解答题专训18 利用导数研究函数的极值（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数与极值关系为核心，通过定义解析-步骤提炼-题型分层-变式拓展的逻辑链条，系统构建极值求解与参数分析的方法体系，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|3大方法（定义/导数关系/步骤）|极值定义辨析、导数符号判定法、四步求极值法|从极值定义出发，推导导数与极值关系，形成程序化解题步骤| |题型通法及变式提升|3题型（各1例2变式）|不含参直接求导法、含参分类讨论法、参数范围转化法|按参数有无递进，从基础计算到综合应用，体现知识迁移| |重难专题分层过关练|巩固12题+创新4题|极值与切线综合、多极值点参数分析|结合高考真题，从基础巩固到创新应用，强化数学思维表达|

解答题专训18 利用导数研究函数的极值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 求不含参函数的极值 2 题型2 含参函数的极值 2 题型3 利用极值求参数的范围 3 重难专题分层过关练 3 巩固过关 3 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值：如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 题型通法及变式提升 题型1 求不含参函数的极值 【例1】（2026·北京海淀一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值. 【变式1】（25-26高三下·北京延庆·期中）已知函数. (1)求函数的导函数； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的极值. 【变式2】（25-26高三下·北京朝阳期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求的极大值. 题型2 含参函数的极值 【例2】已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【变式1】（25-26高三下·北京丰台期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式2】函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 题型3 利用极值求参数的范围 【例3】已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【变式1】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【变式2】已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数， (1)求函数在点处的切线方程． (2)求函数的极值． 2．已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 3．已知函数，且. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 5.（2026·重庆北碚·模拟预测）已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 6.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 7.已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 8.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 9．已知． (1)若，求函数的极值； (2)若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 10．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 11．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 12.已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 创新提升 13.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 14．已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 15．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 16.已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训18 利用导数研究函数的极值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 求不含参函数的极值 2 题型2 含参函数的极值 4 题型3 利用极值求参数的范围 6 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 17 解题方法及技巧提炼 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值：如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 题型通法及变式提升 题型1 求不含参函数的极值 【例1】（2026·北京海淀一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值. 【变式1】（25-26高三下·北京延庆·期中）已知函数. (1)求函数的导函数； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的极值. 【解】（1）因为，则. （2）易知的定义域为，， 由，得到，解得，由，得到，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. 【变式2】（25-26高三下·北京朝阳期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求的极大值. 【解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，. 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）得当或时，无极大值. 当时，在处取极大值，极大值为. 当时，在处取极大值，极大值为 . 题型2 含参函数的极值 【例2】已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【解】（1）由已知，，定义域为， 则， 因为曲线在处与直线垂直， 所以切线的斜率为1，即， 所以，解得，此时， 故所求的切线方程为． （2）由（1）得，， ①当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． ②当时，则， 所以函数在定义域上单调递增，此时没有极值点，故无极值． ③当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． 综上，当时，的极大值是，极小值是； 当时，没有极值； 当时，的极大值是，极小值是． 【变式1】（25-26高三下·北京丰台期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 【变式2】函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【解】（1）当时，，定义域为， 则. 令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 题型3 利用极值求参数的范围 【例3】已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 【解】（1），由得或， 当时，在，上恒大于0， 在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减； 时，在上恒成立，在上单调递增； 时，在，上大于0恒成立， 在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在，上调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内， 则且，解得， 的极大值为，极小值为. 已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【变式1】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 【变式2】已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 【解】（1）当时， ，定义域， 由，即切点为， 求导得，代入得，即斜率， 由点斜式得，即. （2）由， 求导得：，， 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数， (1)求函数在点处的切线方程． (2)求函数的极值． 【解】（1）由，，得， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为， 即切线方程为. （2）由，， 得, 令，得或,令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，取得极大值为， 时，取得极小值为. 2．已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 【解】（1），的定义域为， ， 因为在处取得极小值，所以， 即，解得，，经检验满足题意， 所以，； （2）由（1）得，， 因为，， 所以在点处的切线方程为， 即． 3．已知函数，且. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 【解】（1）对求导可得： 代入，得：， 由题，即，解得. （2）将代入，得，恒成立， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 单调递增区间：和，单调递减区间：， 极大值在处： 极小值在处：. 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【解】（1）当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 5.（2026·重庆北碚·模拟预测）已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 【解】（1）由可得， 则， 易知； 所以切线方程为，即. （2）易知； 令，所以， 因为且，所以恒成立， 当时，，所以在上单调递增，可得， 当时，令，可得， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 令，则， 所以函数在上单调递减，所以，即； 因此， 综上可知当时，在上恒成立， 令可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，； 6.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【解】（1）当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 7.已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 8.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 9．已知． (1)若，求函数的极值； (2)若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【解】（1）时，定义域为， ，， 令解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在时，函数取得极小值；无极大值. （2） 因为存在单调递增区间，所以在上有解. 由，得， ∵，当且仅当时取等号. ∴，即， 所以实数的取值范围是. 10．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 【解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数在处取得极小值，极小值. （2）可知， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，此时不存在最小值， 当时，令，即，解得， 则当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值， 最小值， 令函数，则， 可知函数在上单调递减，可知时，，且， 所以存在，使， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为时，，， 所以在时，，所以实数a的取值范围为. 11．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 【解】（1）当时， ，求导可得 ， 当时， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）由（1）可知，， 设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根， 设为的两个极值点，即方程的两个正实数根， 所以，解得，即实数的取值范围为. 12.已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，求导得， 当，即时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或. 当时，的极大值为，的极小值为， 依题意，，因，可得（*）， 设，则， 即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去； 当时，的极小值为，的极大值为， 依题意，，因，可得（**）， 由上分析，易得函数在上单调递减， 故，即，符合（**）. 综上可得，的取值范围为. 创新提升 13.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 【解】（1）因为， 则，，故， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，单调递增，则，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 14．已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【解】（1）因为切点在切线方程上，所以. 对于，可变形为， 则曲线在点处的切线的斜率是， 而，. 综上可得，，. （2）由（1）知，，令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若在区间有唯一极值点， 则或， 解得或， 则的取值范围为. 15．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 【解】（1）函数的定义域为， 当时，， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 所以当时，取得最小值. （2）函数的导函数为. （1）当时，，在区间上单调递减， 所以无极值. （2）当时，令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： x - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极小值. 综上，的取值范围为. 16.已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $