专题04 随机变量的分布列及数字特征（含决策性、赛制、切比雪夫不等式及马尔科夫链模型）（竞赛培优专项训练，10大考点+强基竞赛）高二数学人教A版全国通用

专题04 离散型随机变量的分布列及数字特征 （含决策性、赛制、切比雪夫不等式及马尔科夫链模型） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 离散型随机变量分布列的性质 2 考点二 离散型随机变量的分布列 3 考点三 离散型随机变量的均值与方差的性质 4 考点四 求离散型随机变量的均值与方差 5 考点五 决策性问题 6 考点六 赛制问题 8 考点七 切比雪夫不等式 12 考点八 马尔科夫链 13 考点九 概率与数列综合 16 考点十 概率与导数综合 18 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 知识点01 随机变量与离散型随机变量 1．随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 2．离散型随机变量 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 知识点02 离散型随机变量的分布列及其性质 1.离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 知识点03 离散型随机变量的的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平. (2)方差：称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 【易错警示】(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确. 【熟记重要结论(二级结论)】 1．均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. ①E(X＋b)＝EX＋b.②E(aX)＝aEX. ③E(aX＋b)＝aEX＋b. 2．方差的性质 ①D(X＋b)＝DX.②D(aX)＝a2DX. ③D(aX＋b)＝a2DX. 考点一 离散型随机变量分布列的性质 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 2．设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，当取最小值时，________． 1 2 3 4．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 5．已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 6．若随机变量的分布列为，则___________． 考点二 离散型随机变量的分布列 7．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 8．某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值. 考点三 离散型随机变量的均值与方差的性质 9．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 10．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 11．(多选)设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 考点四 求离散型随机变量的均值与方差 13．一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 14．一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 15．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 考点五 决策性问题 16．某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 17．某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． (1)求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； (2)设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； (3)项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 18．现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 19．某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 考点六 赛制问题 20．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 21．为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表： 学生 A B C D E 获胜概率 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 获胜积分 8 7 6 5 4 (1)若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率； (2)若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班三人组合是否具有参赛资格？请说明理由. 22．在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市、城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (2)求两场比赛甲队得分的分布列和期望 23．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3:1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望． 24．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 25．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 26．人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 考点七 切比雪夫不等式 27．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 28．某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为500元.根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.95 0.04 0.01 (1)求每份保单的期望利润和方差； (2)若保险公司卖出n份保单，设总利润为，求的期望和方差； (3)保险公司希望总利润为正的概率不低于，利用切比雪夫不等式，求最小保单数量n； (4)保险公司还希望平均每份保单的利润不低于100元的概率不低于，求最小保单数量n. 29．联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 考点八 马尔科夫链 30．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 31．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 32．为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 33．小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 考点九 概率与数列综合 34．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 35．现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 36．在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． (1)若，求队以的比分赢得比赛的概率； (2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； (3)当时，若，有，求的取值范围． 37．足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 考点十 概率与导数综合 38．已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. (1)若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； (2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； (3)从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 39．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 40．已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 … n P … 其中，且．由生成的函数为，． (1)若生成的函数为，当为奇数时，求的值； (2)在盒①中有1个红球，在盒②中有2个蓝球和4个绿球，随机选盒取出1个球，选择盒①的概率为．已知随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．证明：，并计算的值；（） (3)已知三个自然数的和为9，用表示这三个数中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点． 41．DM训练机器人玩传球游戏，现有编号为的位球员围成一个圆，机器人DM居于圆心位置，传球规则如下：球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回DM为一次传球．DM传球给目标球员顺序依次为1→2→3→…→．每次传球时，DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员（如当前应传至号，则为目标球员），则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回DM，DM记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员，且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为1次传球，直到第号球员接球后传回机器人DM游戏终止． (1)当时， （i）求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率； （ii）设为完成全部传球所需总次数，求的分布列及数学期望； (2)设为完成全部传球所需总次数，若，证明：． 1．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 2．（2023·安徽田家炳中学“校长杯”竞赛）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． 4．（2025·中国科技大学强基计划）个球装进个盒，则装有球的盒子的个数的期望是______． 5．(2024·南京大学强基计划)已知，，x为的个位数，求________. 6．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学竞赛）节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是_______元． 7．（第九届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为______． 8．（2024·第二届“鱼塘杯”全国数学竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是__________. 9.(2024·全国高中数学联赛模拟试题（一试）)甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为________． 10．(2023·安徽十校联盟高二解题能力竞赛)一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为__________． 11．（第十一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.    (1)求某两人选择同一套餐的概率； (2)若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 12．（第十四届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费268元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.      (1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； (2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）.求随机变量X的分布列和数学期望. 13．（第十一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数． (1)求的分布列及数学期望； (2)在概率中，若的值最大，求实数的取值范围． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 离散型随机变量的分布列及数字特征 （含决策性、赛制、切比雪夫不等式及马尔科夫链模型） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 离散型随机变量分布列的性质 2 考点二 离散型随机变量的分布列 4 考点三 离散型随机变量的均值与方差的性质 7 考点四 求离散型随机变量的均值与方差 10 考点五 决策性问题 13 考点六 赛制问题 21 考点七 切比雪夫不等式 29 考点八 马尔科夫链 33 考点九 概率与数列综合 40 考点十 概率与导数综合 45 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 知识点01 随机变量与离散型随机变量 1．随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 2．离散型随机变量 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 知识点02 离散型随机变量的分布列及其性质 1.离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 知识点03 离散型随机变量的的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平. (2)方差：称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 【易错警示】(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确. 【熟记重要结论(二级结论)】 1．均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. ①E(X＋b)＝EX＋b.②E(aX)＝aEX. ③E(aX＋b)＝aEX＋b. 2．方差的性质 ①D(X＋b)＝DX.②D(aX)＝a2DX. ③D(aX＋b)＝a2DX. 考点一 离散型随机变量分布列的性质 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，则， 故． 故选：C. 2．设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解析】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，当取最小值时，________． 1 2 3 【答案】 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号， 此时取得最小值18． 故答案为：. 4．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 【答案】/ 【解析】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得， 所以常数. 5．已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【解析】因为， 所以，故， 所以. 6．若随机变量的分布列为，则___________． 【答案】/0.6 【解析】由，得， 解得，所以． 故答案为： 考点二 离散型随机变量的分布列 7．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【解析】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）因为，所以，． 所以 解得，或 故的取值范围是． 8．某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【解析】（1）可取，由题设中的数据可得： ，， ， ，， 故的分布列为： （2）因为，而， 故的最小值为. 考点三 离散型随机变量的均值与方差的性质 9．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【解析】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 10．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 【答案】D 【解析】由题意知，，，即，，，所以. 由知，， 因为，，所以，故A错误. 当时，，故B错误. 将代入得， 又，由二次函数的性质可知， 由上知， (或) 所以，即，故C错误. 令， 则的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质知的值域为，故D正确. 11．(多选)设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依题意，， 已知，代入得：，故A错误，B正确； ， 代入得：，C正确； ，D错误. 12．（多选）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 考点四 求离散型随机变量的均值与方差 13．一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【解析】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 14．一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2， ； ；     ； 的分布列为： 0 1 2 ∴数学期望. （2）记事件“取到的黑球个数为2”，事件“第2次抽到白球”， 则事件“第1次和第3次抽到黑球，第2次抽到白球”； 因为.     所以， 即在抽取到2个黑球与1个白球的前提下，第2次抽到白球的概率为. 15．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【解析】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 考点五 决策性问题 16．某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【解析】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 17．某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． (1)求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； (2)设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； (3)项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分布列如下表，； 0 200 3000 6000 12000 (3)值得引入，因为期望总成本从578元降至389元 【解析】（1）由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为：， 记某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障为事件， 则其概率为 （2）该项目某一日的运营总损失的可能取值为， 当时，当日设备没有发生故障，； 当时，当日设备发生轻微故障，； 当时，当日为小客流且发生严重故障，； 当时，当日为中客流且发生严重故障， 当时，当日为大客流且发生严重故障， 所以的分布列为： 0 200 3000 6000 12000 所以 （3）由于引入“故障预警系统”后，各客流量等级下的故障概率降至原来的一半， 故当客流量等级为小客流（A）时，设备“故障”概率为0.05； 客流量等级为中客流（B）时，设备“故障”概率为0.1； 客流量等级为大客流（C）时，设备“故障”概率为0.2； 设引入“故障预警系统”后，某一日的运营总损失为（不含系统使用费100元） 则的可能取值仍为，对应的概率分别为： ； ； ；； ， 所以 所以引入系统后，每天的损失大约为， 因此引入系统后期望成本降低，值得引入. 18．现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【解析】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 19．某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【解析】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 考点六 赛制问题 20．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【解析】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜， 则所求概率 （2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5． 则的分布列为 3 4 5 故． 21．为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表： 学生 A B C D E 获胜概率 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 获胜积分 8 7 6 5 4 (1)若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率； (2)若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班三人组合是否具有参赛资格？请说明理由. 【答案】(1)0.9328； (2)三人组合具有参赛资格，理由见解析. 【解析】（1）记参赛获胜事件分别用表示， 5场全胜的概率为：， 甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件， 故甲班至多获胜4场的概率为, 故甲班至多获胜4场的概率为0.9328； （2）记三人组合班级得分为，的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得 ，， ，， ，， ，， ， 因为， 所以BCD三人组合具有参赛资格. 22．在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市、城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (2)求两场比赛甲队得分的分布列和期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【解析】（1）解：设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市比赛时甲队负， 则，， 两场比赛甲队恰好负一场的概率为. （2）解：两场比赛甲队得分的可能取值为、、、、、， ，，， ，， ， 两场比赛甲队得分的分布列为： 所以，. 23．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3:1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布及期望． 【解析】（1）解：甲校以获胜的情况有： ①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，概率为： ， ②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，概率为： ， 甲校以获胜的概率为：； （2）解：记比赛结束时女生比赛的局数为，则的可能取值为1，2，3， ， ， ， 的概率分布为： 1 2 3 所以. 24．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 【答案】(1) (2) (3)最大值为 ，此时 ，意义见解析 【解析】（1）乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为： 代入 ，得： （2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下： ：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 . ：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为： ：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为： 因此， 的期望为： 代入 ，得： 化简后得 . （3）比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此： 将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为： 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大. 25．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【解析】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 26．人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】(1)该棋手在第二局与甲比赛最大，过程见解析 (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【解析】（1）该棋手在第二局与甲比赛最大，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则． 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛最大． （2）①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，且， 由题意得的所有可能取值为：2，4，6， ，， ． 的分布列为： 2 4 6 所以的数学期望为： ． 由，得，当且仅当取等号，则， 因此当时，的最大值为． ②设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 可知甲最后赢得比赛的局数必为偶数， 根据比赛规则，前两局比赛结果可能是， 其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，事件表示“甲、乙各得1分”，因不限制局数，所以当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ，整理得， 又，平方后整理可得． 所以 考点七 切比雪夫不等式 27．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得切比雪夫不等式的形式为， 而由题得到， 而由方差的定义得，则， 得到的具体形式为，故D正确. 故选：D. 28．某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为500元.根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.95 0.04 0.01 (1)求每份保单的期望利润和方差； (2)若保险公司卖出n份保单，设总利润为，求的期望和方差； (3)保险公司希望总利润为正的概率不低于，利用切比雪夫不等式，求最小保单数量n； (4)保险公司还希望平均每份保单的利润不低于100元的概率不低于，求最小保单数量n. 【答案】(1)， (2)， (3)176188 (4) 【详解】（1）每份保单的利润. 期望利润： 方差： 所以 （2）设为第i份保单的利润，则独立同分布， 总利润 （3）要求 根据切比雪夫不等式： 要求，即 令，解得 因此，最小保单数量为176188. （4）平均每份保单的利润为，要求 即，等价于， 根据切比雪夫不等式： 令，解得 因此，最小保单数量为2256. 29．联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【解析】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 考点八 马尔科夫链 30．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 31．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为． 由题意知，， 所以． （2）因为， 所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，． （3）因为①， ②． 所以①②，得． 又因为，所以．所以． 所以的概率分布列为： 0 1 2 p 所以． 所以的数学期望为定值 32．为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题中的连续投中得分公式，得. 总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下； ①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为. ②连续投中1个3次得分分. 要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次， 它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：， 可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为． ③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分， 用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种. 该情况下发生的概率为， 另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分， 但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔， 中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此. 根据概率加法公式，总得分为10分的概率为， 所以总概率为． （2）①马尔科夫链法：已知， 化简可得， 同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中， 只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家， 则. 当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0）， 若未命中，则需要再投个球回家， 则. 联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14. ②概率母函数法：小宇投篮的情况可以分为四种：（i）未命中；（ii）命中，未命中： （iii）命中，命中，未命中;（iv）命中，命中，命中. 这四种情况概率分别为. 则小宇投篮次数的均值恰为函数在处的导数值. 先对当,时，, 则， 故，，即小宇投篮次数的均值是14. ③鞅的停时定理： 设小宇的投篮次数为，因为游戏是“公平的”，小宇开始时资本为0， 设为第次后的投篮的资本，根据停时定理， 每次投篮的命中概率，未命中的概率为. 当资本为0时，， （表示资本为0开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望， 表示资本为2开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望），化简得. 当资本为2时，（表示资本为4开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望）. 当资本为4时，. 联立求解,即小宇投篮次数的均值是14. 33．小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 【答案】(1)； (2)①，；②将“第次首次结束”的事件拆解为两种互斥的状态转移场景，利用互斥事件的概率加法公式，推导得到数列的递推关系. (3) 【解析】（1）同时掷三枚均匀的六面骰子，每枚骰子有6种等可能的结果， 因此总基本事件数为. 三枚骰子的点数和范围为，且满足对称性： 点数和为的情况数，与点数和为的情况数完全相等. 枚举点数和≥12的所有基本事件数： 点数和为12：25种； 点数和为13：21种； 点数和为14：15种； 点数和为15：10种； 点数和为16：6种； 点数和为17：3种； 点数和为18：1种. 满足“点数和≥12”的基本事件总数为：. 由古典概型的概率公式得. （2）①由题意，表示从状态0开始，第次掷骰子后游戏首次结束的概率. 对于：游戏结束的充要条件是“连续两次点数和≥12”，仅进行1次投掷无法满足“连续两次”的要求，因此第1次投掷后不可能首次结束，故. 对于：第2次投掷后首次结束，需满足第1次、第2次的点数和均≥12（状态转移为：状态0→状态1→状态2）. 由于两次投掷相互独立，得. 故，. ②证明：设事件为“第次掷骰子后游戏首次结束”，则. 事件可分解为以下两个互斥事件的和： 事件：第一次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和小于12的概率为，根据游戏规则，点数和小于12时， 此前的连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束， 等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为， 由独立事件的概率乘法公式，. 事件：第一次掷骰子点数和大于等于12、第二次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和大于等于12的概率为，第二次点数和小于12的概率为；根据游戏规则，第二次点数和小于12时，连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束，等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为. 由独立事件的概率乘法公式，. 由于事件与事件互斥，，得： . （3）由题意，随机变量表示从开始（状态0）到游戏结束的投掷次数，因此. 根据马尔可夫链的状态转移规则，建立线性方程组： 从状态0出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态1，以概率留在状态0， 因此， 从状态1出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态2（游戏结束，剩余期望步数为0）， 以概率回到状态0，因此， 对第一个方程化简：， 将式(1)代入第二个方程，=可得：， 展开得，移项合并得 所以，解得： 将式(2)代入式(1)，得：， 将代入，计算得：. 因此，随机变量的数学期望. 考点九 概率与数列综合 34．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【解析】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 35．现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 【答案】(1)分布列为 ； (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，的可能取值为， 其中，， ，， 所以分布列为 ； （2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . （3）由全概率公式知， 化简得 代入 即 即 即 由，所以 所以，即证． 36．在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． (1)若，求队以的比分赢得比赛的概率； (2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； (3)当时，若，有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解析】（1）由题意得，队以的比分赢得比赛的概率为. （2）由题意得，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 由，得，故， 所以，故， 又因为，且，所以， 所以， 综上，. （3）由题意得，， 若，则，即，满足题意. 若，则，情况如下： 当时，由，得，满足条件. 当且时，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 由得， 因为，所以，， 所以，解得，且，. 综上，的取值范围是. 37．足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 【答案】(1)， (2) (3)，经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于 【解析】（1），. （2），， ∴， ∴，由已知得B、C控球机会相同，所以，即， 所以. （3）依题意，， 根据传球规则，，，， 所以，， 所以，， 因为， 所以， 该式可以表示为：， 解齐次方程：，特征方程为，所以， 故通解为：， 设，代入递推关系：，即，所以， 故通解为：， 利用初始条件：，解得：， 综上，通项公式为：， ， 因为2025是奇数，所以，，， 即经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于与． 考点十 概率与导数综合 38．已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. (1)若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； (2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； (3)从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由变量生成的函数为， 可得， 所以， 所以当为奇数时，可得. （2）证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率， 故，即，所以， 所以生成的函数为， 可得，则， 所以， 因为， 所以，故， 因为， 所以， 所以. （3）解：由方程的自然数中等可能地随机选取一组解， 可得有序三元组的总数的组合数为种， 由随机变量，所以随机变量的可能取值为， 当时，即数组中，有1个0或2个0，可得； 当时，即数组中，有1个1或2个1，可得； 当时，即数组中，有1个2或2个2，可得； 当时，即数组中，三个数都是3，可得， 则变量的分布列为 0 1 2 3 所以，可得， 则，令，即，解得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，当是函数的极小值点. 39．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【解析】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 40．已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 … n P … 其中，且．由生成的函数为，． (1)若生成的函数为，当为奇数时，求的值； (2)在盒①中有1个红球，在盒②中有2个蓝球和4个绿球，随机选盒取出1个球，选择盒①的概率为．已知随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．证明：，并计算的值；（） (3)已知三个自然数的和为9，用表示这三个数中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【解析】（1）由生成的函数为，知． 所以，，， 因此，当为奇数时，． （2）恰好是取到红球、蓝球、绿球对应的概率， 故，，． 即，故， 所以生成的函数为， 故，， 所以， 因为，， 所以，故， （或） 因为， 所以， 故． （3）的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，． 则的分布列为 0 1 2 3 P 所以， 故， 故，令，解得， 故时，单调递减，时，单调递增， 故是的极小值点． 41．DM训练机器人玩传球游戏，现有编号为的位球员围成一个圆，机器人DM居于圆心位置，传球规则如下：球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回DM为一次传球．DM传球给目标球员顺序依次为1→2→3→…→．每次传球时，DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员（如当前应传至号，则为目标球员），则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回DM，DM记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员，且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为1次传球，直到第号球员接球后传回机器人DM游戏终止． (1)当时， （i）求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率； （ii）设为完成全部传球所需总次数，求的分布列及数学期望； (2)设为完成全部传球所需总次数，若，证明：． 【答案】(1)（i）；（ii）的分布列为 5 6 7 8 9 数学期望. (2)证明见解析 【解析】（1）（i）设事件A为＂第3次恰好成功完成给2号球员传球＂， 情况一：第1次传球成功（传给1号），第2次失败，第3次成功（传给2号）， 概率为， 情况二：第1次传球失败，第2次成功（传给1号），第3次成功（传给2号）， ①：第1次传球选中的是2号，则第3次对2号是直接传球， 概率为， ②：第1次传球选中的非2号球员（号之一），则第3次对2号是随机选择成功，概率为， 综上，. （ii）可能的取值为， ， 当时，2到5号球员恰好全部在1号成功之前误传， 则， 当时，只有1位球员在所有比他小的球员传球时误传，， 当时，有3次误传，， ， 故的分布列为 5 6 7 8 9 数学期望. （2）记为第号球员接球的次数，则， 时，将抽取球员的编号理解为一个数列：， 表示第一次选错了2，第二次选对了1，第三次由于此时目标为2，直接给2， 不难发现，若，将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列，如， 则必在出现之后再出现， 相当于计算在最后一位的情况占排列的比例， 则，，, . 对任意，有， 下面证明该不等式成立，设，， 则在上恒成立， 则在上单调递减，则， 即在恒成立， 令，则：， 则， 则. 1．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 【答案】C 【解析】不妨设出发顺序为 ，若, 使得， 交换与 的出发顺序，显然 会比交换前更早完成比赛, 交换前 和 的完赛总时长为交换后和的完赛总时长为 又   故交换后和 的完赛总时长减少，而其他人不变， 从而全体完赛总时长减少. 由此可反复交换在此过程中完赛总时长均减小，直到按 降序排列，此时达到最优. 故选：C 2．（2023·安徽田家炳中学“校长杯”竞赛）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【答案】C 【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得每一秒某个固定的进程访问成功的概率为， 对A 项： 这表明第一秒每个固定的进程访问失败的概率都是， 即    从而  故A 错误； 对B项：由期望的线性性，等价于，   即，  此式显然成立，故 B 正确； 对C 项：记事件为进程在前秒都失败了，根据独立性和 B 的结果， 得 ，从而，故 C 正确； D项：记事件 为至少存在一个进程，它在前秒中全部失败，则 取，得， 所以在前秒每个进程都成功至少一次的概率不小于，故 D 正确. 故选：BCD. 4．（2025·中国科技大学强基计划）个球装进个盒，则装有球的盒子的个数的期望是______． 【答案】 【解析】引入随机变量，定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球，其中， 则， 又， 故， 所以， 即装有球的盒子的个数的期望是. 5．(2024·南京大学强基计划)已知，，x为的个位数，求________. 【答案】3 【解析】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 6．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学竞赛）节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是_______元． 【答案】690 【解析】若进这种鲜花500束，利润应为． 因为（束）， 所以（元）． 故答案为：. 7．（第九届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为______． 【答案】 【解析】设得分为，则 0 1 3 c b a 由均值为，且， 则， 当且仅当时等号成立． 故答案为：. 8．（2024·第二届“鱼塘杯”全国数学竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是__________. 【答案】/ 【解析】设随机变量分别代表第一､第二次成功对应的试验次数， 则，以及， 所以， 所以. 9.(2024·全国高中数学联赛模拟试题（一试）)甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为________． 【答案】/ 【解析】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，由题设，游戏至少进行两局， 若，则比分为，且， 否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为， 故，故. 10．(2023·安徽十校联盟高二解题能力竞赛)一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为__________． 【答案】0.1/ 【解析】由题意得，， ， 当时有最大值，此时，解得． 11．（第十一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.    (1)求某两人选择同一套餐的概率； (2)若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，775元 【解析】（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为； （2）由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. ，， ，， ，， 综上可得的分布列为： 400 500 600 700 800 1000 的数学期望元. 12．（第十四届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费268元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.      (1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； (2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）.求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，40. 【解析】（1）设指针落在、、区域分别记为事件、、. 则，，. 消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在或区域，其概率， 即消费128元的顾客返券金额不低于30元的概率是. （2） 该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ； ； ； ； ； 所以，随机变量的分布列为： 0 30 60 90 120 其数学期望. 13．（第十一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数． (1)求的分布列及数学期望； (2)在概率中，若的值最大，求实数的取值范围． 【答案】(1)，分布列见解析 (2) 【解析】（1）解：由题知的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 的数学期望. （2）由（1）知，， ，， 若最大，只需， 即 ，解得， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $