专题01 高中数学竞赛二试内容——平面几何（竞赛培优专项训练，8大考点+强基竞赛）高二数学人教A版全国通用

专题01 高中数学竞赛二试内容——平面几何 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 圆幂及根轴 4 考点二 三角形的巧合点 7 考点三 调和点列 10 考点四 圆内接调和四边形 13 考点五 完全四边形 16 考点六 几何变换 19 考点七 几何不等式 22 考点八 平面几何定理（引理）的应用 24 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 1. 梅涅劳斯定理：若直线不经过的顶点， 并且与的三边或它们的延长线 分别交于，则 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 2. 塞瓦定理： 设分别是的三边或它们的延长线上的点， 若三线共点，则 注：塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密定理：在四边形中，有，并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立· 4. 西姆松定理：若从外接圆上一点作的垂线， 垂足分别为，则三点共线· 西姆松定理的逆定理：从一点作的垂线，垂足分别为·若三点共线，则点在的外接圆上· 5． 蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点· 注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6． 坎迪定理：设是已知圆的弦，是上一点，弦 过点，连结，分别交于，则· 7． 斯特瓦尔特定理：设为的边上任一点，则有 · 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8．张角定理： 设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点，线段 对点的张角分别为，且，则三点共线的充要条件是： 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆·此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆·的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的· 10．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线·此线称为欧拉线，且有关系： 11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为和，则这两圆的圆心距 ·由此可知，· 12．笛沙格定理;在和中，若相交于一点，则与，与，与的交点共线· 13．牛顿（Newton）定理1： 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合· 14．牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线· 15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线·这条直线叫做这个四边形的牛顿线· 16．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点· 17．拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形·则它们的中心构成一个正三角形· 18．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K·则H、G、K三点共线· 19．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行· 　注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴· 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴· （1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 　　 （2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 　　 （3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 　　 20．莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形·这个三角形常被称作莫利正三角形· 　　 21．斯坦纳—莱默斯定理：如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE，则AB=AC· 　　 22．费尔马点：费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点· 对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点· 对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点· 23．等差幂线定理：已知A、B亮点，则满足AP²-BP²=k(k为常数)的点P轨迹是垂直于AB的一条直线· 24．婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形ABCD的对角线相互垂直，则垂直于一边CD且过对角线交点E的直线EF将AB平分对边· 　　 25．莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线·直线PQR称为△ABC的莱莫恩线· 26．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上 考点一 圆幂及根轴 1．如图，在中，为边的中点，延长交的外接圆于点，过点作一个圆与边相切于点，过点作一个圆与边相切于点．证明：三线共点． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，延长交于点，延长交于点． 由圆幂定理知， 结合比例性质得① 同理有② 对及点用塞瓦定理，得 又为边的中点，所以， 结合①、②得， 故由塞瓦定理的逆定理知三线共点． 2．如图，是的外接圆，点是 (不含点)的中点，的角平分线与的外角平分线交于点与交于点． (1)求证：平分的外角； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图，设与交于点，则是的内角平分线， 于是是的外角平分线， 所以平分的外角． （2）由于是的中点，则． 又， 于是， 所以. 3．如图，为圆的一条弦（为圆的半径），为优弧的中点，为弦的中点．点分别在，和劣弧上，满足，且三线共点于，延长至，使．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图，延长交圆于，以为圆心，为半径作圆，连接．， 则在圆上，在圆上． 又是圆的切线， 于是． 同理，从而． 而由托勒密定理得， 于是，且， 因此． 同理，所以． 考点二 三角形的巧合点 4．在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)已知三角形三个顶点，求三角形面积的公式，即若，则.  若点为内心，求的面积. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【解析】（1）因为点是的中点，所以，则， ， 则，因为，所以； （2）由（1）可得，，所以. 当时，可知，即，化简得， 因为，所以方程无解，即不存在实数，使得. （3）由条件：，，. 因为，，. 又为内心， 从而：. 5．如图，为锐角外接圆的圆心，为的一条直径，是的垂心，是的两条高，是边的中点，是点关于圆心的对称点，已知直线过点且与直线相交于点． (1)求证：三点共线； (2)求证：四点共圆； (3)若外接圆的半径为求线段的长（用表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）延长交于点，连接． 依题意，，为平行四边形，则． 于是为的中点，所以三点共线． （2）四点共圆，设该圆为，则与的根轴为． 又四点共圆，该圆为，则与的根轴为与的根轴为， 于是三线共点于． 由于为的直径，则四点共线． 又,且为平行四边形，于是．所以四点共圆． （3）)由于，注意到，则 于是， 即，从而． 所以． 6．如图，在锐角中，为垂心，为高，为边的中点，在线段上各取一点，并在线段上取一点，使得．设为的垂心．证明：直线平分线段． 【答案】证明见解析 【解析】由垂心的性质易知，又， 故为这两个相似三角形的对应点， 所以，且． 由条件及比例性质知 故平分，从而也平分． 在线段上取点，使得， 过点作的平行线，与相交于点， 下证与重合． 因为，且， 故是相似的对应点． 所以，且． 注意到，有 故平分，从而也平分．所以， 故．又由及，得， 故为的垂心，从而与重合． 最后，由，且是的中点，可知平分线段． 考点三 调和点列 7．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上． 【答案】证明见解析 【分析】先证明射影几何中交比不变性，设与交于，与交于，与交于，连接，与交于，与交于，与交于，欲证，，三点共线，只需证在直线上， 【解析】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设是直线上互异且非无穷的四个点，则称（分式中均为有向线段长度）为的交比，记为 ； 下面先证明射影几何中交比不变性，若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为,与，，，的交点分别为,证明 ; 所以得证. 如图，设与交于，与交于，与交于，连接，与交于，与交于，与交于，欲证，，三点共线，只需证在直线上， 考虑线束，，，，由射影几何中交比不变性知， 再考虑线束，，，，由射影几何中交比不变性知， 从而得到， 于是由射影几何中交比不变性的逆命题知，，，交于一点，即为点， 从而过点，故在直线上，，，三点共线． 8．如图所示，在直角坐标系xOy中，椭圆C：，直线l：，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M．    (1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标； (2)设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)2 【解析】 （1）设，，． 当直线PA的斜率存在时，设C在A处的切线方程为，将其代入C的方程得 ． 根据相切得，化简得，即，∴．因而直线PA的方程为． 同理，直线PB的方程为． 当直线PA或PB的斜率不存在时，也满足以上方程． 又∵点P在两切线上，∴ ，． 这说明A，B的坐标满足方程，故直线AB的方程为，化简得，∴直线AB过定点． （2）直线OP的方程为，与直线AB的方程联立，解得M的横坐标为．将直线AB的方程代入C的方程，得． ∴． 因此M为AB的中点，故． 9．如图所示，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：上存在不同的两点A，B满足，，E，F均在抛物线C上．若M是AB的中点，证明：PM垂直于y轴．    【答案】证明见解析 【解析】 设，，，，． 由，，可得 ，． 解得，和． ∵E，F均在抛物线C上，将其坐标代入抛物线方程，整理得 ， ． 以上两式说明，是方程的两根，∴，即PM垂直于y轴． 考点四 圆内接调和四边形 10．如图，是圆上顺次的五点，，，弦与交于点，过作的平行线，与的延长线交于点，过三点作圆，与圆的劣弧交于点．设为关于的对称点．证明：四点共圆． 【答案】证明见解析 【解析】证法一：如图，设与圆交于及另一点．由于且，故， 进而．结合关于对称得故三点共线． 由知平分，于是，所以，故为平行四边形，有． 由知平分，因此，又由可知，所以，故，从而三点共线． 于是． 所以四点共圆． 证法二：延长，与过三点的圆交于点．由知平分， 结合可知，因此．而为圆中的平行弦，由对称性知为的中点． 由知． 在与中，有 又注意到平分，得 所以． 于是 所以四点共圆． 11．如图，给定两个相交的圆与，A、B为、的交点，一动直线经过B与交于点C，与交于点D，且B在线段内，过C的的切线与过D的的切线相交于点M，连结交于点E，过点E作的平行线交于点K，求点K的轨迹. 【答案】轨迹为过B的切线在内的部分 【解析】连结，G为射线上一点，因为，故A、C、M、D四点共圆，故. 因为，则，故A、B、E、K四点共圆.故. 又，故. 故为的切线. 设延长线交于点F，设为内任意一点，延长交于点. 过作的切线，连结并延长交于点. 过作圆的切线交于点，设交于点，下证. 此时仍有A、、、四点共圆，故，而为切线，故，从而. 又因为，且，故有，故A、B、、四点共圆，进而，故. 故K的轨迹即为过B的切线在内的部分. 12．如图，线段、交于点，在的延长线上任取一点，得凸四边形，求证：、、的外接圆三圆共点． 【答案】见解析 【解析】记与的外接圆分别为圆、圆，因为两圆已知有一个公共点，所以，两圆的位置或是相切或是相交． （1）圆、圆相切．由于点在圆内部，因此，圆内切于圆，切点为， 如图，记与圆交于，联结，过作两圆的公切线．由弦切角定理得 又由圆内接四边形对角互补得． 因此，.所以，、、、四点共圆． 这说明、、的外接圆三圆共点． （2）圆、圆相交．记两圆的另一交点为，当为或时，就是三个外接圆的公共点；当既不是也不是时，分以下四种情况讨论． （i）如图，在之外，联结、、，则，所以，、、、四点共圆．这说明、、的外接圆三圆共点． （ii）如图，在内，联结、、，则，又由圆内接四边形对角互补得．因此，，所以，、、、四点共圆，这说明、、的外接圆三圆共点． （iii）如图，在之外，证明同（i）． （iv）如图，在内，证明同（ii）．综上，、、的外接圆三圆共点． 考点五 完全四边形 13．如图，四边形的两条对角线交于点，的平分线交线段于点，联结，作于点，于点，且为边的中点，.求证：. 【答案】见解析 【解析】由平分.① 又.② 将式①代入式②得 、、、四点共圆. 如图，分别取、的中点、，联结、、、. 于是，四边形为平行四边形.故， ，. 所以，.因此，. 14．如图，圆交于两点，过点的直线与圆分别交于点，与圆分别交于，且.联结，过点作的平行线，与交于点.证明：. 【答案】见解析 【解析】如图，延长与交于点，延长与交于点，联结. 则多边形为完全四边形． 据完全四边形中的密克定理，知点同时在的外接圆、的外接圆、的外接圆、的外接圆上. 因为BC=AD，所以，的外接圆与的外接圆半径相等. 又其公共弦为，故. 类似地，. 由，知与为两个正三角形. 从而，本题只要证明： 过点作的平行线与的交点和过点作的平行线与的交点为同一点，即证明. 据， 即证明，也即证明，故只需证明. 注意到， 因此，. 15．在平面四边形中，，且． （1）当时，四边形是什么四边形?证明你的结论． （2）当时，四边形是什么四边形?证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）当时，即． 由，得． 因为，所以． 则，． 因此，，即．同理可得． 故四边形是平行四边形． 又， 所以，． 又由得，所以，． 因此，四边形是矩形． （2）当时，四边形是等腰梯形． 由（1）得． 同理可得， 因此，．故． 下而用反证法证明． 假设，则四边形是平行四边形． 由此得，则，则，这与矛盾． 所以，． 又，则． 所以，四边形是等腰梯形． 考点六 几何变换 16．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得到点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； 【答案】 【解析】将点 绕原点逆时针旋转 ，其中，. 代入公式计算： ， . 因此旋转后点 的坐标为 . 17．如图，是圆上顺次的五点，，，弦与交于点，过作的平行线，与的延长线交于点，过三点作圆，与圆的劣弧交于点．设为关于的对称点．证明：四点共圆． 【答案】证明见解析 【解析】证法一：如图，设与圆交于及另一点．由于且，故， 进而．结合关于对称得故三点共线． 由知平分，于是，所以，故为平行四边形，有． 由知平分，因此，又由可知，所以，故，从而三点共线． 于是． 所以四点共圆． 证法二：延长，与过三点的圆交于点．由知平分， 结合可知，因此．而为圆中的平行弦，由对称性知为的中点． 由知． 在与中，有 又注意到平分，得 所以． 于是 所以四点共圆． 18．【问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接． (1)【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数； (2)【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值； (3)【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)4 (3)证明见解析 【解析】（1） 如图，是直角三角形，， 依题意，把绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，且三点共线， 则，，则是的角平分线， 故.四边形为正方形，， 故. （2）在三角形中，由三角形三边关系定理得：， 当三点共线时，取得最小值，因，故的最小值为的长. （3）设正方形的边长为，， ，； 四边形为矩形， ，则， ，则∽， ，即，即得，解得 ，，则， 则 又， 故得，故点是线段的黄金分割点. 考点七 几何不等式 19．设，，称为，的调和平均数.如图，点为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于点.连接，，.过点作的垂线，垂足为点.则图中线段的长度是，的算术平均数，线段________的长度是，的几何平均数，线段________的长度是，的调和平均数. 【答案】 【分析】在直角三角形中，由为高，根据射影定理可得，变形两边开方，得到长度为，的几何平均数；根据，与之间的关系，表示出的长度，根据直角三角形和直角三角形之间边的关系得到的长，得到进而，得到结果． 【解析】解：在中为高，则由射影定理可得， ，即长度为，的几何平均数， 将代入 可得 故， ， 的长度为，的调和平均数． 20．已知平面凸四边形ABCD的面积为1.证明：. 【答案】 【解析】假设凸四边形ABCD满足最小， 此时，四边形ABCD一定为菱形， 否则，如图所示，可固定两对角点，不妨设为点B、D.过点A、C分别作BD的平行线， 调整另外两点A、C的位置，使它们分别位于两条平行线上， 则△ABD和△CBD的面积均不变，但L变大. 从而，AB=AD,BC=CD.类似地，AB=BC,CD=DA. 从而，四边形ABCD为菱形. 设菱形ABCD的两对角线长分别为x、y.则，. 由均值不等式知. 当时，L取得最小值. 21．如图，五边形内接于边长为1的正五边形ABCDE．证明：五边形中至少有一条边的长度不小于． 【答案】见解析 【解析】设、、、、、、、、、的长分别为、、、、、、、、、． 则． 由平均数原理，知，，…，中必有一个不小于1，不妨设． 故， （注意）， ． 考点八 平面几何定理（引理）的应用 22．如图，是的内心，的外角平分线交于点，直线交外接圆于点，直线与直线交点为，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】设，，，直线与直线交于点； 在中，由梅涅劳斯定理得：； 由外角平分线定理可知：； 为的角平分线， ，则； 由得：， 由内心性质得：，则； 由得：，又， ， . 23．如图，在中，为边的中点，延长交的外接圆于点，过点作一个圆与边相切于点，过点作一个圆与边相切于点．证明：三线共点． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，延长交于点，延长交于点． 由圆幂定理知， 结合比例性质得① 同理有② 对及点用塞瓦定理，得 又为边的中点，所以， 结合①、②得， 故由塞瓦定理的逆定理知三线共点． 24．三角形内有一点，，，，求面积的最大值． 【答案】 【解析】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，再连接， 设，，，， ，其中， 则有，同理有， ， 即， 即，， 由托勒密定理知， 即，即有，解得， 于是有． 25．如图，内接于圆，是劣弧的中点，圆与圆切于点，与边切于点.过点作圆的切线，切点为.证明：. 【答案】见解析 【解析】如图，联结、、、.易知，是边的中点，. 过点作，，垂足分别为、. 由西姆松定理知、、三点共线. 由是弧的中点，知平分. 于是，. 从而，，. 又，结合，得 ≌ . 于是，. 则.                    ① 记与的交点为.则，即点在圆上. 由圆幂定理得. 而在中，由射影定理得. 因此，. 代入式①即得. 26．斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，点在边上，有． (1)若，为中点，求； (2)当为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：； (3)在内，AD为的角平分线，点E在线段DC上，，求的值．（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1），为中点， 则，所以. （2）因为为角平分线，则，设， 则，所以， 则 ，命题得证. （3）因为，则，又为的角平分线，， 由（2）知，，且有， 所以①， 又②， 又，则①②得, 所以，得到. 27．在四边形中，为上一点，使得，、、、分别、、、上的点，且满足.联结、分别与、交于点、.若，试判断四边形的形状. 【答案】四边形为梯形 【解析】四边形为梯形. 先证明一个引理. 引理（四边形中的蝴蝶定理）四边形的对角线与交于的中点，过作两直线分别与、交于点、，与、交于点、.联结、分别与、交于点、.则. 证明  如图1. 设，，. 则 . 引理得证. 如图2，延长到，使得，联结、；延长、分别与、交于点、；联结并延长，与交于；联结并延长，与交于点.设与交于点. 由引理，知. 而，故. 又 ， 则. 结合题设等式得. 类似地，. 对及截线、及截线分别应用梅涅劳斯定理得 ， . 则 点与重合. 对及截线、及截线分别应用梅内劳斯定理得 ，. 则 . 由 . 又 四边形为梯形. 28．已知：是的外心，分别为边上的点，线段的中点分别为且垂足为．求证：四点共圆． 【答案】证明见解析 【解析】设的内角为，分别为的中点. 四点共圆. 设四点共圆的外接圆半径为，根据弦长公式(为弦所对的圆周角)， 代入得： 约去，得： 在中，且； 在中，且. 因此 ；；由、，可得. 将上述关系代入上式，得： 两边同乘，化简得： 在中，由正弦定理：, 可得，. 代入上式并两边同乘，得： 设外接圆半径为，因在圆内，由圆幂定理： 代入上式，移项得： 已知，垂足为.在和中， 由勾股定理： 两式相减得： 又因在上， 结合是中点，，，故： 由上述推导得，而该式与互为充要条件，且为已知条件. 综上，四点共圆. 1．（2024·全国第七届章鱼杯I卷）令和分别为的重心和外心，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】C 【解析】 不妨设. 设的垂心为，外接圆半径为，则根据欧拉线的性质，有. 而，所以，从而. 另一方面，熟知，同时，. 所以，这就得到. 此即，故 . 所以，这表明是钝角三角形. 故选：C. 2.（多选）（2025·清华大学强基计划），，且不为等边，为外心，为内心，为上一点，且，下列正确的是为（    ）． A． B．四点共圆 C． D． 【答案】BC 【解析】 设与交于， 因，为外心，为内心，则四点共线，， 图1，因，则； 图2，， 则； 图3，设与交于点，， 则与全等（AAS），则， 则与全等（HL），则， 则与全等（SAS），则， 上述三种情况，均有四点共圆，故B正确； 图1，因四点共圆，则， 因三点共圆，则，则； 图2，设，则， 在圆中，，则， 则； 图3，； 从而，故C正确； 假设，因，则， 又为内心，则（三线合一）， 因，则为等边三角形，矛盾，故A错误； 假设，因，则，则， 则，与三角形内角和为矛盾，故D错误. 故选：BC 3．（多选）（2024·全国第七届章鱼杯I卷）在中，，为内心．在延长线上取使．设为的内心，的平分线与的平分线交于．在延长线上取使，在延长线上取使，又设直线与直线交于，则（   ） A． B．四点共圆 C．三点共线 D． 【答案】ACD 【解析】对A，， ， 易知是中所对的旁心，知 ， ，故， ，由得四点共圆， 记圆心为，则，故，故A正确； 对B，假设有四点共圆，由割线定理知， 由A知，故，可得，， 故，得， 从而，而，且不共线，故，这与三点共线矛盾，故B错误； 对C，记，由，则三点共线，故C正确； 对D，作，由角平分线性质知， 由抛物线性质知在以为焦点，为准线的抛物线上， 易知，由抛物线的光学性质知直线是抛物线的切线， 同理，的也在该抛物线上，且直线，直线也是抛物线的切线， 由抛物线的切线三角形面积性质知，故D正确. 故选：ACD. 4．(2024·第四届英才杯数学竞赛)在矩形中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为__________.    【答案】 【解析】设，则， ， 则 ， 即为点到点与点的距离之和， 则当点与点、点共线， 且点位于点与点之间时，有最小值， 此时有，解得， 则. 5．（2025·北京大学强基计划）中，在上，平分，，求. 【答案】 【解析】由角平分线的性质知，可得，令，则， 若是的中点，又，，则，故， 由，则，可得， 所以（负值舍）. 6．（2024·北京大学强基计划）在 中，若 在 上， 平分 的内心与 的外心重合，求 . 【答案】 【解析】设题中的内心和外心为，即图中两点，一方面在的角平分线上， 又所以与为等腰三角形， 又所以所以 所以得到. 另一方面,所以,综上可得. 7．（2024·北京大学强基计划）在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求. 【答案】 【解析】 由于线段与线段有交点，故点和点一定在线段的同侧（否则线段和整体各位于线段的两侧且端点不同，不可能有交点）. 而，，且和在的同侧，故由圆心角是圆周角的2倍，可知点一定是外接圆的圆心. 记的外接圆为，并设为在上的对径点，则根据相交弦定理有. 再由已知有，故. 8．（2024·全国数学联赛吉林预赛）如图， 外切于点 ，过点 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 切 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 交 于 ，求证: 与 相切. 【答案】证明见解析 【解析】证明: 连接并延长交于，连接，设两圆公切线为， 由弦切角定理得 ， 而，所以， 连接，因为，所以四点共圆. 连接，由 四点共圆得 (1) 由切于点，可得， 又因为，可得， 所以，即，即， 所以，可得.(2) 结合(1)、(2)，得 ，所以与相切. 9．（2024·全国中学生数学奥林匹克竞赛广西预赛）如图所示，，，，，．证明：P为线段AB的中点． 【答案】证明见解析 【来源】2024·全国选拔赛试题 【解析】证明：如图所示，延长DP至点F，使得，连接． （1） ，，，故． 因此，， ． （2）若，则A、D、P和B、F、P分别三点共线．又D、P、F三点共线，故A、P、B三点共线． 由和得．因此，P为线段AB的中点． （3）若CD与PE不平行． ，，， 故．因此，，． 由于点A、B在直线DF的两侧，而D、P、F三点共线，，故A、P、B三点共线，即点P在线段AB上． 因为，所以P为线段AB的中点． 10．(2024·全国高中数学联赛北京预赛)如图所示，锐角的三条高线AD，BE，CF交于点H，过点F作交直线BC于点G，设CFG的外接圆为与直线AC的另一个交点为P，过P作交直线AD于点Q，连接OD，OQ.求证:. 【答案】证明见解析 【来源】试试题 【分析】法一：首先证明，，三点共线，再证明点在直线上，再证明，，，四点共圆，最后证明垂直平分即可； 法二：设CO交于另一点，证明四点共圆，最后证明即可. 【解析】如图所示，连接，设是的直径，连接，，. 作，垂足为M. 由为的垂心，易得 (1)，，，四点共圆， (2)，，，四点共圆， (3)，，，四点共圆， (4)，，，四点共圆， 首先证明:，，三点共线. 证明：因为， 所以，，三点共线. 其次证明：点在直线上， 证明：因为是的直径， 所以， 所以点在直线上. 再次证明：，，，四点共圆. 证明：因为是的直径， 所以，所以， 最后证明：. 证明:因为，所以. 因为，所以， 因为是中点，所以是中点，所以. 法二：设CO交于另一点，那么由知在直线上. 那么注意到知四点共圆. 于是 ， 另一方面，由是直径知， 故结合知.故GUQD为矩形. 进而在与中，. 因此，故. 11．(2024·第九届爱尖子数学能力测评（一试 加试）)如图，在中，的平分线与边交于点D，与外接圆上弧BC交于点M．E、F分别为边AB、AC的中点，点P、Q分别在射线ME、MF上，满足，，求证：点D关于直线PQ的对称点在的外接圆上． 【答案】证明见解析 【解析】如图，过点作的平行线交的垂直平分线于点， 连结，则，且. 注意到， 知三点共线，即即为点. 由于，有为的外心， 则，同理， 知， 有在的外接圆上. 12．（2023·第39届全国中学生冬令营（CMO）数学试题在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】202 【分析】（1）作出合适的辅助线即可，分析求解即可. （2）利用上问结论直接求解即可. 【解析】（1） 作， 若证，则证即可， 只需证即可， 故， ， 只需证即可，故证，，即可，易知，， 故原式得证 （2）由上问知, 故得证 13．（2023·全国中学生数学奥赛加试试题）如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明：    (1)点在的外接圆上； (2)为定点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图，连接， 易知为钝角，由为的外心知. 由于，，故. 所以. 又，位于异侧，因此点在的外接圆上. （2）    取的圆心，过点作的平行线，则为的中垂线，点在直线上. 由，，，共圆及，可知在的平分线上， 而， 故为的平分线.所以点在直线上. 显然与相交，且与均为定直线，故为定点. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 高中数学竞赛二试内容——平面几何 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 圆幂及根轴 4 考点二 三角形的巧合点 5 考点三 调和点列 6 考点四 圆内接调和四边形 8 考点五 完全四边形 9 考点六 几何变换 10 考点七 几何不等式 11 考点八 平面几何定理（引理）的应用 12 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 【归纳重点知识】 1. 梅涅劳斯定理：若直线不经过的顶点， 并且与的三边或它们的延长线 分别交于，则 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 2. 塞瓦定理： 设分别是的三边或它们的延长线上的点， 若三线共点，则 注：塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密定理：在四边形中，有，并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立· 4. 西姆松定理：若从外接圆上一点作的垂线， 垂足分别为，则三点共线· 西姆松定理的逆定理：从一点作的垂线，垂足分别为·若三点共线，则点在的外接圆上· 5． 蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点· 注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6． 坎迪定理：设是已知圆的弦，是上一点，弦 过点，连结，分别交于，则· 7． 斯特瓦尔特定理：设为的边上任一点，则有 · 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8．张角定理： 设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点，线段 对点的张角分别为，且，则三点共线的充要条件是： 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆·此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆·的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的· 10．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线·此线称为欧拉线，且有关系： 11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为和，则这两圆的圆心距 ·由此可知，· 12．笛沙格定理;在和中，若相交于一点，则与，与，与的交点共线· 13．牛顿（Newton）定理1： 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合· 14．牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线· 15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线·这条直线叫做这个四边形的牛顿线· 16．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点· 17．拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形·则它们的中心构成一个正三角形· 18．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K·则H、G、K三点共线· 19．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行· 　注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴· 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴· （1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 　　 （2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 　　 （3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 　　 20．莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形·这个三角形常被称作莫利正三角形· 　　 21．斯坦纳—莱默斯定理：如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE，则AB=AC· 　　 22．费尔马点：费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点· 对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点· 对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点· 23．等差幂线定理：已知A、B亮点，则满足AP²-BP²=k(k为常数)的点P轨迹是垂直于AB的一条直线· 24．婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形ABCD的对角线相互垂直，则垂直于一边CD且过对角线交点E的直线EF将AB平分对边· 　　 25．莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线·直线PQR称为△ABC的莱莫恩线· 26．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上 考点一 圆幂及根轴 1．如图，在中，为边的中点，延长交的外接圆于点，过点作一个圆与边相切于点，过点作一个圆与边相切于点．证明：三线共点． 2．如图，是的外接圆，点是 (不含点)的中点，的角平分线与的外角平分线交于点与交于点． (1)求证：平分的外角； (2)求证：． 3．如图，为圆的一条弦（为圆的半径），为优弧的中点，为弦的中点．点分别在，和劣弧上，满足，且三线共点于，延长至，使．求证：． 考点二 三角形的巧合点 4．在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)已知三角形三个顶点，求三角形面积的公式，即若，则.  若点为内心，求的面积. 5．如图，为锐角外接圆的圆心，为的一条直径，是的垂心，是的两条高，是边的中点，是点关于圆心的对称点，已知直线过点且与直线相交于点． (1)求证：三点共线； (2)求证：四点共圆； (3)若外接圆的半径为求线段的长（用表示）． 6．如图，在锐角中，为垂心，为高，为边的中点，在线段上各取一点，并在线段上取一点，使得．设为的垂心．证明：直线平分线段． 考点三 调和点列 7．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上． 8．如图所示，在直角坐标系xOy中，椭圆C：，直线l：，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M．    (1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标； (2)设的面积为，的面积为，求的值． 9．如图所示，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：上存在不同的两点A，B满足，，E，F均在抛物线C上．若M是AB的中点，证明：PM垂直于y轴．    考点四 圆内接调和四边形 10．如图，是圆上顺次的五点，，，弦与交于点，过作的平行线，与的延长线交于点，过三点作圆，与圆的劣弧交于点．设为关于的对称点．证明：四点共圆． 11．如图，给定两个相交的圆与，A、B为、的交点，一动直线经过B与交于点C，与交于点D，且B在线段内，过C的的切线与过D的的切线相交于点M，连结交于点E，过点E作的平行线交于点K，求点K的轨迹. 12．如图，线段、交于点，在的延长线上任取一点，得凸四边形，求证：、、的外接圆三圆共点． 考点五 完全四边形 13．如图，四边形的两条对角线交于点，的平分线交线段于点，联结，作于点，于点，且为边的中点，.求证：. 14．如图，圆交于两点，过点的直线与圆分别交于点，与圆分别交于，且.联结，过点作的平行线，与交于点.证明：. 15．在平面四边形中，，且． （1）当时，四边形是什么四边形?证明你的结论． （2）当时，四边形是什么四边形?证明你的结论． 考点六 几何变换 16．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得到点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； 17．如图，是圆上顺次的五点，，，弦与交于点，过作的平行线，与的延长线交于点，过三点作圆，与圆的劣弧交于点．设为关于的对称点．证明：四点共圆． 18．【问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接． (1)【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数； (2)【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值； (3)【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点． 考点七 几何不等式 19．设，，称为，的调和平均数.如图，点为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于点.连接，，.过点作的垂线，垂足为点.则图中线段的长度是，的算术平均数，线段________的长度是，的几何平均数，线段________的长度是，的调和平均数. 20．已知平面凸四边形ABCD的面积为1.证明：. 21．如图，五边形内接于边长为1的正五边形ABCDE．证明：五边形中至少有一条边的长度不小于． 考点八 平面几何定理（引理）的应用 22．如图，是的内心，的外角平分线交于点，直线交外接圆于点，直线与直线交点为，证明：. 23．如图，在中，为边的中点，延长交的外接圆于点，过点作一个圆与边相切于点，过点作一个圆与边相切于点．证明：三线共点． 24．三角形内有一点，，，，求面积的最大值． 25．如图，内接于圆，是劣弧的中点，圆与圆切于点，与边切于点.过点作圆的切线，切点为.证明：. 26．斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，点在边上，有． (1)若，为中点，求； (2)当为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：； (3)在内，AD为的角平分线，点E在线段DC上，，求的值．（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：） 27．在四边形中，为上一点，使得，、、、分别、、、上的点，且满足.联结、分别与、交于点、.若，试判断四边形的形状. 28．已知：是的外心，分别为边上的点，线段的中点分别为且垂足为．求证：四点共圆． 1．（2024·全国第七届章鱼杯I卷）令和分别为的重心和外心，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2.（多选）（2025·清华大学强基计划），，且不为等边，为外心，为内心，为上一点，且，下列正确的是为（    ）． A． B．四点共圆 C． D． 3．（多选）（2024·全国第七届章鱼杯I卷）在中，，为内心．在延长线上取使．设为的内心，的平分线与的平分线交于．在延长线上取使，在延长线上取使，又设直线与直线交于，则（   ） A． B．四点共圆 C．三点共线 D． 4．(2024·第四届英才杯数学竞赛)在矩形中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为__________.    5．（2025·北京大学强基计划）中，在上，平分，，求. 6．（2024·北京大学强基计划）在 中，若 在 上， 平分 的内心与 的外心重合，求 . 7．（2024·北京大学强基计划）在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求. 8．（2024·全国数学联赛吉林预赛）如图， 外切于点 ，过点 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 切 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 交 于 ，求证: 与 相切. 9．（2024·全国中学生数学奥林匹克竞赛广西预赛）如图所示，，，，，．证明：P为线段AB的中点． 10．(2024·全国高中数学联赛北京预赛)如图所示，锐角的三条高线AD，BE，CF交于点H，过点F作交直线BC于点G，设CFG的外接圆为与直线AC的另一个交点为P，过P作交直线AD于点Q，连接OD，OQ.求证:. 11．(2024·第九届爱尖子数学能力测评（一试 加试）)如图，在中，的平分线与边交于点D，与外接圆上弧BC交于点M．E、F分别为边AB、AC的中点，点P、Q分别在射线ME、MF上，满足，，求证：点D关于直线PQ的对称点在的外接圆上． 12．（2023·第39届全国中学生冬令营（CMO）数学试题在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明： (1)； (2)． 13．（2023·全国中学生数学奥赛加试试题）如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明：    (1)点在的外接圆上； (2)为定点. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $