范围、判断大小关系 【典例4-1】（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 【变式4-2】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·模拟预测）已知，，，则x，y，z的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 创新提升 11．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 15．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $