第02讲 导数与函数的单调性（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，按导函数与原函数关系、单调性判断步骤、五类典型题型的逻辑架构梳理知识，通过命题透视、知识精讲、真题溯源、分层训练等环节，帮助学生系统构建解题框架，突破含参单调性讨论等难点。 讲义突出题型靶向突破，如通过导函数与原函数图象关系题型培养数学思维的逻辑推理能力，结合可分离与不可分离含参问题的分类策略强化数学语言表达。设置基础演练与重难创新分层练习，配合方法技巧归纳，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第02讲 导数与函数的单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导函数与原函数的关系 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 函数与导函数图象之间的关系【含方法技巧】 题型2 利用导数求不含参函数的单调性【含方法技巧】 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性【含方法技巧】 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性【含方法技巧】 题型5 根据函数单调性求参数值或范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数与函数的单调性 T5+T15+T20 T20 T20 考情分析 导数与函数的单调性是高考必考内容，北京卷近三年均以解答题第20题形式呈现，难度中等。试题侧重考查利用导数判断函数单调性的基本方法，包括求单调区间、判断导函数符号、利用单调性证明不等式等。近三年考情显示，单调性的考查形式灵活多样，既有直接求单调区间，也有通过构造新函数研究其符号来证明不等式，还有利用导数研究极值点个数，体现导数作为研究函数性质核心工具的价值。 复习目标 1.理解导数与函数单调性的关系，掌握利用导数判断函数单调性的方法。 2.会求函数的单调区间（注意定义域优先原则）。 3.能利用导数证明与单调性相关的不等式，掌握构造新函数研究符号的基本方法。 4.能利用单调性研究函数的极值、最值及零点个数问题，提升综合应用能力。 5.体会导数在研究函数性质中的核心作用，强化逻辑推理与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 自主检测1已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 自主检测2设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D； 再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确． 自主检测3．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 自主检测1已知函数，求的单调区间与极值. 【答案】答案见解析. 【分析】利用导数研究的单调性，并求出极值即可. 【详解】， 当时，解得，或， 因此该函数的单调递增区间为和； 当时，解得，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为. 即的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为. 自主检测2已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 题●型●破●译 题型1 函数与导函数图象之间的关系 例1-1设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 例1-2已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 例1-3（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 【答案】D 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 方法技巧 1.导数正负决定原函数单调性：在某个区间内，若 ，则 在该区间上单调递增；若 ，则 单调递减；若 （恒成立），则 为常函数。 2.由导函数图象看原函数： 导函数图象在 轴上方 原函数在该区间单调递增； 导函数图象在 轴下方 原函数在该区间单调递减； 导函数图象穿过 轴（变号） 原函数在该点取得极值（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。 3.由原函数图象看导函数： 原函数单调递增区间 导函数图象在 轴上方； 原函数单调递减区间 导函数图象在 轴下方； 原函数图象的极值点对应导函数图象与 轴的交点（导数为零的点）。 4.切线与导数的关系：函数图象上某点处切线的斜率即为该点处的导数值，切线斜率为正时函数递增，为负时函数递减，斜率为零时函数可能取极值。 【变式训练1-1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 【变式训练1-2】如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原函数的增减性及其导函数的正负之间的关系，对选项逐一判断即可得出结果. 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 【变式训练1-3】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图像，可得函数在和上为正，在为负，再根据函数的单调性，可得在上为负，在为正，又 ，逐项判断即可. 【详解】由，得， 由图像可知， 当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 又当，，当时，，当，， 所以当，，，即， 当，，，即， 综上所述，的解集为，故A正确. 故选：A 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 例2-1（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再令，求出交点坐标； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）分三种情况讨论求解，设，利用导数研究单调性，解不等式. 【详解】（1）因为，， 所以， ． 所以 ．所以切线为： ． 令，则．所以所求交点为． （2）由（1）知，． 令 ，则， 令，则，列表： 3 0 极大值 所以 ． 所以，故在区间上分别单调递减， 由知， 的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）当时， ，故符合； 当时， ，故符合； 当时， ． 设，则 ， 所以在上单调递减， 所以，所以． 综上所述，所求解集为． 例2-2（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 【答案】(1) (2)单调减区间为，没有单调增区间 (3)因为，， 所以，即， 故单调递减，又因为， 所以，即． 【分析】（1）求出导数，结合导数的几何意义列方程组，可得答案； （2）求解导数，根据导数符号判断单调性，得出单调区间； （3）构造函数，通过新函数的导数可得最值，进而可证结论. 【详解】（1）由题意得 因为曲线在点处的切线为 所以，解得，得到． （2）由题意得，的定义域为， 可得， 令，且它与符号相同， 令，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此，即， 所以单调减区间为，没有增区间. （3）略 方法技巧 1.求定义域：求函数的单调区间，首先确定函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集。 2.求导并化简：计算 ，将导数化为便于判断符号的形式（如因式分解、通分、配方等）。 3.解不等式：在定义域内解 ，得单调递增区间；解 ，得单调递减区间。 4.写单调区间：若函数在多个区间上单调性相同，各区间之间用“和”或“，”连接，不能用“”。例如：单调递增区间为 和 。 【变式训练2-1】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在，理由如下： 若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ， 恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. (3) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性； （2）将曲线存在两点关于对称转化为方程存在两个不同实根，然后构造函数分析单调性求解； （3）根据导数的几何意义得到直线的方程，即可得到，然后代入，利用换元法求范围即可. 【详解】（1）令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）存在关于对称，理由略； （3）切线斜率，切线方程为， 令得： ， 与垂直，斜率，方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 【变式训练2-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)单调递减区间为：，单调递增区间为：. (2)无零点. (3)面积. 【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间. （2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点. （3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积. 【详解】（1）定义域：，函数求导得. 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：. （2）由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. （3）函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . 【变式训练2-3】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． (3)因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知 在 上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式． 【详解】（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）略 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 例3-1（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）易知一个零点是，结合与（2）所求的单调性，讨论，与即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，切线斜率，因此切线方程为. （2）， 当时，，故恒成立，因此 在R上单调递减，无单调递增区间； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）可知当时单调递减，仅1个零点，不符合题意，故； 当时，由（2）知最小值为， 令，，令，解得， 所以当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，故， 故，要保证存在两个根，则且，即. 注意到对任意，，即恒为的一个零点， 因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且， 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得， 综上的取值范围是. 例3-2（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)①； ②证明：∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②略 例3-3（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见详解 (2)2 (3)42 【分析】（1）由解析式得到函数定义域.取或，得到函数解析式，直接判断函数在定义域上单调性.求函数导数，讨论的不同取值范围，由导数得到函数单调区间. （2）求导数，令解得切点横坐标，即可求得切点坐标，代入切线方程即可求得的值； （3）代入得到函数解析式，然后得到并化简，由元均值不等式得到的范围，即可求得的最大值，然后得到的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数，函数在上单调递减； 当时，函数，函数在上单调递减； 当且时，， 令，即，则，则， 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递减，在上单调递增； 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递增，在上单调递减； 当，时，则恒成立， ∴函数在上单调递减； 综上所述， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2），令， 即，则，则， 则，∴. （3）当时，， 则 ∵，当且仅当时，取等号. ∴，即，∴， ∴，即， ∴实数的最小值为42. 方法技巧 1.识别可分离型：导函数 可分解为“不含参的因式 含参的正负项”或“不含参部分 参数部分”，且可通过因式分解将参数从导函数的零点表达式中显式分离出来，便于直接讨论参数对零点位置的影响。常见的可分离情形包括：（参数 出现在零点处）、（参数 为斜率的截距项）、（参数出现在分子常数项）等。 2.求导并分离参数：求出 后，将其因式分解为 或 等显含参数的形式，确保导函数的零点（驻点）能直接用含 的式子表示。 3.确定临界点：令 ，解出含参数的驻点 、 等。 4.讨论参数范围：根据参数的取值范围（常需结合定义域），讨论各驻点是否在定义域内，以及驻点之间的大小关系，从而确定 在各个区间上的符号，得出原函数的单调区间。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【详解】（1）当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． （2）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式训练3-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若函数在处与轴相切，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数存在两个极小值点，求证：． 【答案】(1)； (2)的减区间是，增区间是； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件转化为，，即可求解； （2）首先求函数的导数，再分和两种情况分析函数，，即可求解函数的单调区间； （3）根据（2）的过程和结果，确定，再确定函数的两个极小值点，结合，即可证明. 【详解】（1），由条件可知，，，得； （2），， 设， 当时，恒成立， 当时，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以当时，恒成立， 所以的变号零点由决定， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间是，增区间是； （3），， 由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件， 当时，，，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 时，，时，， 所以在区间和分别有1个零点，设为，， 所以有3个变号零点，分别是， 如下表，（说明是极小值点） 0 0 0 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 且，即， 得，且，即， ， ， 所以. 【变式训练3-4】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在区间单调递增. 综上所述，函数在区间单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 例4-1（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 例4-2（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，讨论的单调区间； (3)若，证明：当时，曲线在处的切线总在曲线的上方. 【答案】(1) (2)当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为、，增区间为. (3)因为，，故曲线在点处的切线方程为， 令， 因为，故函数的定义域为， 则， 令可得或，其中，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以， 故当时，曲线在点处的切线总在曲线的上方. 【分析】（1）由题意得出，结合可得出的值，然后结合函数极值点的定义检验即可； （2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）构造函数，求出该函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 因为为函数的极值点，所以， 因为，解得， 检验：当时，， 由可得，即函数的定义域为， ， 令，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以为函数的极大值点，符合题意， 综上所述，. （2）因为，由得，故函数的定义域为， ， ①当时，由于函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，，则，此时函数的减区间为，无增区间； ②当时，令，得，， 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时函数的减区间为、，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为、，增区间为. （3）略 方法技巧 1.识别不可分离型：导函数 中含有参数的项无法通过因式分解直接分离，导致导函数的零点无法用含参数的显式表达式直接写出。常见的不可分离情形包括：（分子判别式不确定）、（超越方程与参数混合）、（三次方程求根困难）、 且需讨论判别式 的符号，但零点 在参数不同范围下表现不同，需通过判别式符号判断导函数是否有零点。 2.根据导函数类型选择讨论策略： 若 为含参二次型（如 ），利用判别式 讨论零点个数： 时导函数恒正或恒负； 时导函数有两个零点，需进一步讨论零点是否在定义域内。 若 为含参超越型（如 、），可采用导函数再求导（二阶导）研究其单调性，结合零点存在性定理判断 的符号变化区间。 若 为含参分式型（如 ），先化简为 ，利用基本不等式讨论其最小值和符号。 3.分类讨论的框架： 第①类：参数在导函数定义域边界处的影响（如 影响定义域是否为空）； 第②类：参数使导函数的零点个数发生变化（如 临界值）； 第③类：参数使导函数的零点之间以及零点与定义域边界之间的大小关系发生变化。 4.列表综合：将以上各种分类情况综合整理，列成表格，在每个参数取值范围内分别写出 的符号及 的单调区间，确保覆盖所有参数情况，不重不漏。 【变式训练4-1】已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出，通过求导进行证明． 【详解】（1）由，， 则， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递增； 当时，，方程有两个不相等的正根，， 且，， 当时，， 当时，， 在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在，上单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增. （2）由（1）知当且仅当时，有极大值和极小值， 且，是方程的两个正根，，， ， 令， 当时，， 则在内单调递减， 故，则． 【变式训练4-2】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【变式训练4-3】已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 例5-1（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）略 例5-2（2026·北京·三模）已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，求证：． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)曲线在处的切线方程为令，得，整理得： 当时，，且， 则 因此 即 令，， 令，. 时，，单调递增；时，，单调递减. ，故对所有成立，在上单调递减. ，故时，； 时，； 时，. 由，得. 当时，，故； 当时，，故； 当时，. 综上，对所有，成立. 【分析】（1）先求的导函数，因为讨论单调性需根据导函数的符号变化，所以对参数分类讨论，结合导函数的零点分析的单调区间； （2）因为在上单调递增等价于对任意恒成立，分离参数分情况假设即可； （3）先根据切线方程求出与、的关系，因为，所以可先求出的表达式，合的性质推导与的符号关系，最终证明不等式. 【详解】（1）设，求导得 当时，恒成立，故在上单调递增. 当时，令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）在上单调递增，等价于对所有恒成立. 当时，，恒成立. 当时，恒成立.令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 时，取得最小值，故. 当时，恒成立. 在单调递减，且时，时，故. 综上，的取值范围是. （3）略 例5-3（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 方法技巧 1.转化为导数恒正或恒负：若函数 在给定区间 上单调递增，则 在 上恒成立；若单调递减，则 在 上恒成立。注意等号仅在个别点取到时不影响单调性。 2.分离参数法：将 或 中的参数分离到不等式一侧，转化为 或 的形式，再求 在给定区间上的最大值或最小值，从而确定参数范围。 3.分类讨论法：若参数无法分离或分离后 的求导较复杂，可对参数直接分类讨论，结合导函数图象（或二次函数开口方向、判别式）确定满足 恒非负或恒非正的条件。 4.已知单调区间求参数：若已知函数的单调区间为 ，则 的根应为 、（或 在区间端点处变号），据此建立方程求参数。 5.检验：求出参数范围后，应代回验证 （或 ）是否确实在区间上恒成立，注意端点处是否可取等号，以及参数边界值是否满足题意。 【变式训练5-1】（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）略 （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 【变式训练5-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】(1)17 (2)0 (3)当时，，当时，. 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. （2）因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. （3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若，求证：函数在上有极大值，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）求导，根据导数与函数单调性列不等式求解即可； （3）先对求导，然后构造函数，再对求导，根据导数判断函数的单调性，进而判断的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围. 【详解】（1）当时，，，即切点为， ，，即在处切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为； （2） 若在上单调递减， 则在上恒成立，即， 因为在单调递增， 在单调递增， 所以在单调递减， 当时，， 所以实数的取值范围为； （3）， 令，，， 在单调递增，且， 在单调递增，且， 在单调递减， ，， 即，， 存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增， 当时，，即，在单调递减， 在处取得极大值，设极大值， 即， 令，， ， 对勾函数在单调递增， ， ， ， ， 即，. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）略 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）递增；（2）递减；（3）和上单调递增. 【详解】（1）因为， 所以 所以在R上单调递增. （2）因为， 所以 所以，函数在 上单调递减. （3）因为， ，所以 所以，函数在 和上单调递增. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4） (2) 【详解】（1）由函数得 ， 令，解得x＜−1或x＞4，； 令，解得−1＜x＜4， 故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）； （2）由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增， 当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减， 当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增， 所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝， 当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝， 又， 所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为 3．证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 【答案】(1)的递减区间为，无递增区间； (2)的递减区间为，递增区间为； (3)的递增区间为和，无递减区间； (4)的递减区间为，无递增区间. 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数的递减区间为，无递增区间； （2）函数的定义域为R，， 令，令， 所以函数的递减区间为，递增区间为； （3）函数的定义域为，， 所以函数的递增区间为和，无递减区间； （4）函数的定义域为，， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 5．求函数的单调区间． 【答案】递增区间为，递减区间为. 【详解】函数的定义域为R，时，， 由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减， 所以的递增区间为，递减区间为. 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件， 当时，，令， 则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 于是，函数在R上单调递增，而， 则当时，，当时，，当时，， ①若，则，故恒成立，无零点； ②若，则，仅有一个实根，不满足条件； ③若，则， 注意到，， 于是在上有一个实根，又， 且 ， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 则，又，即，则有， 即，于是在上有一个实根， 又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根， 又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根， 所以时，在R上恰有两个实根. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A利用导数判断单调性即可；选项B利用导数判断；选项C.设，转化为对勾函数判断；选项D根据定义域判断. 【详解】A.,当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增.故在(0, +∞)上不单调，故A错误. B. 由，得，当时，，所以递减，故错误； C. 对于，设，当时，， 由对勾函数知：在上递增，故正确； D. 对于，由，解得或，所以函数的定义域为或，故错误； 故选：C 3．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误； 对于 B，易知的定义为，定义域关于原点对称， 且满足，因此该函数为奇函数， 又，因此函数在上单调递减，即B正确； 对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，则, 令可得，当时，，当时，， 因此可得函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上不是单调递减的，即D错误. 4．（2026·北京昌平·一模）设函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上存在极值点 C．当时，有最大值，无最小值 D．存在，使得方程在上有且仅有两个不同实根 【答案】D 【分析】A选项，直接根据选项区间包含无定义点判断错误；B选项，连续利用导数判断单调性即可得到极值信息；C选项，利用奇偶性判断即可；D选项，对题给区间分段处理，然后从方程出发构造出新的函数，并通过求导判断取值范围，最后综合得到根的个数即可. 【详解】对于A选项，时，应满足即， 由可得， 因为即，所以， 所以，所以在上存在无定义的点，A错误； 对于B选项，当且时， 得到，， 设， 则， 由可知，， 所以，所以在上单调递减， 有，从而， 故在上单调递减，不存在极值点，B错误； 对于C选项，当时，，即在上均有定义， 又因为，所以为奇函数， 那么如果有最大值，就一定有最小值，C错误； 对于D选项，显然方程无解， 当时，令即， 设，则，在上单调递减， 有即，而， 所以存在唯一的，使得，且（否则）， 即方程在上有一个实根； 当时，令即， 设，则， 设，由 可得即在上单调递增，又， 所以存在唯一零点使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故有，且， 所以，所以存在唯一的使得， 且（否则），即方程在上有一个实根， 综上所述，方程在上有且仅有两个不同实根，D正确. 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 【答案】①②④ 【分析】将函数分段表示为，利用导数得到函数的单调性，画出函数图像，再依次分析求解即可. 【详解】函数可分段表示为： 对于①，令，即，解得， 所以有且仅有一个零点，故①正确； 对于②，当时，， 求导得（仅时取等号）， 所以在区间上单调递减，故②正确； 对于③，当 时，，求导得， 则在上单调递减，当，，当，； 当 时，，求导得， 当时，，上在单调递增，且； 当时，，在上单调递减，且，当，； 因此的值域为，故有最小值，没有最大值，故③错误； 对于④，画出函数的图象如图所示， 要使方程有3个实数根，即函数与有三个交点，即时，满足条件，故④正确. 6．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当    时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数直接求解在某一点处的切线方程即可； （2）利用导数直接求解函数的单调区间. 【详解】（1）由题知，的定义域为， 则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由题知，， 其定义域为， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，令，，令，， 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 8．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，从而求出最小值为； （2）求定义域，求导，得到，分，和三种情况，得到函数单调区间. 【详解】（1）时，，定义域为R， ，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为； （2）的定义域为R， ， 时，令得或， 若，，故， 的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，，令得或， 令得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，，令得或， 令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，单调递增区间为，，单调递减区间为. 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)直接写出函数的零点个数. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)1 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令得，从而求出零点个数. 【详解】（1）， 切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； （2）中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； （3）令得，解得， 故的零点为1，函数的零点有1个. 10．（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数． (1)求的单调区间与极值点； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)当时，设的两个零点分别为，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分与进行讨论即可； （2）根据（1）的讨论，初步得出的范围，再结合零点存在定理说明即可； （3）根据（2）得出的的范围，进行证明即可. 【详解】（1）在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递增，无极值点； 当时，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故此时极小值点为，无极大值点； 综上：当时，单调增区间为，无单调减区间，无极值点； 当时，单调增区间为，单调减区间为，极小值点为，无极大值点. （2）由（1）得，时，在上单调递增，不会有两个零点； 当时， 若有两个零点，则极小值， 解得. 当时，，则在单调递减， ，， 故在存在1个零点， 由指数函数与一次函数增长速度可知，当趋于正无穷时，趋于正无穷， 故在存在1个零点， 所以符合题意. （3）由（2）得， ，， 则成立. 重难·创新演练 11．已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1) (2) 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． (3)2 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 12．已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 13．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，若，证明：则. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）使解析式中的对数及分式有意义即可求解； （2）将函数在区间上单调递减转化为在上恒成立的问题，再利用导数求函数的最值即可求解； （3）利用导数讨论函数的单调性及最值即可得证. 【详解】（1）当时，， 要使有意义，则有，解得且， 的定义域为； （2），， 又， 在区间上单调递减，在上恒成立， 令，则， 在上单调递增，的最大值为， ， ，，的取值范围是； （3）当时，，， 令，则， ，且，在上单调递增， 当时，，则，单调递减， 当时 ，，则，单调递增， 当时，取得最小值， ，得证. 14．已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上没有极值点，且函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)时，在单调递减，在单调递增.时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）分别计算即可得到结果； （2）计算，令，然后对参数讨论即可； （3）分别对进行讨论得到函数的单调性且判断符号即可. 【详解】（1）当时，，所以，，， 所以所求切线方程为，即 （2）函数定义域为，， 令，所以或 当，即时， 若，；若，， 所以在单调递减，在单调递增. 若当，即时，恒成立，所以在单调递增. 当，即时， 若，；若，， 所以在单调递减，在单调递增. （3）当时，，令，不符合题意； 当时，， 若 ，，所以函数在单调递增， 若函数在区间上有且只有一个零点，则 若时，，即， 由（2）可知： （i）若，则函数在单调递减，又，函数在区间上无零点，不符合题意； （ii）若，则函数在单调递增，又，函数在区间上无零点，不符合题意； （iii）若时，在单调递减，在单调递增， 因为函数在区间上没有极值点，所以函数在区间上单调递增或单调递减，又，函数在区间上无零点，不符合题意； 综上所述：. 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数恰有一个零点，求的取值范围（只需写出结论） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，再点斜式得出切线； （2）先求出导函数，再分时，时分类讨论导数正负得出单调性； （3）分，，，，结合导函数正负得出函数单调性结合函数值求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为． （2）由，知， ①当时，， 令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，则或， 若，即，则恒成立，所以在上单调递增； 若，即， 令，则或；令，则， 所以在和上单调递增，在,上单调递减； 若，即， 令，则或；令，则， 所以在,和上单调递增，在,上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在,和上单调递增，在,上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和,上单调递增，在,上单调递减． （3）①由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，时，， 若，则，当时，，所以函数恰有一个零点； 若，则当时，，所以函数有两个零点； ②当时，在上单调递增， 当时，，，指数函数的增长速度远快于二次函数， 所以时，， 又，所以函数恰有一个零点； ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为， 极小值为，且时，， 所以函数恰有一个零点； ④当时，在和,上单调递增，在,上单调递减， 所以极大值为，且时，， 所以函数恰有一个零点， 综上所述，的取值范围为,． 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 【答案】(1)【小问1】 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的意义即可求出切线斜率，代入切点及斜率，点斜式可写出切线方程； (2)分别分析的单调性，求出两个函数单调递增区间的交集即可； (3)两个函数都有两个解，但其中一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。，利用公共解条件得到，可将问题转化为证明，确定公共解的范围，即可完成证明。 【详解】（1）易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. （2）, 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. 17．已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见详解 (2)2 (3)42 【分析】（1）由解析式得到函数定义域.取或，得到函数解析式，直接判断函数在定义域上单调性.求函数导数，讨论的不同取值范围，由导数得到函数单调区间. （2）求导数，令解得切点横坐标，即可求得切点坐标，代入切线方程即可求得的值； （3）代入得到函数解析式，然后得到并化简，由元均值不等式得到的范围，即可求得的最大值，然后得到的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数，函数在上单调递减； 当时，函数，函数在上单调递减； 当且时，， 令，即，则，则， 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递减，在上单调递增； 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递增，在上单调递减； 当，时，则恒成立， ∴函数在上单调递减； 综上所述， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2），令， 即，则，则， 则，∴. （3）当时，， 则 ∵，当且仅当时，取等号. ∴，即，∴， ∴，即， ∴实数的最小值为42. 18．设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间； (2)求证：不经过点； (3)当时，设点，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 (3)不存在 【分析】（1）根据函数导数和函数单调性之间的关系，直接求出函数单调区间即可. （2）根据函数导数的几何意义，和点斜式方程的概念，写出切线方程，判断切线不经过点即可. （3）根据三角形面积公式，分别写出面积表达式，列出方程，根据函数导数和函数单调性、极值之间的关系，判断方程解的个数即可. 【详解】（1）当时，，定义域为 则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. （2）由题意可知， 则切线的斜率，切线点斜式方程为， 把代入切线方程得， 若切线过，等价于方程在上有解， 设函数，则， 可知当时，，函数在上单调递减， 可得， 即方程在上无解，即切线不过. （3）当时，，则， 可知当时，， 由（2）可知当时，切线方程为， 当时，，即点， 由（2）可知，则， 当时，即， 化简得，即， 令，则， 可知当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在时，函数取得极小值，，即， 在时，函数取得极大值，，即， 当时，， 可知在上函数恒成立，即方程在无解， 所以不存在点使得成立. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 导数与函数的单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导函数与原函数的关系 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 函数与导函数图象之间的关系【含方法技巧】 题型2 利用导数求不含参函数的单调性【含方法技巧】 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性【含方法技巧】 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性【含方法技巧】 题型5 根据函数单调性求参数值或范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数与函数的单调性 T5+T15+T20 T20 T20 考情分析 导数与函数的单调性是高考必考内容，北京卷近三年均以解答题第20题形式呈现，难度中等。试题侧重考查利用导数判断函数单调性的基本方法，包括求单调区间、判断导函数符号、利用单调性证明不等式等。近三年考情显示，单调性的考查形式灵活多样，既有直接求单调区间，也有通过构造新函数研究其符号来证明不等式，还有利用导数研究极值点个数，体现导数作为研究函数性质核心工具的价值。 复习目标 1.理解导数与函数单调性的关系，掌握利用导数判断函数单调性的方法。 2.会求函数的单调区间（注意定义域优先原则）。 3.能利用导数证明与单调性相关的不等式，掌握构造新函数研究符号的基本方法。 4.能利用单调性研究函数的极值、最值及零点个数问题，提升综合应用能力。 5.体会导数在研究函数性质中的核心作用，强化逻辑推理与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 自主检测1已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   自主检测2设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 自主检测3．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 自主检测1已知函数，求的单调区间与极值. 自主检测2已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 题●型●破●译 题型1 函数与导函数图象之间的关系 例1-1设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例1-2已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 例1-3（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 方法技巧 1.导数正负决定原函数单调性：在某个区间内，若 ，则 在该区间上单调递增；若 ，则 单调递减；若 （恒成立），则 为常函数。 2.由导函数图象看原函数： 导函数图象在 轴上方 原函数在该区间单调递增； 导函数图象在 轴下方 原函数在该区间单调递减； 导函数图象穿过 轴（变号） 原函数在该点取得极值（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。 3.由原函数图象看导函数： 原函数单调递增区间 导函数图象在 轴上方； 原函数单调递减区间 导函数图象在 轴下方； 原函数图象的极值点对应导函数图象与 轴的交点（导数为零的点）。 4.切线与导数的关系：函数图象上某点处切线的斜率即为该点处的导数值，切线斜率为正时函数递增，为负时函数递减，斜率为零时函数可能取极值。 【变式训练1-1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【变式训练1-2】如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 例2-1（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 例2-2（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 方法技巧 1.求定义域：求函数的单调区间，首先确定函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集。 2.求导并化简：计算 ，将导数化为便于判断符号的形式（如因式分解、通分、配方等）。 3.解不等式：在定义域内解 ，得单调递增区间；解 ，得单调递减区间。 4.写单调区间：若函数在多个区间上单调性相同，各区间之间用“和”或“，”连接，不能用“”。例如：单调递增区间为 和 。 【变式训练2-1】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【变式训练2-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【变式训练2-3】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 例3-1（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 例3-2（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 例3-3（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 方法技巧 1.识别可分离型：导函数 可分解为“不含参的因式 含参的正负项”或“不含参部分 参数部分”，且可通过因式分解将参数从导函数的零点表达式中显式分离出来，便于直接讨论参数对零点位置的影响。常见的可分离情形包括：（参数 出现在零点处）、（参数 为斜率的截距项）、（参数出现在分子常数项）等。 2.求导并分离参数：求出 后，将其因式分解为 或 等显含参数的形式，确保导函数的零点（驻点）能直接用含 的式子表示。 3.确定临界点：令 ，解出含参数的驻点 、 等。 4.讨论参数范围：根据参数的取值范围（常需结合定义域），讨论各驻点是否在定义域内，以及驻点之间的大小关系，从而确定 在各个区间上的符号，得出原函数的单调区间。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式训练3-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若函数在处与轴相切，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数存在两个极小值点，求证：． 【变式训练3-4】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式成立的的最小值． 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 例4-1（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 例4-2（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，讨论的单调区间； (3)若，证明：当时，曲线在处的切线总在曲线的上方. 方法技巧 1.识别不可分离型：导函数 中含有参数的项无法通过因式分解直接分离，导致导函数的零点无法用含参数的显式表达式直接写出。常见的不可分离情形包括：（分子判别式不确定）、（超越方程与参数混合）、（三次方程求根困难）、 且需讨论判别式 的符号，但零点 在参数不同范围下表现不同，需通过判别式符号判断导函数是否有零点。 2.根据导函数类型选择讨论策略： 若 为含参二次型（如 ），利用判别式 讨论零点个数： 时导函数恒正或恒负； 时导函数有两个零点，需进一步讨论零点是否在定义域内。 若 为含参超越型（如 、），可采用导函数再求导（二阶导）研究其单调性，结合零点存在性定理判断 的符号变化区间。 若 为含参分式型（如 ），先化简为 ，利用基本不等式讨论其最小值和符号。 3.分类讨论的框架： 第①类：参数在导函数定义域边界处的影响（如 影响定义域是否为空）； 第②类：参数使导函数的零点个数发生变化（如 临界值）； 第③类：参数使导函数的零点之间以及零点与定义域边界之间的大小关系发生变化。 4.列表综合：将以上各种分类情况综合整理，列成表格，在每个参数取值范围内分别写出 的符号及 的单调区间，确保覆盖所有参数情况，不重不漏。 【变式训练4-1】已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 【变式训练4-2】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式训练4-3】已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 例5-1（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 例5-2（2026·北京·三模）已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，求证：． 例5-3（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 方法技巧 1.转化为导数恒正或恒负：若函数 在给定区间 上单调递增，则 在 上恒成立；若单调递减，则 在 上恒成立。注意等号仅在个别点取到时不影响单调性。 2.分离参数法：将 或 中的参数分离到不等式一侧，转化为 或 的形式，再求 在给定区间上的最大值或最小值，从而确定参数范围。 3.分类讨论法：若参数无法分离或分离后 的求导较复杂，可对参数直接分类讨论，结合导函数图象（或二次函数开口方向、判别式）确定满足 恒非负或恒非正的条件。 4.已知单调区间求参数：若已知函数的单调区间为 ，则 的根应为 、（或 在区间端点处变号），据此建立方程求参数。 5.检验：求出参数范围后，应代回验证 （或 ）是否确实在区间上恒成立，注意端点处是否可取等号，以及参数边界值是否满足题意。 【变式训练5-1】（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【变式训练5-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若，求证：函数在上有极大值，且． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 3．证明函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 5．求函数的单调区间． 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京昌平·一模）设函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上存在极值点 C．当时，有最大值，无最小值 D．存在，使得方程在上有且仅有两个不同实根 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 6．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 8．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)当时，求的单调区间． 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)直接写出函数的零点个数. 10．（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数． (1)求的单调区间与极值点； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)当时，设的两个零点分别为，证明：． 重难·创新演练 11．已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 12．已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 13．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，若，证明：则. 14．已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上没有极值点，且函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数恰有一个零点，求的取值范围（只需写出结论） 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 17．已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 18．设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间； (2)求证：不经过点； (3)当时，设点，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：） 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $