专题01 空间向量及其运算（竞赛培优专项训练，10大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 以空间向量概念为起点，通过分层题型构建从运算到应用的完整逻辑链，强化空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组|30道（10考点）|基础运算到综合应用分层设计，含基底判断、模长计算等|从向量概念→基本定理→数量积/模长/夹角→垂直/共线/共面问题递进| |B组|15道竞赛真题|强基/竞赛综合题，含最值、动态几何等|聚焦空间向量工具性，强化复杂情境下的逻辑推理与模型构建|

专题01 空间向量及其运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 空间向量及其运算 题型06 空间向量的夹角问题 题型02 空间向量基底的概念 题型07 利用空间向量解决垂直问题 题型03 空间向量基本定理的应用 题型08 利用空间向量解决共线问题 题型04空间向量的数量积问题 题型09 利用空间向量解决共面问题 题型05 空间向量的模长问题 题型10 利用空间向量求异面直线所成的角 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 空间向量及其运算 1．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 空间向量基底的概念 4．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 空间向量基本定理的应用 7．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 9．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 考点四 利用空间向量求数量积最值或范围 10．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 11.若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 考点五 向量的模长问题 13．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 15．在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六 向量的夹角问题 16．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七 利用空间向量解决垂直问题 19．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 20．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 21．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 考点八 利用空间向量解决共线问题 22.设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 23．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 24．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 考点九 利用空间向量解决共面问题 25．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 26．设，已知向量，，，若、、共面，则关于的值以下选项描述正确的是（     ） A．存在无数个符合题意 B．存在正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在实数符合题意 27．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 考点十 利用空间向量求异面直线所成的角 28．斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 29．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 30．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1.（2024·山东泰安高二冬季竞赛）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽阜阳竞赛）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知三棱锥底面为边长为2的等边三角形，是底面上一点，三棱锥体积.则对的最小值是（    ） A．1 B．3 C． D． 二、多选题 4．（多选）（2024·清华大学强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 5．（多选）（2025·安徽阜阳竞赛）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的模为 6．（多选）（2024·安徽安庆校长杯竞赛）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（    ） A．线段MN的长度为1 B．周长的最小值为 C．的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线 三、填空题 7．（2026·全国高中数学联赛新疆预赛）在正方体中，点在正方形内（包括边界），则___________. 8．（2026·全国高中数学联赛新疆预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标 10．（2024·广东肇庆高二竞赛）已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 四、解答题 11．（2025·中国科技大学强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 12．（2024·中国科技大学强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 13．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 14．（2024·清华大学强基计划）四面体中，.求与所成角余弦的最值． 15．（第七届全国“枫叶新希望杯”竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 空间向量及其运算 题型06 空间向量的夹角问题 题型02 空间向量基底的概念 题型07 利用空间向量解决垂直问题 题型03 空间向量基本定理的应用 题型08 利用空间向量解决共线问题 题型04空间向量的数量积问题 题型09 利用空间向量解决共面问题 题型05 空间向量的模长问题 题型10 利用空间向量求异面直线所成的角 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 空间向量及其运算 1．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 3．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 考点二 空间向量基底的概念 4．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 6．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可. 【详解】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 考点三 空间向量基本定理的应用 7．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 8．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 9．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 考点四 利用空间向量求数量积最值或范围 10．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 11.若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据可得出点的轨迹方程，然后设，，，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】将正四面体补成正方体， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 则、、，设点， 则，， 所以， 所以， 化简得， 因为，则， 设，，， 所以 . 故的最大值为. 故选：D. 12．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 考点五 向量的模长问题 13．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 14．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 15．在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出点P，G的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案. 【详解】设，， ∵，∴， G点的轨迹为. 又，则，， 即， 化简得P点的轨迹为. 在平面直角坐标系中作出G，P轨迹， 设G点轨迹与y轴两个交点分别为M，N，P点轨迹为圆， 圆心为，半径， 且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示， 结合图象得：， 又，， 所以. 考点六 向量的夹角问题 16．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 17．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 18．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 考点七 利用空间向量解决垂直问题 19．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 20．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 21．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 考点八 利用空间向量解决共线问题 22.设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 23．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 24．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 考点九 利用空间向量解决共面问题 25．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 26．设，已知向量，，，若、、共面，则关于的值以下选项描述正确的是（     ） A．存在无数个符合题意 B．存在正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在实数符合题意 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的充要条件，可设，通过坐标列方程求解即可. 【详解】因为、、共面，则存在实数，使得， 即， 所以，解得，所以存在唯一正整数符合题意. 27．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 考点十 利用空间向量求异面直线所成的角 28．斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 29．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 30．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出相应图形连接，交于点，连接，由四棱锥为正四棱锥，可得底面，从而可求得即点在以为圆心，1为半径的圆上，然后建立空间直角坐标系，再利用异面直线向量求法即可求解. 【详解】根据题意作图如图所示，连接，交于点，连接，    因为四棱锥为正四棱锥，可得底面． 由底面边长为，可得，所以， 在中，，，可得， 又由，在中，可得， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以当点为圆与的交点时，，两点间距离最小，最小值为． 以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确. 故选：A. 一、单选题 1.（2024·山东泰安高二冬季竞赛）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 2．（2023·安徽阜阳竞赛）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算的几何表示及空间向量基本定理求出，利用对数的运算即可得出结论． 【详解】   由题意，， 又，不共面， 则， 所以. 故选：B. 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知三棱锥底面为边长为2的等边三角形，是底面上一点，三棱锥体积.则对的最小值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由体积公式得三棱锥的高，再利用向量运算得表示到平面上任意一点的距离即可求解. 【详解】设三棱锥的高为， ， (其中D为底面所在平面内任一点) 表示到平面上任意一点的距离，故最小值为. 故选：B 二、多选题 4．（多选）（2024·清华大学强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 5．（多选）（2025·安徽阜阳竞赛）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BC 【分析】根据向量的模、向量的夹角、向量的数量积及投影向量判断选项即可. 【详解】因为，故A错误； 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为，故C正确； 由投影向量的定义知，在上的投影向量的模为，故D错误. 故选：BC 6．（多选）（2024·安徽安庆校长杯竞赛）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（    ） A．线段MN的长度为1 B．周长的最小值为 C．的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线 【答案】AB 【分析】将四面体ABCD放置在正方体中，求出正方体得棱长即可判断A；取特殊位置，例如为的中点，为的中点，结合正方体得结构特征即可判断D；将等边和等边沿展开成平面图形，即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断C. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长均为， 所以四面体ABCD为正四面体， 将四面体ABCD放置在正方体中，则正方体的棱长为， 由，M，N分别为棱AD，BC的中点，得是正方体两个对面的中心， 则，故A正确； 对于D，当为的中点，为的中点时，设为的中点， 由正方体的结构特征可知三点共线， 此时直线与直线交于点，故D错误； 对于B，将等边和等边沿展开成平面图形，如图所示， 则，当且仅当三点共线， 此时， 所以的最小值为，即周长的最小值为，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 则 ， 令，则， 则 ， 当，即时，， 当，即时， ， 由，得， 则， 所以，所以， 综上所述，即，故C错误. 故选：AB. 三、填空题 7．（2026·全国高中数学联赛新疆预赛）在正方体中，点在正方形内（包括边界），则___________. 【答案】1 【分析】以正方体的顶点为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，，得到相关顶点坐标和相关向量，根据向量夹角公式得到，分别平方再相加得出答案. 【详解】以正方体的顶点为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体的棱长为，则相关顶点的坐标为： ，，，， 点在正方形内（包括边界），则， 其中满足，. 则，，，， ，. 根据向量夹角公式，则： ， ， ， 则. 8．（2026·全国高中数学联赛新疆预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 【答案】10 【分析】设，由题意结合向量共线定理可得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设，且表示到的距离，表示到的距离， 由的面积之比，所以， 设表示到的距离，表示到的距离， 同理，即，    则，即， 所以， 因为B，，F三点共线，则，解得， 由，可得，则，且， 于是，即， 若分别表示到平面的距离， 所以. 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标 【答案】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 10．（2024·广东肇庆高二竞赛）已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再求出正四面体的高即可. 【详解】由点满足，其中，得点在平面内， 因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为， 则为正的中心，， 所以的最小值为. 故答案为：    四、解答题 11．（2025·中国科技大学强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 【答案】 【分析】画出图形，得出三棱锥的底面和高，进一步结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 可以发现是三棱锥的高，三角形是的底面， 故所求为. 12．（2024·中国科技大学强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 【答案】 【分析】画出图形，得出三棱锥的底面和高，进一步结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 可以发现是三棱锥的高，三角形是的底面， 故所求为. 13．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 【答案】或 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出，从而得出异面直线AD与BC的夹角. 【详解】建立空间直角坐标系，不妨设，，， 又，所以可设，则，解得，， 此时， ， 因此，， ， 则或， 则或， 所以异面直线AD与BC的夹角为或.    14．（2024·清华大学强基计划）四面体中，.求与所成角余弦的最值． 【答案】无最大值，有最小值为0. 【分析】根据数量积公式计算两直线夹角余弦值； 【详解】 如图所示，设与所成角为， , 在中， 根据三角形的三边关系可知, 所以 则 因此与所成角余弦的无最大值，有最小值为0. 15．（第七届全国“枫叶新希望杯”竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 【分析】（1）利用绳长最短分别求得的坐标，再由空间向量即可求出异面直线与所成角的余弦值； （2）利用空间向量求出与都垂直的一个向量，即可求得异面直线与间的距离. 【详解】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，建立直角坐标系． 由于绳子的长度最短，所以侧面展开图中3条折线段必须共线，此时的竖坐标将三棱柱的高三等分； 易得各点的坐标为， 向量， 设直线与所成的角为， 则， 故与所成角的余弦值为． （2）要求异面直线与间的距离，只需求出与都垂直的一个向量， 向量在上的正射影长即为异面直线与间的距离． 由于，所以, 令，解得，因此可得， 向量在上的正射影为． 即异面直线与间的距离为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $