双曲线复习讲义（一）----2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学双曲线复习讲义通过知识框架图系统梳理了双曲线的定义、标准方程及几何性质，明确轨迹条件、离心率与张口关系、等轴双曲线等核心要点，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖定义应用（如已知焦点求双曲线上点距离）、离心率计算（如由顶点到渐近线距离求离心率）等9类题型，培养数学思维与模型意识。基础题巩固知识，综合题提升推理能力，助力不同层次学生自主复习，也为教师提供精准教学依据。

双曲线复习讲义（一）—定义、标准方程、几何性质 一、基础知识 1、双曲线的定义、标准方程及其几何性质 说明： （1） 点轨迹是双曲线 点轨迹是射线或 点轨迹不存在 （2） 字幕最大，离心率e越大，双曲线张口越大 （3） 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,渐近线方程：,离心率e= （4） 一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，则两条双曲线共轭 （5） 等号右边先化为+1，再看左边分母正负，焦点在符号为正的对应轴上 2. 3.焦点到渐近线的距离等于b，与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 4.直线和双曲线的位置关系 【题型1 双曲线的定义】 【例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【例1-2】已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【题型2 双曲线的标准方程】 【例2-1】已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【题型3 求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴】 【例3-1】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【例3-3】已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4-1】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例4-3】已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 等轴双曲线与渐近线】 【例5-1】等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【例5-2】若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 【例6-1】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【题型7 双曲线的对称性及其应用】 【例7-1】双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【例7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例8-1】设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【例8-2】已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例8-3】已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8-4】设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型9 椭圆中距离的最值问题】 【例9-1】（已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【例9-2】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例9-3】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线复习讲义（一）—定义、标准方程、几何性质答案 一、基础知识 1、双曲线的定义、标准方程及其几何性质 说明： （1） 点轨迹是双曲线 点轨迹是射线或 点轨迹不存在 （2） 字幕最大，离心率e越大，双曲线张口越大 （3） 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,渐近线方程：,离心率e= （4） 一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，则两条双曲线共轭 （5） 等号右边先化为+1，再看左边分母正负，焦点在符号为正的对应轴上 2. 3.焦点到渐近线的距离等于b，与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 4.直线和双曲线的位置关系 【题型1 双曲线的定义】 【例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【解】，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 【例1-2】已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 ， 所以的周长为12．    【题型2 双曲线的标准方程】 【例2-1】已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 【例2-2】“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 【例2-3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 【题型3 求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴】 【例3-1】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解】由题知，椭圆的半焦距为，所以，解得. 【例3-2】若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【解】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 【例3-3】已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4-1】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由题意可得，化简得． 【例4-2】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 【例4-3】已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】设点，则， 化简即得：.，即点的轨迹方程为：. 【题型5 等轴双曲线与渐近线】 【例5-1】等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解】设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为，由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 【例5-2】若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，所以. 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 【例6-1】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 【题型7 双曲线的对称性及其应用】 【例7-1】双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 【例7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例8-1】设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解】，，因为，所以，解得. 【例8-2】已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 【例8-3】已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为， 又由题意，所以， 而渐近线是的垂直平分线，则， 所以，， 【例8-4】设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 【题型9 椭圆中距离的最值问题】 【例9-1】（已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【答案】6 【解】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 【例9-2】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 【例9-3】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【解】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $